Страница 233 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1045. Площадь прямоугольника равна 4 дм$^2$. Вычислите длину прямоугольника, если его ширина равна:

а) $\frac{1}{2}$ дм;

б) $\frac{2}{5}$ дм;

в) $1\frac{3}{5}$ дм;

г) $1\frac{1}{4}$ дм.

Для нахождения длины прямоугольника необходимо его площадь разделить на ширину. Формула для вычисления длины ($a$) выглядит так: $a = S : b$, где $S$ — площадь, а $b$ — ширина. В данной задаче $S = 4 \text{ дм}^2$.

а) Если ширина равна $\frac{1}{2}$ дм, то длина прямоугольника составляет:
$a = 4 : \frac{1}{2} = 4 \cdot \frac{2}{1} = 8$ дм.
Ответ: 8 дм.

б) Если ширина равна $\frac{2}{5}$ дм, то длина прямоугольника составляет:
$a = 4 : \frac{2}{5} = 4 \cdot \frac{5}{2} = \frac{4 \cdot 5}{2} = \frac{20}{2} = 10$ дм.
Ответ: 10 дм.

в) Если ширина равна $1\frac{3}{5}$ дм, сначала представим ширину в виде неправильной дроби: $1\frac{3}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{8}{5}$ дм. Теперь найдем длину:
$a = 4 : \frac{8}{5} = 4 \cdot \frac{5}{8} = \frac{4 \cdot 5}{8} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$ дм.
Ответ: $2\frac{1}{2}$ дм.

г) Если ширина равна $1\frac{1}{4}$ дм, сначала представим ширину в виде неправильной дроби: $1\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$ дм. Теперь найдем длину:
$a = 4 : \frac{5}{4} = 4 \cdot \frac{4}{5} = \frac{16}{5} = 3\frac{1}{5}$ дм.
Ответ: $3\frac{1}{5}$ дм.

1046. Вычислите площадь и периметр прямоугольника, длина и ширина которого равны:

а) $1\frac{2}{5}$ м и $3\frac{3}{4}$ м;

б) $4\frac{1}{20}$ м и $3\frac{1}{3}$ м.

а)
Даны длина и ширина прямоугольника: $a = 1\frac{2}{5}$ м и $b = 3\frac{3}{4}$ м.

1. Вычислим площадь (S).
Формула площади прямоугольника: $S = a \cdot b$.
Сначала переведем смешанные числа в неправильные дроби:
$1\frac{2}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{7}{5}$
$3\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{15}{4}$
Теперь вычислим площадь:
$S = \frac{7}{5} \cdot \frac{15}{4} = \frac{7 \cdot 15}{5 \cdot 4} = \frac{7 \cdot 3}{1 \cdot 4} = \frac{21}{4} = 5\frac{1}{4}$ м².

2. Вычислим периметр (P).
Формула периметра прямоугольника: $P = 2 \cdot (a + b)$.
$P = 2 \cdot (1\frac{2}{5} + 3\frac{3}{4})$
Приведем дроби к общему знаменателю 20:
$1\frac{2}{5} = 1\frac{8}{20}$
$3\frac{3}{4} = 3\frac{15}{20}$
$P = 2 \cdot (1\frac{8}{20} + 3\frac{15}{20}) = 2 \cdot (4\frac{8+15}{20}) = 2 \cdot 4\frac{23}{20} = 2 \cdot (5\frac{3}{20})$
Переведем $5\frac{3}{20}$ в неправильную дробь: $\frac{5 \cdot 20 + 3}{20} = \frac{103}{20}$.
$P = 2 \cdot \frac{103}{20} = \frac{2 \cdot 103}{20} = \frac{103}{10} = 10\frac{3}{10}$ м.

Ответ: площадь равна $5\frac{1}{4}$ м², периметр равен $10\frac{3}{10}$ м.

б)
Даны длина и ширина прямоугольника: $a = 4\frac{1}{20}$ м и $b = 3\frac{1}{3}$ м.

