Страница 217 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

978. Упростите запись смешанной дроби:

а) $3 \frac{2}{8}$;

б) $6 \frac{15}{18}$;

в) $14 \frac{25}{75}$;

г) $5 \frac{26}{39}$.

Чтобы упростить запись смешанной дроби, необходимо упростить (сократить) ее дробную часть. Для этого нужно найти наибольший общий делитель (НОД) для числителя и знаменателя дроби и разделить на него и числитель, и знаменатель. Целая часть при этом остается без изменений.

а) $3\frac{2}{8}$

Рассмотрим дробную часть $\frac{2}{8}$. Наибольший общий делитель для чисел 2 и 8 равен 2. Сократим дробь, разделив ее числитель и знаменатель на 2.

$3\frac{2}{8} = 3\frac{2 \div 2}{8 \div 2} = 3\frac{1}{4}$

Ответ: $3\frac{1}{4}$

б) $6\frac{15}{18}$

Рассмотрим дробную часть $\frac{15}{18}$. Наибольший общий делитель для чисел 15 и 18 равен 3. Сократим дробь на 3.

$6\frac{15}{18} = 6\frac{15 \div 3}{18 \div 3} = 6\frac{5}{6}$

Ответ: $6\frac{5}{6}$

в) $14\frac{25}{75}$

Рассмотрим дробную часть $\frac{25}{75}$. Наибольший общий делитель для чисел 25 и 75 равен 25. Сократим дробь на 25.

$14\frac{25}{75} = 14\frac{25 \div 25}{75 \div 25} = 14\frac{1}{3}$

Ответ: $14\frac{1}{3}$

г) $5\frac{26}{39}$

Рассмотрим дробную часть $\frac{26}{39}$. Наибольший общий делитель для чисел 26 и 39 равен 13 (так как $26 = 2 \cdot 13$ и $39 = 3 \cdot 13$). Сократим дробь на 13.

$5\frac{26}{39} = 5\frac{26 \div 13}{39 \div 13} = 5\frac{2}{3}$

Ответ: $5\frac{2}{3}$

979. Сравните числа:

а) $1/2$ и $1/3$;

б) $2/5$ и $1/2$;

в) $2/3$ и $3/4$;

г) $1\frac{1}{2}$ и $1\frac{1}{3}$;

д) $3\frac{2}{5}$ и $3\frac{1}{2}$;

е) $2\frac{2}{3}$ и $2\frac{3}{4}$;

ж) $2\frac{1}{2}$ и $1\frac{1}{3}$;

з) $3\frac{2}{5}$ и $4\frac{1}{2}$;

и) $3\frac{2}{3}$ и $5\frac{3}{4}$;

к) $1\frac{1}{2}$ и $2\frac{1}{3}$;

л) $4\frac{2}{5}$ и $3\frac{1}{2}$;

м) $5\frac{2}{3}$ и $3\frac{3}{4}$.

а) Чтобы сравнить дроби $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 2 и 3 это 6. Приводим дроби к знаменателю 6: $\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6}$; $\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{2}{6}$. Теперь сравниваем числители получившихся дробей: $3 > 2$. Следовательно, $\frac{3}{6} > \frac{2}{6}$, а значит $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$. Ответ: $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$.

б) Сравним дроби $\frac{2}{5}$ и $\frac{1}{2}$. Найдем наименьший общий знаменатель для 5 и 2, это 10. Приведем дроби к знаменателю 10: $\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{4}{10}$; $\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{5}{10}$. Сравниваем числители: $4 < 5$. Следовательно, $\frac{4}{10} < \frac{5}{10}$, а значит $\frac{2}{5} < \frac{1}{2}$. Ответ: $\frac{2}{5} < \frac{1}{2}$.

в) Сравним дроби $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{4}$. Наименьший общий знаменатель для 3 и 4 равен 12. Приведем дроби к знаменателю 12: $\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$; $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}$. Сравниваем числители: $8 < 9$. Следовательно, $\frac{8}{12} < \frac{9}{12}$, а значит $\frac{2}{3} < \frac{3}{4}$. Ответ: $\frac{2}{3} < \frac{3}{4}$.

г) Сравним смешанные числа $1\frac{1}{2}$ и $1\frac{1}{3}$. Целые части этих чисел равны (1 = 1), поэтому для сравнения нужно рассмотреть их дробные части: $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$. Как было показано в пункте а), $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$. Следовательно, $1\frac{1}{2} > 1\frac{1}{3}$. Ответ: $1\frac{1}{2} > 1\frac{1}{3}$.

