Страница 243 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1081. К табунщику пришли три казака покупать лошадей. «Хорошо, я вам продам лошадей, — сказал табунщик, — первому продам я полтабуна и ещё половину лошади, второму — половину оставшихся лошадей и ещё пол-лошади, третий также получит половину оставшихся лошадей и ещё пол-лошади. Себе же оставлю только 5 лошадей». Удивились казаки: как это табунщик будет делить лошадей пополам? Но после некоторых размышлений они успокоились, и сделка состоялась. Сколько же лошадей продал табунщик каждому из казаков?

Для решения этой задачи необходимо рассуждать с конца, так как нам известен конечный результат — у табунщика осталось 5 лошадей.

Сначала разберемся с условием продажи. Фраза «половину оставшихся лошадей и ещё пол-лошади» математически означает следующее: если перед продажей было $N$ лошадей, то казак получал $N/2 + 0.5$ лошадей. После этого у табунщика оставалось $N - (N/2 + 0.5) = N - N/2 - 0.5 = N/2 - 0.5$ лошадей. Это означает, что число лошадей перед каждой сделкой было нечетным, что позволяло совершить сделку без разделения живой лошади.

Чтобы найти, сколько лошадей было до сделки ($N$), зная, сколько осталось после нее ($Y$), нужно выполнить обратное действие. Если $Y = N/2 - 0.5$, то $N = 2 \cdot (Y + 0.5) = 2Y + 1$.

Теперь применим эту формулу последовательно, двигаясь от конца к началу.

1. Расчеты для третьего казака

После сделки с третьим казаком у табунщика осталось 5 лошадей. Найдем, сколько лошадей было до этой сделки, используя нашу обратную формулу:

$N_{до_3} = 2 \cdot 5 + 1 = 11$ лошадей.

Таким образом, до прихода третьего казака было 11 лошадей. Третий казак купил: $11 - 5 = 6$ лошадей.

Проверим: $11/2 + 0.5 = 5.5 + 0.5 = 6$ лошадей. Все верно.

2. Расчеты для второго казака

Мы знаем, что 11 лошадей — это остаток после сделки со вторым казаком. Найдем, сколько лошадей было до его прихода:

$N_{до_2} = 2 \cdot 11 + 1 = 23$ лошади.

Значит, второй казак купил: $23 - 11 = 12$ лошадей.

Проверим: $23/2 + 0.5 = 11.5 + 0.5 = 12$ лошадей. Все верно.

3. Расчеты для первого казака

23 лошади — это остаток после того, как первый казак купил свою долю. Найдем, сколько лошадей было в табуне изначально:

$N_{изначально} = 2 \cdot 23 + 1 = 47$ лошадей.

Следовательно, первый казак купил: $47 - 23 = 24$ лошади.

Проверим: $47/2 + 0.5 = 23.5 + 0.5 = 24$ лошади. Все верно.

Итак, мы выяснили, сколько лошадей купил каждый казак.

Ответ: Первый казак купил 24 лошади, второй казак — 12 лошадей, третий казак — 6 лошадей.

1082. У Саши на дне рождения было 5 друзей. Первому он отрезал $ \frac{1}{6} $ часть пирога, второму $ \frac{1}{5} $ остатка, третьему $ \frac{1}{4} $ того, что осталось, четвёртому $ \frac{1}{3} $ нового остатка. Последний кусок Саша разделил поровну с пятым другом. Кому достался самый большой кусок?

Для решения задачи давайте последовательно рассчитаем, какую часть от всего пирога получил каждый человек.

1. Первый друг.
Он получил $\frac{1}{6}$ часть всего пирога.Осталось: $1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ пирога.

2. Второй друг.
Он получил $\frac{1}{5}$ от остатка. Найдем, какую часть от всего пирога это составляет:$\frac{1}{5} \times \frac{5}{6} = \frac{1 \times 5}{5 \times 6} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$ часть пирога.После этого осталось: $\frac{5}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ пирога.

3. Третий друг.
Он получил $\frac{1}{4}$ от того, что осталось. Найдем, какую часть от всего пирога это составляет:$\frac{1}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{1 \times 2}{4 \times 3} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$ часть пирога.После этого осталось: $\frac{2}{3} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ пирога.

4. Четвёртый друг.
Он получил $\frac{1}{3}$ от нового остатка. Найдем, какую часть от всего пирога это составляет:$\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$ часть пирога.После этого осталось: $\frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ пирога.

5. Саша и пятый друг.
Они разделили последний кусок ($\frac{1}{3}$ пирога) поровну между собой. Значит, каждый из них получил:$\frac{1}{3} \div 2 = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$ часть пирога.

Сравнение.
Давайте сравним размеры кусков, которые получил каждый:

• Первый друг: $\frac{1}{6}$
• Второй друг: $\frac{1}{6}$
• Третий друг: $\frac{1}{6}$
• Четвёртый друг: $\frac{1}{6}$
• Пятый друг: $\frac{1}{6}$
• Саша: $\frac{1}{6}$

Все получили куски одинакового размера.

