Страница 262 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1209. Три крестьянки привезли на рынок масло: одна 4 кадки по $\frac{5}{12}$ пуда в каждой, вторая 2 кадки по $\frac{2}{3}$ пуда, а всё масло третьей крестьянки было разложено поровну в 5 кадок и весило $3\frac{1}{3}$ пуда. Первые две крестьянки продали всё своё масло, а третья — только одну кадку. Сколько денег получили три крестьянки вместе, если каждый пуд масла продавали по 12 р.?

Для решения задачи нужно последовательно вычислить, сколько масла продала каждая крестьянка, найти общее количество проданного масла, а затем умножить его на стоимость одного пуда.

1. Вычислим количество масла, которое продала первая крестьянка.

Она продала 4 кадки по $\frac{5}{12}$ пуда в каждой. Общее количество проданного ею масла:

$4 \times \frac{5}{12} = \frac{4 \times 5}{12} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$ пуда.

2. Вычислим количество масла, которое продала вторая крестьянка.

Она продала 2 кадки по $\frac{2}{3}$ пуда в каждой. Общее количество проданного ею масла:

$2 \times \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$ пуда.

3. Вычислим количество масла, которое продала третья крестьянка.

Всего у неё было $3\frac{1}{3}$ пуда масла, разложенного поровну в 5 кадок. Сначала найдём вес масла в одной кадке:

$3\frac{1}{3} \div 5 = \frac{10}{3} \div 5 = \frac{10}{3} \times \frac{1}{5} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$ пуда.

Так как третья крестьянка продала только одну кадку, она продала $\frac{2}{3}$ пуда масла.

4. Найдем общее количество проданного масла.

Сложим количество масла, проданное всеми тремя крестьянками:

$\frac{5}{3} + \frac{4}{3} + \frac{2}{3} = \frac{5 + 4 + 2}{3} = \frac{11}{3}$ пуда.

5. Рассчитаем, сколько всего денег получили крестьянки.

Каждый пуд масла продавали по 12 рублей. Умножим общее количество проданного масла на цену за пуд:

$\frac{11}{3} \times 12 = 11 \times \frac{12}{3} = 11 \times 4 = 44$ рубля.

Ответ: 44 р.

1210. Два господина держали пари: чья лошадь перегонит, тот за каждую лишнюю версту получает 200 р. Лошади бежали 8 мин, и лошадь первого в каждые $1\frac{1}{2}$ мин делала $\frac{3}{4}$ версты, а лошадь второго в каждые $2\frac{1}{3}$ мин делала $1\frac{3}{4}$ версты. Кто из них выиграл и сколько?

Для решения задачи необходимо определить, какое расстояние пробежала каждая лошадь за 8 минут. Для этого сначала найдем скорость каждой лошади в верстах в минуту.

1. Найдем скорость первой лошади.

Известно, что первая лошадь пробегает $ \frac{3}{4} $ версты за $ 1 \frac{1}{2} $ минуты. Переведем $ 1 \frac{1}{2} $ в неправильную дробь: $ 1 \frac{1}{2} = \frac{3}{2} $ минуты.

Скорость ($v_1$) равна расстоянию, деленному на время:

$ v_1 = \frac{3}{4} \div \frac{3}{2} = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} $ версты в минуту.

Теперь найдем, какое расстояние ($S_1$) первая лошадь пробежала за 8 минут:

$ S_1 = v_1 \cdot t = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4 $ версты.

2. Найдем скорость второй лошади.

Известно, что вторая лошадь пробегает $ 1 \frac{3}{4} $ версты за $ 2 \frac{1}{3} $ минуты. Переведем смешанные числа в неправильные дроби: $ 1 \frac{3}{4} = \frac{7}{4} $ версты, $ 2 \frac{1}{3} = \frac{7}{3} $ минуты.

Скорость ($v_2$) равна расстоянию, деленному на время:

$ v_2 = \frac{7}{4} \div \frac{7}{3} = \frac{7}{4} \cdot \frac{3}{7} = \frac{21}{28} = \frac{3}{4} $ версты в минуту.

Теперь найдем, какое расстояние ($S_2$) вторая лошадь пробежала за 8 минут:

$ S_2 = v_2 \cdot t = \frac{3}{4} \cdot 8 = \frac{24}{4} = 6 $ верст.

3. Сравним расстояния и определим выигрыш.

Первая лошадь пробежала 4 версты, а вторая — 6 верст.

$6 > 4$, следовательно, выиграл второй господин.

