Страница 241 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1070. Ананий из Ширака (Армения, VII в.). В городе Афины был водоём, в который проведены три трубы. Одна из труб может наполнить водоём за один час, другая, более тонкая, — за два часа, третья, ещё более тонкая, — за три часа. Итак, узнай, за какую часть часа все три трубы вместе наполняют водоём.

Примечание. Ананий дал такой ответ: $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{12}$ $\frac{1}{22}$. Используйте его для проверки своего решения.

Для решения задачи примем весь объём водоёма за 1.

1. Найдём производительность каждой трубы.
Производительность — это часть работы, выполняемая за единицу времени. В данном случае, это часть водоёма, которую труба наполняет за 1 час.

• Первая труба наполняет водоём за 1 час, значит её производительность составляет $1 \div 1 = \frac{1}{1}$ водоёма в час.
• Вторая труба наполняет водоём за 2 часа, её производительность — $1 \div 2 = \frac{1}{2}$ водоёма в час.
• Третья труба наполняет водоём за 3 часа, её производительность — $1 \div 3 = \frac{1}{3}$ водоёма в час.

2. Найдём общую производительность.
При совместной работе производительности труб складываются. $P_{общ} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$
Приведём дроби к общему знаменателю 6: $P_{общ} = \frac{6}{6} + \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{6+3+2}{6} = \frac{11}{6}$
Это значит, что за 1 час все три трубы вместе наполнят $\frac{11}{6}$ водоёма.

3. Найдём время наполнения водоёма.
Чтобы найти время, за которое наполнится весь водоём (т.е. 1), нужно разделить объём работы на общую производительность: $T = 1 \div P_{общ} = 1 \div \frac{11}{6} = 1 \cdot \frac{6}{11} = \frac{6}{11}$ часа.

Проверка по примечанию.
Ананий из Ширака дал ответ в виде суммы аликвотных дробей (дробей с числителем 1), что было характерно для математики того времени. Проверим, равна ли сумма его дробей нашему результату: $\frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{22}$
Сложим первые три дроби, приведя их к общему знаменателю 12: $\frac{3}{12} + \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
Теперь добавим последнюю дробь: $\frac{1}{2} + \frac{1}{22}$
Приведём к общему знаменателю 22: $\frac{11}{22} + \frac{1}{22} = \frac{12}{22} = \frac{6}{11}$
Результаты совпали, следовательно, задача решена верно.

Ответ: все три трубы вместе наполнят водоём за $\frac{6}{11}$ часа.

1071. За 11 к. куплены одна пятириковая и одна шестириковая стеариновые свечи. Сколько стоит фунт стеариновых свечей? (Пятириковая свеча весила $\frac{1}{5}$, а шестириковая — $\frac{1}{6}$ фунта.)

Для решения задачи необходимо выполнить следующие действия:

1. Найти общий вес купленных свечей.
Для этого нужно сложить вес пятириковой и шестириковой свечей. Вес пятириковой свечи — $\frac{1}{5}$ фунта. Вес шестириковой свечи — $\frac{1}{6}$ фунта. Складываем их вес: $\\frac{1}{5} + \\frac{1}{6}$ Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5 и 6 это 30. $\\frac{1 \cdot 6}{5 \cdot 6} + \\frac{1 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \\frac{6}{30} + \\frac{5}{30} = \\frac{6+5}{30} = \\frac{11}{30}$ фунта. Таким образом, общий вес двух свечей составляет $\frac{11}{30}$ фунта.

2. Определить стоимость одного фунта стеариновых свечей.
Мы знаем, что за $\frac{11}{30}$ фунта свечей заплатили 11 копеек. Чтобы найти, сколько стоит один фунт, нужно общую стоимость разделить на общий вес. $11 \text{ к.} : \frac{11}{30} \text{ фунта} = 11 \cdot \frac{30}{11} = \frac{11 \cdot 30}{11} = 30$ копеек. Стоимость одного фунта стеариновых свечей составляет 30 копеек.

Ответ: фунт стеариновых свечей стоит 30 копеек.

1072. Из египетских папирусов.

а) Количество и его четвёртая часть дают вместе 15. Найдите количество.