Ответ: Всем достались одинаковые куски пирога, самого большого куска нет.

1083.а) В нашем классе есть певцы и танцоры: $\frac{1}{5}$ всех певцов ещё и танцует, а $\frac{1}{4}$ танцоров ещё и поёт. Кого у нас в классе больше: певцов или танцоров?

б) В делегации иностранных гостей $\frac{1}{6}$ говорящих по-английски говорит и по-немецки, а $\frac{1}{5}$ говорящих по-немецки говорит и по-английски. Кого больше: говорящих по-немецки или говорящих по-английски?

в) В делегации иностранных гостей $\frac{1}{8}$ англичан знала немецкий язык, а $\frac{1}{7}$ немцев знала английский. Кого в делегации больше: немцев или англичан? Можно ли ответить на вопрос задачи?

а) Пусть $П$ — общее число певцов в классе, а $Т$ — общее число танцоров. Количество учеников, которые и поют, и танцуют, является одной и той же группой для обоих случаев.
Из условия задачи известно, что $ \frac{1}{5} $ от числа всех певцов также танцует. Это можно записать как $ \frac{1}{5} П $.
Также известно, что $ \frac{1}{4} $ от числа всех танцоров также поёт. Это можно записать как $ \frac{1}{4} Т $.
Поскольку речь идет об одной и той же группе учеников (те, кто умеет и то, и другое), мы можем приравнять эти два выражения:
$ \frac{1}{5} П = \frac{1}{4} Т $
Чтобы сравнить $П$ и $Т$, выразим $П$ через $Т$. Для этого умножим обе части уравнения на 5:
$ П = \frac{5}{4} Т $
Так как $ \frac{5}{4} = 1 \frac{1}{4} $, что больше единицы, то число певцов ($П$) больше числа танцоров ($Т$).
Ответ: певцов больше, чем танцоров.

б) Пусть $А$ — общее число гостей, говорящих по-английски, а $Н$ — общее число гостей, говорящих по-немецки. Группа гостей, говорящих на обоих языках, одна и та же.
Из условия, $ \frac{1}{6} $ говорящих по-английски говорит и по-немецки. Их число равно $ \frac{1}{6} А $.
Также, $ \frac{1}{5} $ говорящих по-немецки говорит и по-английски. Их число равно $ \frac{1}{5} Н $.
Приравниваем эти два выражения, так как они описывают одну и ту же группу людей:
$ \frac{1}{6} А = \frac{1}{5} Н $
Выразим $А$ через $Н$, умножив обе части уравнения на 6:
$ А = \frac{6}{5} Н $
Поскольку $ \frac{6}{5} = 1 \frac{1}{5} $, что больше единицы, то число говорящих по-английски ($А$) больше, чем число говорящих по-немецки ($Н$).
Ответ: говорящих по-английски больше, чем говорящих по-немецки.

в) Пусть $А$ — общее число англичан в делегации, а $Н$ — общее число немцев.
Число англичан, знающих немецкий язык, составляет $ \frac{1}{8} А $.
Число немцев, знающих английский язык, составляет $ \frac{1}{7} Н $.
В отличие от предыдущих задач, здесь речь идет о двух разных группах людей: "англичане, знающие немецкий" и "немцы, знающие английский". Англичанин не может быть немцем, и наоборот. В условии задачи нет информации, которая позволила бы нам связать количество людей в этих двух группах. Мы не можем утверждать, что число англичан, знающих немецкий, равно числу немцев, знающих английский.
Например, в делегации могло быть 8 англичан (из них 1 знает немецкий) и 70 немцев (из них 10 знают английский). В этом случае немцев больше. А могло быть 80 англичан (из них 10 знают немецкий) и 7 немцев (из них 1 знает английский), и тогда англичан больше.
Так как имеющихся данных недостаточно для сравнения общего числа англичан и немцев, ответить на вопрос задачи невозможно.
Ответ: на вопрос задачи ответить нельзя.

1084. Легковая машина может проехать расстояние между двумя городами за $3 \frac{1}{3}$ ч, а грузовая — за 5 ч. Машины выехали из этих городов одновременно навстречу друг другу. Через сколько часов после начала движения они встретятся?

Для решения этой задачи мы можем принять все расстояние между городами за 1 (единицу). Тогда скорость каждой машины будет выражаться как часть этого расстояния, которую она проезжает за 1 час.

1. Сначала найдем скорость легковой машины. Она проезжает все расстояние за $3\frac{1}{3}$ часа. Переведем это время в неправильную дробь:

$3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$ часа.

Скорость легковой машины ($v_л$) равна расстоянию, деленному на время. Так как расстояние мы приняли за 1, то:

$v_л = 1 \div \frac{10}{3} = 1 \cdot \frac{3}{10} = \frac{3}{10}$ (часть расстояния в час).