д) Сравним смешанные числа $3\frac{2}{5}$ и $3\frac{1}{2}$. Целые части равны (3 = 3), поэтому сравним дробные части: $\frac{2}{5}$ и $\frac{1}{2}$. Как было показано в пункте б), $\frac{2}{5} < \frac{1}{2}$. Следовательно, $3\frac{2}{5} < 3\frac{1}{2}$. Ответ: $3\frac{2}{5} < 3\frac{1}{2}$.

е) Сравним смешанные числа $2\frac{2}{3}$ и $2\frac{3}{4}$. Целые части равны (2 = 2), поэтому сравним дробные части: $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{4}$. Как было показано в пункте в), $\frac{2}{3} < \frac{3}{4}$. Следовательно, $2\frac{2}{3} < 2\frac{3}{4}$. Ответ: $2\frac{2}{3} < 2\frac{3}{4}$.

ж) Сравним смешанные числа $2\frac{1}{2}$ и $1\frac{1}{3}$. Сначала сравним целые части чисел. Целая часть первого числа равна 2, а второго — 1. Так как $2 > 1$, то и всё число $2\frac{1}{2}$ больше, чем $1\frac{1}{3}$, независимо от дробных частей. Ответ: $2\frac{1}{2} > 1\frac{1}{3}$.

з) Сравним смешанные числа $3\frac{2}{5}$ и $4\frac{1}{2}$. Сравним их целые части: $3 < 4$. Следовательно, число с большей целой частью будет больше: $3\frac{2}{5} < 4\frac{1}{2}$. Ответ: $3\frac{2}{5} < 4\frac{1}{2}$.

и) Сравним смешанные числа $3\frac{2}{3}$ и $5\frac{3}{4}$. Сравним их целые части: $3 < 5$. Следовательно, $3\frac{2}{3} < 5\frac{3}{4}$. Ответ: $3\frac{2}{3} < 5\frac{3}{4}$.

к) Сравним смешанные числа $1\frac{1}{2}$ и $2\frac{1}{3}$. Сравним их целые части: $1 < 2$. Следовательно, $1\frac{1}{2} < 2\frac{1}{3}$. Ответ: $1\frac{1}{2} < 2\frac{1}{3}$.

л) Сравним смешанные числа $4\frac{2}{5}$ и $3\frac{1}{2}$. Сравним их целые части: $4 > 3$. Следовательно, $4\frac{2}{5} > 3\frac{1}{2}$. Ответ: $4\frac{2}{5} > 3\frac{1}{2}$.

м) Сравним смешанные числа $5\frac{2}{3}$ и $3\frac{3}{4}$. Сравним их целые части: $5 > 3$. Следовательно, $5\frac{2}{3} > 3\frac{3}{4}$. Ответ: $5\frac{2}{3} > 3\frac{3}{4}$.

980. Запишите смешанную дробь в виде неправильной дроби:

а) $1\frac{1}{2}$

б) $1\frac{1}{3}$

в) $1\frac{1}{4}$

г) $1\frac{2}{3}$

д) $1\frac{3}{4}$

е) $2\frac{1}{4}$

ж) $3\frac{1}{5}$

з) $8\frac{1}{3}$

и) $2\frac{2}{5}$

к) $9\frac{5}{7}$

л) $1\frac{5}{11}$

м) $1\frac{4}{13}$

н) $6\frac{1}{12}$

о) $4\frac{4}{15}$

п) $12\frac{2}{3}$

а) Чтобы преобразовать смешанную дробь $1\frac{1}{2}$ в неправильную, нужно целую часть умножить на знаменатель и к полученному произведению прибавить числитель. Результат становится новым числителем, а знаменатель остается тем же.
$1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$.

б) Для преобразования смешанной дроби $1\frac{1}{3}$ в неправильную, умножаем целую часть (1) на знаменатель (3) и прибавляем числитель (1). Знаменатель оставляем без изменений.
$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$.
Ответ: $\frac{4}{3}$.

в) Преобразуем смешанную дробь $1\frac{1}{4}$ в неправильную. Целую часть (1) умножаем на знаменатель (4) и прибавляем числитель (1).
$1\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$.
Ответ: $\frac{5}{4}$.

г) Преобразуем смешанную дробь $1\frac{2}{3}$ в неправильную. Целую часть (1) умножаем на знаменатель (3) и прибавляем числитель (2).
$1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$.
Ответ: $\frac{5}{3}$.