б) Число и его половина составляют 9. Найдите число.

а)

Пусть искомое количество равно $x$. По условию задачи, сумма этого количества и его четвёртой части ($\frac{1}{4}x$) равна 15. Составим и решим уравнение:

$x + \frac{1}{4}x = 15$

Приведём левую часть к общему знаменателю:

$\frac{4}{4}x + \frac{1}{4}x = 15$

$\frac{5}{4}x = 15$

Чтобы найти $x$, нужно разделить 15 на коэффициент $\frac{5}{4}$. Это то же самое, что умножить 15 на обратную дробь $\frac{4}{5}$:

$x = 15 : \frac{5}{4}$

$x = 15 \cdot \frac{4}{5}$

$x = \frac{15 \cdot 4}{5} = 3 \cdot 4 = 12$

Проверим: $12 + \frac{1}{4} \cdot 12 = 12 + 3 = 15$. Решение верное.

Ответ: 12

б)

Пусть искомое число равно $y$. По условию задачи, сумма этого числа и его половины ($\frac{1}{2}y$) составляет 9. Составим и решим уравнение:

$y + \frac{1}{2}y = 9$

Приведём левую часть к общему знаменателю:

$\frac{2}{2}y + \frac{1}{2}y = 9$

$\frac{3}{2}y = 9$

Чтобы найти $y$, нужно разделить 9 на коэффициент $\frac{3}{2}$. Это то же самое, что умножить 9 на обратную дробь $\frac{2}{3}$:

$y = 9 : \frac{3}{2}$

$y = 9 \cdot \frac{2}{3}$

$y = \frac{9 \cdot 2}{3} = 3 \cdot 2 = 6$

Проверим: $6 + \frac{1}{2} \cdot 6 = 6 + 3 = 9$. Решение верное.

Ответ: 6

107. Составьте задачу, аналогичную египетским задачам, и решите её двумя способами.

Сначала составим задачу, аналогичную тем, что решали в Древнем Египте. В египетских задачах часто фигурировало понятие «куча» (или «аха») для обозначения неизвестной величины.

Условие задачи:

Куча и ее четвертая часть вместе составляют 30. Найдите величину кучи.

Теперь решим эту задачу двумя способами.

Решение первым способом (метод ложного положения, как в Древнем Египте)

Этот метод заключается в том, что мы сначала берем произвольное, удобное для расчетов число (ложное положение), а затем корректируем результат.

1. Предположим, что «куча» равна числу, которое легко делится на 4. Возьмем, к примеру, 4. Это наше «ложное» значение.

2. Вычислим, чему будет равна сумма этой «кучи» и ее четвертой части: $4 + \frac{1}{4} \cdot 4 = 4 + 1 = 5$.

3. По условию задачи, результат должен быть равен 30, а у нас получилось 5. Сравним требуемый результат с полученным: $\frac{30}{5} = 6$. Наш результат в 6 раз меньше, чем нужно.

4. Это означает, что и наше первоначальное предположение (ложное значение) было в 6 раз меньше истинного. Умножим наше предположение на этот коэффициент: $4 \cdot 6 = 24$.

5. Проверим результат: $24 + \frac{1}{4} \cdot 24 = 24 + 6 = 30$. Результат верный.

Ответ: 24.

Решение вторым способом (современный алгебраический метод)

Этот метод заключается в составлении и решении уравнения.

1. Обозначим неизвестную величину («кучу») переменной $x$.

2. Ее четвертая часть будет равна $\frac{1}{4}x$.

3. Согласно условию, их сумма равна 30. Составим уравнение: $x + \frac{1}{4}x = 30$.

4. Решим это уравнение. Сложим слагаемые в левой части: $1x + \frac{1}{4}x = (1 + \frac{1}{4})x = (\frac{4}{4} + \frac{1}{4})x = \frac{5}{4}x$.

5. Получаем уравнение: $\frac{5}{4}x = 30$.

6. Чтобы найти $x$, разделим 30 на $\frac{5}{4}$: $x = 30 : \frac{5}{4} = 30 \cdot \frac{4}{5} = \frac{30 \cdot 4}{5} = 6 \cdot 4 = 24$.

Ответ: 24.