1. Вычислим площадь (S).
Формула площади: $S = a \cdot b$.
Переведем смешанные числа в неправильные дроби:
$4\frac{1}{20} = \frac{4 \cdot 20 + 1}{20} = \frac{81}{20}$
$3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$
Вычислим площадь:
$S = \frac{81}{20} \cdot \frac{10}{3} = \frac{81 \cdot 10}{20 \cdot 3} = \frac{27 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{27}{2} = 13\frac{1}{2}$ м².

2. Вычислим периметр (P).
Формула периметра: $P = 2 \cdot (a + b)$.
$P = 2 \cdot (4\frac{1}{20} + 3\frac{1}{3})$
Приведем дроби к общему знаменателю 60:
$4\frac{1}{20} = 4\frac{3}{60}$
$3\frac{1}{3} = 3\frac{20}{60}$
$P = 2 \cdot (4\frac{3}{60} + 3\frac{20}{60}) = 2 \cdot (7\frac{3+20}{60}) = 2 \cdot 7\frac{23}{60}$
Переведем $7\frac{23}{60}$ в неправильную дробь: $\frac{7 \cdot 60 + 23}{60} = \frac{420 + 23}{60} = \frac{443}{60}$.
$P = 2 \cdot \frac{443}{60} = \frac{2 \cdot 443}{60} = \frac{443}{30} = 14\frac{23}{30}$ м.

Ответ: площадь равна $13\frac{1}{2}$ м², периметр равен $14\frac{23}{30}$ м.

1047. Вычислите площадь и периметр квадрата со стороной:

а) $ \frac{2}{5} $ см;

б) $ \frac{4}{5} $ дм;

в) $ \frac{3}{10} $ м;

г) $ 1\frac{1}{4} $ дм.

Для вычисления площади $S$ и периметра $P$ квадрата со стороной $a$ используются следующие формулы:

• Площадь: $S = a^2$
• Периметр: $P = 4a$

а) Сторона квадрата $a = \frac{2}{5}$ см.

Площадь: $S = \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{2^2}{5^2} = \frac{4}{25}$ см².

Периметр: $P = 4 \cdot \frac{2}{5} = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5}$ см.

Ответ: площадь $\frac{4}{25}$ см², периметр $1\frac{3}{5}$ см.

б) Сторона квадрата $a = \frac{4}{5}$ дм.

Площадь: $S = \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{4^2}{5^2} = \frac{16}{25}$ дм².

Периметр: $P = 4 \cdot \frac{4}{5} = \frac{16}{5} = 3\frac{1}{5}$ дм.

Ответ: площадь $\frac{16}{25}$ дм², периметр $3\frac{1}{5}$ дм.

в) Сторона квадрата $a = \frac{3}{10}$ м.

Площадь: $S = \left(\frac{3}{10}\right)^2 = \frac{3^2}{10^2} = \frac{9}{100}$ м².

Периметр: $P = 4 \cdot \frac{3}{10} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}$ м.

Ответ: площадь $\frac{9}{100}$ м², периметр $1\frac{1}{5}$ м.

г) Сторона квадрата $a = 1\frac{1}{4}$ дм.

Сначала представим длину стороны в виде неправильной дроби: $a = 1\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$ дм.

Площадь: $S = \left(\frac{5}{4}\right)^2 = \frac{5^2}{4^2} = \frac{25}{16} = 1\frac{9}{16}$ дм².

Периметр: $P = 4 \cdot \frac{5}{4} = 5$ дм.

Ответ: площадь $1\frac{9}{16}$ дм², периметр $5$ дм.

1048. Сколько банок краски потребуется для покраски железной крыши дома, если содержимого одной банки хватает на покраску $10 \text{ м}^2$ поверхности? (Размеры крыши указаны на рисунке 174.)

