Номер 1139, страница 251 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1139. Задачи С. А. Рачинского.

а) Я дал одному ученику 3 ореха, а всем остальным по 5. Если бы я всем дал по 4 ореха, у меня осталось бы 15. Сколько было орехов?

б) В школе равное число девочек и мальчиков. Я принёс 234 ореха, и каждому мальчику досталось по 5 орехов, каждой девочке — по 4 ореха. Но девочки обиделись, и в другой раз я принёс столько орехов, что всем досталось по 6. Сколько орехов я принёс?

а)

Пусть $N$ — общее число учеников, а $O$ — общее количество орехов. Из первого условия задачи следует, что одному ученику дали 3 ореха, а остальным $(N-1)$ ученикам — по 5 орехов. Таким образом, общее количество орехов можно выразить формулой: $O = 3 + 5 \cdot (N - 1)$. Упростим это выражение: $O = 3 + 5N - 5 = 5N - 2$.
Из второго условия следует, что если бы всем $N$ ученикам дали по 4 ореха, то осталось бы ещё 15 орехов. Это можно записать в виде другого уравнения для $O$: $O = 4 \cdot N + 15$.
Теперь у нас есть два выражения для $O$, которые мы можем приравнять друг к другу, чтобы найти количество учеников $N$:
$5N - 2 = 4N + 15$
Перенесем слагаемые с $N$ в одну сторону, а числа — в другую:
$5N - 4N = 15 + 2$
$N = 17$
Итак, всего было 17 учеников.
Теперь, зная количество учеников, мы можем найти общее количество орехов, подставив значение $N$ в любое из двух уравнений. Воспользуемся вторым:
$O = 4 \cdot 17 + 15 = 68 + 15 = 83$.
Проверим результат, подставив $N=17$ в первое уравнение:
$O = 5 \cdot 17 - 2 = 85 - 2 = 83$.
Результаты совпадают, значит, решение верное.
Ответ: было 83 ореха.

б)

Пусть $x$ — количество мальчиков в школе. Поскольку в школе равное число девочек и мальчиков, то девочек тоже $x$. Общее число учеников в школе равно $x + x = 2x$.
В первый раз было принесено 234 ореха. Каждому из $x$ мальчиков досталось по 5 орехов (всего $5x$ орехов), а каждой из $x$ девочек — по 4 ореха (всего $4x$ орехов). Составим уравнение, исходя из общего количества орехов:
$5x + 4x = 234$
$9x = 234$
$x = \frac{234}{9} = 26$.
Значит, в школе было 26 мальчиков и 26 девочек.
Общее количество учеников в школе:
$26 + 26 = 52$ ученика.
Во второй раз принесли столько орехов, чтобы каждому из 52 учеников досталось по 6 орехов. Чтобы найти общее количество орехов, умножим число учеников на количество орехов, которое получил каждый:
$52 \cdot 6 = 312$.
Ответ: во второй раз я принёс 312 орехов.