Номер 1066, страница 236 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1066. а) Теплоход от Киева до Херсона идёт трое суток, а от Херсона до Киева — четверо суток (без остановок). Сколько времени будут плыть плоты от Киева до Херсона?

б) Из Нижнего Новгорода в Астрахань теплоход плывёт 5 суток, а обратно — 7 суток. За сколько суток из Нижнего Новгорода в Астрахань приплывут плоты?

а)

Для решения задачи введем следующие обозначения:
$S$ – расстояние от Киева до Херсона.
$V_т$ – собственная скорость теплохода (в стоячей воде).
$V_р$ – скорость течения реки.

Поскольку Киев находится выше по течению Днепра, чем Херсон, то путь от Киева до Херсона – это движение по течению, а обратно – против течения.
Скорость теплохода по течению равна $V_т + V_р$, а время в пути составляет $t_1 = 3$ суток.
Скорость теплохода против течения равна $V_т - V_р$, а время в пути составляет $t_2 = 4$ суток.

Расстояние $S$ можно выразить двумя способами:
1) $S = (V_т + V_р) \cdot t_1 = (V_т + V_р) \cdot 3$
2) $S = (V_т - V_р) \cdot t_2 = (V_т - V_р) \cdot 4$

Так как расстояние в обоих случаях одинаковое, мы можем приравнять правые части этих уравнений:
$(V_т + V_р) \cdot 3 = (V_т - V_р) \cdot 4$
Раскроем скобки:
$3V_т + 3V_р = 4V_т - 4V_р$
Соберем слагаемые с $V_т$ в одной части, а с $V_р$ в другой:
$3V_р + 4V_р = 4V_т - 3V_т$
$7V_р = V_т$
Это означает, что собственная скорость теплохода в 7 раз больше скорости течения реки.

Теперь подставим полученное соотношение ($V_т = 7V_р$) в первое уравнение для расстояния:
$S = (7V_р + V_р) \cdot 3 = 8V_р \cdot 3 = 24V_р$

Плоты не имеют собственной скорости и плывут со скоростью течения реки, то есть со скоростью $V_р$. Время, которое потребуется плотам, чтобы проплыть расстояние $S$ от Киева до Херсона, можно найти по формуле $t = \frac{S}{V}$.
$t_{плотов} = \frac{S}{V_р} = \frac{24V_р}{V_р} = 24$ суток.

Ответ: 24 суток.

б)

Эта задача решается аналогично предыдущей. Введем обозначения:
$S$ – расстояние от Нижнего Новгорода до Астрахани.
$V_т$ – собственная скорость теплохода.
$V_р$ – скорость течения реки (Волги).

Нижний Новгород находится выше по течению, чем Астрахань.
Время движения по течению: $t_1 = 5$ суток.
Время движения против течения: $t_2 = 7$ суток.

Составим систему уравнений для расстояния $S$:
1) $S = (V_т + V_р) \cdot 5$
2) $S = (V_т - V_р) \cdot 7$

Приравняем выражения для $S$:
$(V_т + V_р) \cdot 5 = (V_т - V_р) \cdot 7$
$5V_т + 5V_р = 7V_т - 7V_р$
$5V_р + 7V_р = 7V_т - 5V_т$
$12V_р = 2V_т$
$V_т = 6V_р$
Собственная скорость теплохода в 6 раз больше скорости течения.

Подставим $V_т = 6V_р$ в первое уравнение, чтобы выразить расстояние $S$ через скорость течения $V_р$:
$S = (6V_р + V_р) \cdot 5 = 7V_р \cdot 5 = 35V_р$

Плоты будут плыть из Нижнего Новгорода в Астрахань со скоростью течения реки $V_р$. Найдем время их движения:
$t_{плотов} = \frac{S}{V_р} = \frac{35V_р}{V_р} = 35$ суток.

Ответ: 35 суток.