Рис. 174

Для решения задачи необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти общую площадь поверхности крыши, которую нужно покрасить. Крыша дома двускатная, то есть состоит из двух одинаковых прямоугольных скатов. Из рисунка видно, что размеры одного ската составляют 7 метров в длину и 3 метра в ширину.

Площадь одного ската ($S_1$) вычисляется как произведение его длины на ширину:

$S_1 = 7 \text{ м} \times 3 \text{ м} = 21 \text{ м}^2$

Так как скатов два, общая площадь крыши ($S_{общ}$) будет в два раза больше:

$S_{общ} = 2 \times S_1 = 2 \times 21 \text{ м}^2 = 42 \text{ м}^2$

2. Определить необходимое количество банок краски. По условию, одной банки хватает на покраску 10 м² поверхности. Чтобы найти количество банок, нужно общую площадь крыши разделить на площадь, покрываемую одной банкой:

$N = \frac{S_{общ}}{10 \text{ м}^2} = \frac{42 \text{ м}^2}{10 \text{ м}^2} = 4.2$

Поскольку количество банок должно быть целым числом, а 4 банок не хватит для покраски всей поверхности ( $4 \times 10 = 40 \text{ м}^2$, что меньше $42 \text{ м}^2$), необходимое количество нужно округлить в большую сторону. Следовательно, потребуется 5 банок краски.

Ответ: 5 банок.

1049. Необходимо покрыть кафельной плиткой пол, имеющий форму прямоугольника со сторонами 4 м 50 см и 2 м 40 см. Плитки имеют форму квадрата со стороной 15 см. Сколько ящиков плитки потребуется, если в каждом ящике 50 плиток?

Для решения задачи необходимо выполнить несколько шагов:

1. Приведение всех размеров к единой единице измерения.
Удобнее всего перевести все размеры в сантиметры (см).
Длина пола: $4 \text{ м } 50 \text{ см } = 4 \times 100 \text{ см } + 50 \text{ см } = 450 \text{ см }$.
Ширина пола: $2 \text{ м } 40 \text{ см } = 2 \times 100 \text{ см } + 40 \text{ см } = 240 \text{ см }$.
Сторона одной плитки: $15 \text{ см }$.

2. Расчет необходимого количества плиток.
Сначала определим, сколько плиток нужно уложить в ряд вдоль каждой из сторон пола.
Количество плиток по длине: $\frac{450}{15} = 30$ плиток.
Количество плиток по ширине: $\frac{240}{15} = 16$ плиток.
Теперь найдем общее количество плиток, перемножив количество плиток по длине и ширине:
Общее количество плиток = $30 \times 16 = 480$ штук.

3. Расчет количества ящиков.
Известно, что в одном ящике 50 плиток. Чтобы найти необходимое количество ящиков, разделим общее количество плиток на количество плиток в одном ящике:
Количество ящиков = $\frac{480}{50} = 9.6$.
Поскольку ящики продаются только целиком, полученное число необходимо округлить в большую сторону до ближайшего целого. Таким образом, потребуется 10 ящиков.

Ответ: 10 ящиков.

1050. Вычислите объём куба с ребром:

а) $ \frac{1}{2} $ м;

б) $ \frac{1}{4} $ м;

в) $ 1\frac{1}{3} $ см;

г) $ 2\frac{1}{5} $ дм.

Для вычисления объёма куба используется формула $V = a^3$, где $V$ — это объём, а $a$ — это длина ребра куба.

а) Дана длина ребра куба $a = \frac{1}{2}$ м.
Вычислим объём:
$V = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ м³.
Ответ: $\frac{1}{8}$ м³.

б) Дана длина ребра куба $a = \frac{1}{4}$ м.
Вычислим объём:
$V = (\frac{1}{4})^3 = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{64}$ м³.
Ответ: $\frac{1}{64}$ м³.