1074. Разделите полтину на половину.

Эта задача является классической задачей-загадкой, которая проверяет понимание математической операции деления на дробь.

Для решения необходимо определить числовые значения, стоящие за словами "полтина" и "половина", и выполнить математическое действие.

1. "Полтина" — это старинное название монеты номиналом 50 копеек. Следовательно, полтина равна 50 копейкам.

2. "Половина" — это числовое значение, равное одной второй, то есть дроби $ \frac{1}{2} $.

3. Задание "разделите ... на половину" означает, что нужно выполнить операцию деления на число $ \frac{1}{2} $.

Запишем выражение математически:

$ 50 \text{ копеек} \div \frac{1}{2} $

Согласно правилу деления на дробь, чтобы разделить число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную делителю (перевернутую дробь). Обратная дробь для $ \frac{1}{2} $ — это $ \frac{2}{1} $, или просто 2.

Выполним вычисление:

$ 50 \div \frac{1}{2} = 50 \times 2 = 100 $

Результат равен 100 копейкам. Так как 100 копеек составляют 1 рубль, то ответ можно дать и в рублях.

Важно отметить, что действие "разделить на половину" (т.е. на $ \frac{1}{2} $) часто путают с действием "разделить пополам" (т.е. на 2), результатом которого было бы 25 копеек. В данной задаче требуется именно деление на $ \frac{1}{2} $.

Ответ: 100 копеек, или 1 рубль.

1075. Можно ли число 1 представить в виде суммы дробей: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d}$, где $a, b, c, d$ — нечётные натуральные числа?

Чтобы определить, возможно ли такое представление, проанализируем уравнение с точки зрения чётности.

Предположим, что существуют нечётные натуральные числа $a$, $b$, $c$ и $d$, для которых выполняется равенство: $$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} = 1 $$ Приведём все дроби в левой части к общему знаменателю $abcd$: $$ \frac{bcd + acd + abd + abc}{abcd} = 1 $$ Это равенство означает, что числитель равен знаменателю: $$ bcd + acd + abd + abc = abcd $$

Теперь рассмотрим чётность левой и правой частей полученного уравнения.

По условию, числа $a, b, c, d$ — нечётные. Произведение любого количества нечётных чисел всегда является нечётным числом. Следовательно, правая часть уравнения, $abcd$, является нечётным числом.

Рассмотрим левую часть уравнения: $bcd + acd + abd + abc$. Каждое слагаемое в этой сумме ($bcd$, $acd$, $abd$, $abc$) представляет собой произведение трёх нечётных чисел, а значит, каждое из них также является нечётным. Левая часть является суммой четырёх нечётных чисел. Сумма чётного количества нечётных слагаемых (в нашем случае их 4) всегда является чётным числом.

В результате мы приходим к противоречию: левая часть уравнения должна быть чётной, а правая — нечётной. Равенство "чётное число = нечётное число" невозможно.

Это означает, что наше первоначальное предположение неверно, и число 1 нельзя представить в виде указанной суммы дробей.

Ответ: нет, нельзя.

1076. Задача-шутка. Из верхнего угла комнаты вниз по стене поползли две мухи. Спустившись до пола, они поползли обратно. Первая муха ползла вниз и вверх с одинаковой скоростью, а вторая муха хоть и поднималась в два раза медленнее первой, но зато спускалась вдвое быстрее её. Какая из мух раньше приползёт обратно?

Для решения этой задачи введем переменные и сравним общее время, затраченное каждой мухой на путь туда и обратно.

Пусть $S$ — это расстояние от верхнего угла до пола (высота стены), а $v$ — скорость первой мухи.

Расчет для первой мухи:
Первая муха ползет вниз и вверх с одинаковой скоростью $v$.
Время, чтобы спуститься вниз: $t_{1,вниз} = \frac{S}{v}$.
Время, чтобы подняться вверх: $t_{1,вверх} = \frac{S}{v}$.
Общее время для первой мухи: $T_1 = t_{1,вниз} + t_{1,вверх} = \frac{S}{v} + \frac{S}{v} = \frac{2S}{v}$.

