Номер 1064, страница 236 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1064. Расстояние между пристанями $A$ и $B$ моторная лодка проплывает против течения реки за 30 мин, а такое же расстояние по озеру — за 10 мин. За сколько минут проплывёт расстояние между пристанями $A$ и $B$:

a) плот;

б) моторная лодка по течению реки?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ — расстояние между пристанями A и B.
• $v_л$ — собственная скорость моторной лодки (в стоячей воде, например, в озере).
• $v_т$ — скорость течения реки.

Исходя из условий задачи, составим уравнения. Скорость выражается как расстояние, деленное на время. Время будем измерять в минутах.

1. Скорость лодки в озере (стоячая вода) равна ее собственной скорости $v_л$. Лодка проходит расстояние $S$ за 10 минут.
$v_л = \frac{S}{10}$

2. Скорость лодки против течения реки равна $v_л - v_т$. Лодка проходит расстояние $S$ за 30 минут.
$v_л - v_т = \frac{S}{30}$

Теперь мы можем найти скорость течения $v_т$. Для этого из скорости лодки вычтем ее скорость против течения:
$v_т = v_л - (v_л - v_т) = \frac{S}{10} - \frac{S}{30}$

Приведем дроби к общему знаменателю 30:
$v_т = \frac{3S}{30} - \frac{S}{30} = \frac{2S}{30} = \frac{S}{15}$

Теперь, зная собственную скорость лодки и скорость течения, мы можем ответить на вопросы задачи.

а) плот;

Плот не имеет собственной скорости и движется только за счет течения реки. Его скорость равна скорости течения $v_т$.
Время, за которое плот проплывет расстояние $S$, равно:
$t_{плота} = \frac{S}{v_т}$
Подставим найденное значение $v_т = \frac{S}{15}$:
$t_{плота} = \frac{S}{S/15} = S \cdot \frac{15}{S} = 15$ минут.
Ответ: 15 минут.

б) моторная лодка по течению реки?

Скорость моторной лодки по течению реки равна сумме ее собственной скорости и скорости течения: $v_{по~теч} = v_л + v_т$.
Найдем эту скорость:
$v_{по~теч} = \frac{S}{10} + \frac{S}{15}$
Приведем дроби к общему знаменателю 30:
$v_{по~теч} = \frac{3S}{30} + \frac{2S}{30} = \frac{5S}{30} = \frac{S}{6}$
Теперь найдем время, за которое лодка проплывет расстояние $S$ по течению:
$t_{по~теч} = \frac{S}{v_{по~теч}} = \frac{S}{S/6} = S \cdot \frac{6}{S} = 6$ минут.
Ответ: 6 минут.