д) Преобразуем смешанную дробь $1\frac{3}{4}$ в неправильную. Целую часть (1) умножаем на знаменатель (4) и прибавляем числитель (3).
$1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$.
Ответ: $\frac{7}{4}$.

е) Преобразуем смешанную дробь $2\frac{1}{4}$ в неправильную. Целую часть (2) умножаем на знаменатель (4) и прибавляем числитель (1).
$2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{8 + 1}{4} = \frac{9}{4}$.
Ответ: $\frac{9}{4}$.

ж) Преобразуем смешанную дробь $3\frac{1}{5}$ в неправильную. Целую часть (3) умножаем на знаменатель (5) и прибавляем числитель (1).
$3\frac{1}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{15 + 1}{5} = \frac{16}{5}$.
Ответ: $\frac{16}{5}$.

з) Преобразуем смешанную дробь $8\frac{1}{3}$ в неправильную. Целую часть (8) умножаем на знаменатель (3) и прибавляем числитель (1).
$8\frac{1}{3} = \frac{8 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{24 + 1}{3} = \frac{25}{3}$.
Ответ: $\frac{25}{3}$.

и) Преобразуем смешанную дробь $2\frac{2}{5}$ в неправильную. Целую часть (2) умножаем на знаменатель (5) и прибавляем числитель (2).
$2\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{10 + 2}{5} = \frac{12}{5}$.
Ответ: $\frac{12}{5}$.

к) Преобразуем смешанную дробь $9\frac{5}{7}$ в неправильную. Целую часть (9) умножаем на знаменатель (7) и прибавляем числитель (5).
$9\frac{5}{7} = \frac{9 \cdot 7 + 5}{7} = \frac{63 + 5}{7} = \frac{68}{7}$.
Ответ: $\frac{68}{7}$.

л) Преобразуем смешанную дробь $1\frac{5}{11}$ в неправильную. Целую часть (1) умножаем на знаменатель (11) и прибавляем числитель (5).
$1\frac{5}{11} = \frac{1 \cdot 11 + 5}{11} = \frac{11 + 5}{11} = \frac{16}{11}$.
Ответ: $\frac{16}{11}$.

м) Преобразуем смешанную дробь $1\frac{4}{13}$ в неправильную. Целую часть (1) умножаем на знаменатель (13) и прибавляем числитель (4).
$1\frac{4}{13} = \frac{1 \cdot 13 + 4}{13} = \frac{13 + 4}{13} = \frac{17}{13}$.
Ответ: $\frac{17}{13}$.

н) Преобразуем смешанную дробь $6\frac{1}{12}$ в неправильную. Целую часть (6) умножаем на знаменатель (12) и прибавляем числитель (1).
$6\frac{1}{12} = \frac{6 \cdot 12 + 1}{12} = \frac{72 + 1}{12} = \frac{73}{12}$.
Ответ: $\frac{73}{12}$.

о) Преобразуем смешанную дробь $4\frac{4}{15}$ в неправильную. Целую часть (4) умножаем на знаменатель (15) и прибавляем числитель (4).
$4\frac{4}{15} = \frac{4 \cdot 15 + 4}{15} = \frac{60 + 4}{15} = \frac{64}{15}$.
Ответ: $\frac{64}{15}$.

п) Преобразуем смешанную дробь $12\frac{2}{3}$ в неправильную. Целую часть (12) умножаем на знаменатель (3) и прибавляем числитель (2).
$12\frac{2}{3} = \frac{12 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{36 + 2}{3} = \frac{38}{3}$.
Ответ: $\frac{38}{3}$.

981. Выделите целую часть дроби:

а) $\frac{9}{5}$;

б) $\frac{14}{3}$;

в) $\frac{15}{4}$;

г) $\frac{29}{7}$;

д) $\frac{39}{9}$;

е) $\frac{49}{11}$;

ж) $\frac{117}{10}$;

з) $\frac{138}{40}$;

и) $\frac{142}{15}$;

к) $\frac{257}{25}$.

а) Чтобы выделить целую часть из дроби $ \frac{9}{5} $, нужно разделить числитель 9 на знаменатель 5 с остатком.
$ 9 \div 5 = 1 $ (остаток $ 9 - 1 \cdot 5 = 4 $).
Неполное частное 1 является целой частью, остаток 4 — числителем дробной части, а знаменатель 5 остается прежним.
Таким образом, $ \frac{9}{5} = 1 \frac{4}{5} $.
Ответ: $ 1 \frac{4}{5} $.