Расчет для второй мухи:
Вторая муха спускалась вдвое быстрее первой, значит, ее скорость вниз была $2v$.
Время, чтобы спуститься вниз: $t_{2,вниз} = \frac{S}{2v}$.
Вторая муха поднималась в два раза медленнее первой, значит, ее скорость вверх была $\frac{v}{2}$.
Время, чтобы подняться вверх: $t_{2,вверх} = \frac{S}{v/2} = \frac{2S}{v}$.
Общее время для второй мухи: $T_2 = t_{2,вниз} + t_{2,вверх} = \frac{S}{2v} + \frac{2S}{v}$.

Сравнение времен:
Теперь сравним общее время $T_1$ и $T_2$.
$T_1 = \frac{2S}{v}$
$T_2 = \frac{S}{2v} + \frac{2S}{v} = \frac{S}{2v} + \frac{4S}{2v} = \frac{5S}{2v}$.
Чтобы сравнить дроби, приведем $T_1$ к тому же знаменателю: $T_1 = \frac{2S}{v} = \frac{4S}{2v}$.
Теперь мы видим, что $T_1 = \frac{4S}{2v}$, а $T_2 = \frac{5S}{2v}$.
Поскольку $\frac{4S}{2v} < \frac{5S}{2v}$, то $T_1 < T_2$.
Это означает, что первая муха затратит на весь путь меньше времени, чем вторая. "Шутка" задачи заключается в том, что интуитивно кажется, будто времена должны быть одинаковы, но вторая муха проводит гораздо больше времени, двигаясь с медленной скоростью, чем выигрывает, двигаясь с быстрой.
Ответ: Первая муха приползёт обратно раньше.

1077. a) На столе лежало несколько книг. Когда взяли половину всех книг и ещё одну книгу, то осталось две книги (рис. 177). Сколько книг лежало на столе первоначально?

Взяли: $\frac{1}{2}$
Осталось: $\frac{1}{2}$ (2 книги)
Было - ?

Рис. 177

б) Мама дала детям конфеты: дочери половину всех конфет и ещё одну (рис. 178), сыну половину остатка и последние 5 конфет. Сколько всего конфет мама дала детям?

Дочери: $\frac{1}{2}$
Осталось: $\frac{1}{2}$ (1)

Рис. 178

а) Эту задачу удобнее всего решать с конца, выполняя обратные действия.

1. Из условия известно, что осталось 2 книги. Это произошло после того, как взяли "ещё одну книгу". Значит, до этого момента на столе было $2 + 1 = 3$ книги.

2. Эти 3 книги являются половиной от того количества, которое было на столе до того, как взяли первую половину. Следовательно, чтобы найти первоначальное количество книг, нужно это число умножить на 2.

3. Вычисляем общее количество книг: $3 \cdot 2 = 6$ книг.

Проверка: Изначально было 6 книг. Взяли половину ($6 : 2 = 3$) и ещё одну ($3 + 1 = 4$). На столе осталось $6 - 4 = 2$ книги. Решение верное.

Ответ: 6 книг.

б) Эту задачу также будем решать с конца.

1. Начнём с сына. Он получил "половину остатка и последние 5 конфет". Это означает, что 5 конфет и составляют вторую половину остатка. Значит, весь остаток, который был перед тем, как его поделили для сына, составлял $5 \cdot 2 = 10$ конфет.

2. Теперь вернёмся к дочери. После того, как она взяла свою долю, осталось 10 конфет. Дочь взяла "половину всех конфет и ещё одну". Значит, 10 конфет — это то, что осталось после того, как из второй половины всех конфет забрали одну. Таким образом, вторая половина всех конфет составляла $10 + 1 = 11$ конфет.

3. Если 11 конфет — это половина от всего количества, то всего у мамы было $11 \cdot 2 = 22$ конфеты.

Проверка: Всего было 22 конфеты. Дочь получила половину ($22 : 2 = 11$) и ещё одну, то есть $11 + 1 = 12$ конфет. Осталось $22 - 12 = 10$ конфет. Сын получил половину остатка ($10 : 2 = 5$) и последние 5 конфет. Итого сын получил $5 + 5 = 10$ конфет. Все конфеты розданы. Решение верное.

Ответ: 22 конфеты.