Страница 240 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1068. В старых русских руководствах по арифметике использовали такие названия дробей:

$\frac{1}{2}$ — половина, $\frac{1}{4}$ — четь, $\frac{1}{8}$ — полчеть,

$\frac{1}{16}$ — полполчеть, $\frac{1}{32}$ — полполполчеть.

Определите, каким дробям соответствовали тогда названия: треть, полтреть, полполтреть, полполполтреть.

Для решения задачи проанализируем систему наименований, данную в примере. Основой является некоторая дробь (например, "четь" — $\frac{1}{4}$), а приставка "пол-" означает взятие половины от этой дроби. Таким образом, каждая последующая приставка "пол-" делит знаменатель дроби на 2.

• "четь" = $\frac{1}{4}$
• "полчеть" = $\frac{1}{2} \times \text{четь} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$
• "полполчеть" = $\frac{1}{2} \times \text{полчеть} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{8} = \frac{1}{16}$

Применим эту же логику к названиям, в основе которых лежит слово "треть".

треть
Это основная дробь, которая, как и в современном языке, означает одну третью часть.
Ответ: $\frac{1}{3}$

полтреть
Это половина от "трети".
$\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$
Ответ: $\frac{1}{6}$

полполтреть
Это половина от "полтрети".
$\frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$
Ответ: $\frac{1}{12}$

полполполтреть
Это половина от "полполтрети".
$\frac{1}{2} \times \frac{1}{12} = \frac{1}{24}$
Ответ: $\frac{1}{24}$

1069. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Купил полторажды полтора аршина, дал полтретьяжды полтретьи гривны. Сколько надо дать за полдевятажды полдевята аршина?

Примечание. На Руси некоторые смешанные дроби имели свои названия: $1\frac{1}{2}$ — полтора, $2\frac{1}{2}$ — полтрети, $3\frac{1}{2}$ — полчетверта, $4\frac{1}{2}$ — полпята и т. д.

В задаче упоминаются произведения дробей:

$1\frac{1}{2} \cdot 1\frac{1}{2}$; $2\frac{1}{2} \cdot 2\frac{1}{2}$; $8\frac{1}{2} \cdot 8\frac{1}{2}$.

Для решения этой старинной задачи из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого, необходимо сначала перевести старинные русские обозначения дробей на современный математический язык, используя примечание к задаче.

1. Расшифровка условия задачи

В примечании указано:

• Полтора: $1 \frac{1}{2}$
• Полтрети: $2 \frac{1}{2}$

По аналогии, «полдевята» (то есть, неполные девять, или половина от девятого) означает $8 \frac{1}{2}$.

Окончание «-жды» в словах «полторажды», «полтретьяжды» означает умножение. Таким образом, условие задачи можно переписать в виде современных математических выражений:

• Количество купленного товара: «полторажды полтора аршина» = $1 \frac{1}{2} \cdot 1 \frac{1}{2}$ аршина.
• Уплаченная сумма: «полтретьяжды полтретьи гривны» = $2 \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{1}{2}$ гривны.
• Новое количество товара, для которого нужно рассчитать цену: «полдевятажды полдевята аршина» = $8 \frac{1}{2} \cdot 8 \frac{1}{2}$ аршина.

2. Определение цены за один аршин

Сначала вычислим, сколько всего было куплено аршин. Для этого переведем смешанную дробь в неправильную и выполним умножение:

Количество = $1 \frac{1}{2} \cdot 1 \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{4}$ аршина.

Теперь вычислим, сколько всего гривен было уплачено:

Сумма = $2 \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{1}{2} = \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} = \frac{25}{4}$ гривны.

Чтобы найти цену одного аршина, нужно общую сумму разделить на общее количество товара:

Цена за 1 аршин $= \frac{25}{4} \div \frac{9}{4} = \frac{25}{4} \cdot \frac{4}{9} = \frac{25}{9}$ гривны.

3. Расчет стоимости для нового количества аршин

Вычислим новое количество аршин:

Новое количество $= 8 \frac{1}{2} \cdot 8 \frac{1}{2} = \frac{17}{2} \cdot \frac{17}{2} = \frac{289}{4}$ аршина.

Теперь умножим это количество на ранее найденную цену одного аршина, чтобы определить, сколько нужно заплатить:

Итоговая стоимость $= \frac{289}{4} \cdot \frac{25}{9} = \frac{289 \cdot 25}{4 \cdot 9} = \frac{7225}{36}$ гривны.

Для удобства преобразуем полученную неправильную дробь в смешанное число:

$7225 \div 36 = 200$ (остаток $25$).

Таким образом, итоговая стоимость составляет $200 \frac{25}{36}$ гривны.

Ответ: $200 \frac{25}{36}$ гривны.