б) Чтобы выделить целую часть из дроби $ \frac{14}{3} $, разделим числитель 14 на знаменатель 3 с остатком.
$ 14 \div 3 = 4 $ (остаток $ 14 - 4 \cdot 3 = 2 $).
Целая часть равна 4, числитель дробной части — 2, знаменатель — 3.
Следовательно, $ \frac{14}{3} = 4 \frac{2}{3} $.
Ответ: $ 4 \frac{2}{3} $.

в) Для выделения целой части из дроби $ \frac{15}{4} $ разделим 15 на 4 с остатком.
$ 15 \div 4 = 3 $ (остаток $ 15 - 3 \cdot 4 = 3 $).
Получаем, что целая часть равна 3, а дробная часть равна $ \frac{3}{4} $.
В результате, $ \frac{15}{4} = 3 \frac{3}{4} $.
Ответ: $ 3 \frac{3}{4} $.

г) Чтобы выделить целую часть из дроби $ \frac{29}{7} $, выполним деление числителя на знаменатель с остатком.
$ 29 \div 7 = 4 $ (остаток $ 29 - 4 \cdot 7 = 1 $).
Неполное частное 4 будет целой частью, остаток 1 — новым числителем, а знаменатель 7 останется без изменений.
Таким образом, $ \frac{29}{7} = 4 \frac{1}{7} $.
Ответ: $ 4 \frac{1}{7} $.

д) Выделим целую часть из дроби $ \frac{39}{9} $. Для этого разделим 39 на 9 с остатком.
$ 39 \div 9 = 4 $ (остаток $ 39 - 4 \cdot 9 = 3 $).
Получаем смешанное число $ 4 \frac{3}{9} $.
Дробную часть $ \frac{3}{9} $ можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3: $ \frac{3 \div 3}{9 \div 3} = \frac{1}{3} $.
Следовательно, $ \frac{39}{9} = 4 \frac{1}{3} $.
Ответ: $ 4 \frac{1}{3} $.

е) Чтобы выделить целую часть из дроби $ \frac{49}{11} $, разделим 49 на 11 с остатком.
$ 49 \div 11 = 4 $ (остаток $ 49 - 4 \cdot 11 = 5 $).
Целая часть равна 4, числитель дробной части — 5, знаменатель — 11.
Получаем, $ \frac{49}{11} = 4 \frac{5}{11} $.
Ответ: $ 4 \frac{5}{11} $.

ж) Выделим целую часть из дроби $ \frac{117}{10} $. Разделим 117 на 10 с остатком.
$ 117 \div 10 = 11 $ (остаток $ 117 - 11 \cdot 10 = 7 $).
Целая часть равна 11, остаток 7 становится числителем дробной части.
Таким образом, $ \frac{117}{10} = 11 \frac{7}{10} $.
Ответ: $ 11 \frac{7}{10} $.

з) Чтобы выделить целую часть из дроби $ \frac{138}{40} $, разделим 138 на 40 с остатком.
$ 138 \div 40 = 3 $ (остаток $ 138 - 3 \cdot 40 = 18 $).
В результате деления получаем смешанное число $ 3 \frac{18}{40} $.
Дробную часть $ \frac{18}{40} $ можно сократить, так как числитель и знаменатель имеют общий делитель 2: $ \frac{18 \div 2}{40 \div 2} = \frac{9}{20} $.
Окончательный результат: $ \frac{138}{40} = 3 \frac{9}{20} $.
Ответ: $ 3 \frac{9}{20} $.

и) Выделим целую часть из дроби $ \frac{142}{15} $. Для этого разделим числитель 142 на знаменатель 15 с остатком.
$ 142 \div 15 = 9 $ (остаток $ 142 - 9 \cdot 15 = 142 - 135 = 7 $).
Целая часть равна 9, числитель дробной части — 7, знаменатель — 15.
Таким образом, $ \frac{142}{15} = 9 \frac{7}{15} $.
Ответ: $ 9 \frac{7}{15} $.

к) Для выделения целой части из дроби $ \frac{257}{25} $, разделим 257 на 25 с остатком.
$ 257 \div 25 = 10 $ (остаток $ 257 - 10 \cdot 25 = 7 $).
Неполное частное 10 будет целой частью, остаток 7 — числителем дробной части.
Следовательно, $ \frac{257}{25} = 10 \frac{7}{25} $.
Ответ: $ 10 \frac{7}{25} $.