2. Теперь найдем скорость грузовой машины. Она проезжает все расстояние за 5 часов. Ее скорость ($v_г$):

$v_г = 1 \div 5 = \frac{1}{5}$ (часть расстояния в час).

3. Поскольку машины выехали одновременно навстречу друг другу, их скорости складываются. Найдем их общую скорость сближения ($v_{сбл}$):

$v_{сбл} = v_л + v_г = \frac{3}{10} + \frac{1}{5}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю 10:

$v_{сбл} = \frac{3}{10} + \frac{2}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ (часть расстояния в час).

Это означает, что за один час обе машины, двигаясь навстречу, преодолевают половину всего расстояния.

4. Чтобы найти время ($t$), через которое машины встретятся, нужно все расстояние (1) разделить на скорость сближения:

$t = 1 \div v_{сбл} = 1 \div \frac{1}{2} = 1 \cdot 2 = 2$ часа.

Ответ: через 2 часа.

1085. Задача Метродора.

Корона весит 60 мин (греческая мера веса и денег) и состоит из сплава золота, меди, олова и железа. Золото и медь составляют $\frac{2}{3}$, золото и олово $\frac{3}{4}$, золото и железо $\frac{3}{5}$ общего веса. Определите вес каждого металла в отдельности.

Для решения задачи введем обозначения. Пусть общий вес короны равен $W$, а веса золота, меди, олова и железа — $З$, $М$, $О$ и $Ж$ соответственно.
По условию, общий вес короны $W = 60$ мин.

На основе данных из условия составим систему уравнений:
1) $З + М + О + Ж = 60$
2) Золото и медь: $З + М = \frac{2}{3} W = \frac{2}{3} \cdot 60 = 40$ мин
3) Золото и олово: $З + О = \frac{3}{4} W = \frac{3}{4} \cdot 60 = 45$ мин
4) Золото и железо: $З + Ж = \frac{3}{5} W = \frac{3}{5} \cdot 60 = 36$ мин

Теперь, используя эти уравнения, мы можем найти вес каждого металла по отдельности.

Определение веса железа
Чтобы найти вес железа ($Ж$), можно из общего веса короны вычесть вес золота, меди и олова. Из уравнения (1) $З + М + О + Ж = 60$. Из уравнения (3) мы знаем, что $З + О = 45$. Однако нам неизвестен вес меди.
Поступим иначе. Найдем сначала суммарный вес металлов, кроме золота.
Из уравнения (1) и (2) найдем вес олова и железа вместе:
$О + Ж = (З + М + О + Ж) - (З + М) = 60 - 40 = 20$ мин.
Из уравнения (1) и (3) найдем вес меди и железа вместе:
$М + Ж = (З + М + О + Ж) - (З + О) = 60 - 45 = 15$ мин.
Из уравнения (1) и (4) найдем вес меди и олова вместе:
$М + О = (З + М + О + Ж) - (З + Ж) = 60 - 36 = 24$ мин.

Теперь у нас есть новая система для трех металлов:
$О + Ж = 20$
$М + Ж = 15$
$М + О = 24$
Сложим эти три уравнения: $(О + Ж) + (М + Ж) + (М + О) = 20 + 15 + 24$.
$2М + 2О + 2Ж = 59$, или $2(М + О + Ж) = 59$.
Отсюда суммарный вес меди, олова и железа: $М + О + Ж = \frac{59}{2} = 29,5$ мин.
Теперь, зная общий вес этих трех металлов и вес пары "медь + олово" ($М+О=24$), мы можем найти вес железа:
$Ж = (М + О + Ж) - (М + О) = 29,5 - 24 = 5,5$ мин.
Ответ: вес железа составляет 5,5 мин.

Определение веса олова
Используя суммарный вес трех металлов ($М + О + Ж = 29,5$) и вес пары "медь + железо" ($М+Ж=15$), найдем вес олова:
$О = (М + О + Ж) - (М + Ж) = 29,5 - 15 = 14,5$ мин.
Ответ: вес олова составляет 14,5 мин.

Определение веса меди
Используя суммарный вес трех металлов ($М + О + Ж = 29,5$) и вес пары "олово + железо" ($О+Ж=20$), найдем вес меди:
$М = (М + О + Ж) - (О + Ж) = 29,5 - 20 = 9,5$ мин.
Ответ: вес меди составляет 9,5 мин.

Определение веса золота
Вес золота можно найти несколькими способами. Например, вычтем из общего веса короны суммарный вес остальных трех металлов:
$З = W - (М + О + Ж) = 60 - 29,5 = 30,5$ мин.
Или, используя начальное условие $З + М = 40$:
$З = 40 - М = 40 - 9,5 = 30,5$ мин.
Ответ: вес золота составляет 30,5 мин.

Итоговый ответ:

• Вес золота: 30,5 мин
• Вес меди: 9,5 мин
• Вес олова: 14,5 мин
• Вес железа: 5,5 мин