в) Дана длина ребра куба $a = 1\frac{1}{3}$ см.
Сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби:
$a = 1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$ см.
Теперь вычислим объём:
$V = (\frac{4}{3})^3 = \frac{4 \cdot 4 \cdot 4}{3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{64}{27}$ см³.
Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число:
$\frac{64}{27} = 2\frac{10}{27}$ см³.
Ответ: $2\frac{10}{27}$ см³.

г) Дана длина ребра куба $a = 2\frac{1}{5}$ дм.
Представим смешанное число в виде неправильной дроби:
$a = 2\frac{1}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{11}{5}$ дм.
Вычислим объём:
$V = (\frac{11}{5})^3 = \frac{11 \cdot 11 \cdot 11}{5 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{1331}{125}$ дм³.
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$\frac{1331}{125} = 10\frac{81}{125}$ дм³.
Ответ: $10\frac{81}{125}$ дм³.

1051. Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда, рёбра которого равны:

а) $\frac{1}{2}$ м, $\frac{1}{3}$ м и $\frac{1}{4}$ м;

б) $\frac{2}{5}$ дм, $\frac{3}{4}$ дм и $\frac{5}{7}$ дм;

в) 50 мм, 2 см и $\frac{3}{100}$ м;

г) $\frac{3}{10}$ дм, $\frac{23}{100}$ м и 2 дм.

Объём прямоугольного параллелепипеда $(V)$ вычисляется как произведение длин трёх его рёбер (длины, ширины и высоты): $V = a \cdot b \cdot c$.
Даны рёбра: $a = \frac{1}{2}$ м, $b = \frac{1}{3}$ м и $c = \frac{1}{4}$ м.
Все размеры даны в метрах, поэтому можно сразу подставить значения в формулу:
$V = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{1}{24}$ м³.
Ответ: $\frac{1}{24}$ м³.

Даны рёбра: $a = \frac{2}{5}$ дм, $b = \frac{3}{4}$ дм и $c = \frac{5}{7}$ дм.
Все размеры даны в дециметрах. Подставляем значения в формулу объёма:
$V = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{7}$.
Чтобы перемножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Можно сократить числа в числителе и знаменателе до умножения: 5 в числителе и знаменателе сокращаются, а 2 и 4 сокращаются на 2.
$V = \frac{\cancel{2}^1}{\cancel{5}_1} \cdot \frac{3}{\cancel{4}_2} \cdot \frac{\cancel{5}^1}{7} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 1}{1 \cdot 2 \cdot 7} = \frac{3}{14}$ дм³.
Ответ: $\frac{3}{14}$ дм³.

Даны рёбра: 50 мм, 2 см и $\frac{3}{100}$ м.
Чтобы вычислить объём, необходимо привести все размеры к одной единице измерения. Переведём все размеры в сантиметры (см).
Напомним соотношения: 1 см = 10 мм; 1 м = 100 см.
$a = 50$ мм $= 50 \div 10 = 5$ см.
$b = 2$ см (уже в сантиметрах).
$c = \frac{3}{100}$ м $= \frac{3}{100} \cdot 100 = 3$ см.
Теперь, когда все рёбра выражены в сантиметрах, вычислим объём:
$V = 5 \cdot 2 \cdot 3 = 30$ см³.
Ответ: 30 см³.

Даны рёбра: $\frac{3}{10}$ дм, $\frac{23}{100}$ м и 2 дм.
Приведём все размеры к одной единице измерения. Удобнее всего перевести всё в дециметры (дм).
Напомним соотношение: 1 м = 10 дм.
$a = \frac{3}{10}$ дм (уже в дециметрах).
$b = \frac{23}{100}$ м $= \frac{23}{100} \cdot 10 = \frac{23}{10}$ дм.
$c = 2$ дм (уже в дециметрах).
Вычислим объём:
$V = \frac{3}{10} \cdot \frac{23}{10} \cdot 2 = \frac{3 \cdot 23 \cdot 2}{10 \cdot 10} = \frac{138}{100} = 1,38$ дм³.
Ответ: 1,38 дм³.