Найдем разницу в расстоянии, чтобы определить количество "лишних" верст:

$ \Delta S = S_2 - S_1 = 6 - 4 = 2 $ версты.

По условию пари, за каждую лишнюю версту победитель получает 200 р. Рассчитаем сумму выигрыша:

$Выигрыш = 2 \cdot 200 = 400$ р.

Ответ: Выиграл второй господин, он получил 400 рублей.

1211. Подрядчик поставил для войска 2500 лошадей. Для кавалерии $\frac{12}{25}$ всех лошадей, для артиллерии $\frac{2}{3}$ того, что для кавалерии, а для обоза $\frac{5}{8}$ того, что для артиллерии. За лошадь для кавалерии ему заплатили $258\frac{3}{4}$ р., за лошадь для артиллерии — $\frac{2}{5}$ того, что за лошадь для кавалерии; а за лошадь для обоза — $\frac{5}{9}$ того, что за лошадь для артиллерии. Сколько получил он за всех лошадей, купленных для обоза?

Для решения задачи необходимо последовательно найти количество лошадей для обоза и цену одной такой лошади, а затем вычислить их общую стоимость.

1. Найдем количество лошадей, поставленных для кавалерии. Оно составляет $ \frac{12}{25} $ от общего числа лошадей (2500):
$2500 \cdot \frac{12}{25} = 100 \cdot 12 = 1200$ лошадей.

2. Найдем количество лошадей для артиллерии. Их число составляет $ \frac{2}{3} $ от количества лошадей для кавалерии (1200):
$1200 \cdot \frac{2}{3} = 400 \cdot 2 = 800$ лошадей.

3. Теперь найдем количество лошадей для обоза. Оно составляет $ \frac{5}{8} $ от числа лошадей для артиллерии (800):
$800 \cdot \frac{5}{8} = 100 \cdot 5 = 500$ лошадей.

4. Далее определим цену одной лошади для кавалерии. Она равна $258\frac{3}{4}$ р. Переведем это смешанное число в неправильную дробь для удобства вычислений:
$258\frac{3}{4} = \frac{258 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{1032 + 3}{4} = \frac{1035}{4}$ р.

5. Найдем цену одной лошади для артиллерии. Она составляет $ \frac{2}{5} $ от цены кавалерийской лошади:
$\frac{1035}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{1035 \cdot 2}{4 \cdot 5} = \frac{207}{2}$ р.

6. Вычислим цену одной лошади для обоза. Она составляет $ \frac{5}{9} $ от цены артиллерийской лошади:
$\frac{207}{2} \cdot \frac{5}{9} = \frac{23 \cdot 9 \cdot 5}{2 \cdot 9} = \frac{115}{2}$ р. (что равно 57,5 р.).

7. Наконец, найдем, сколько денег получил подрядчик за всех лошадей, купленных для обоза. Для этого умножим количество лошадей для обоза (500) на цену одной такой лошади:
$500 \cdot \frac{115}{2} = 250 \cdot 115 = 28750$ р.

Ответ: 28750 рублей.

1212. Один писарь в $\frac{4}{9}$ часа может написать $\frac{5}{12}$ листа, другой в $\frac{5}{8}$ часа $\frac{5}{12}$ листа, третий в $1\frac{1}{7}$ часа $\frac{9}{14}$ листа. Сколько получают все три писаря за 1 час работы, если с каждого листа им платят $\frac{3}{5}$ рубля?

Для решения задачи сначала определим производительность каждого писцаря, то есть сколько листов он может написать за 1 час. Затем найдем их общую производительность и, зная стоимость работы, вычислим итоговый заработок.

1. Находим производительность каждого писцаря.

Чтобы найти, сколько листов писец пишет за 1 час, нужно количество написанных листов разделить на затраченное время.

Производительность первого писцаря:
$\frac{5}{12} \div \frac{4}{9} = \frac{5}{12} \times \frac{9}{4} = \frac{5 \times 9}{12 \times 4} = \frac{45}{48} = \frac{15}{16}$ листа/час.

Производительность второго писцаря:
$\frac{5}{12} \div \frac{5}{8} = \frac{5}{12} \times \frac{8}{5} = \frac{5 \times 8}{12 \times 5} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ листа/час.

Производительность третьего писцаря (предварительно переведем время в неправильную дробь: $1\frac{1}{7} = \frac{8}{7}$ часа):
$\frac{9}{14} \div \frac{8}{7} = \frac{9}{14} \times \frac{7}{8} = \frac{9 \times 7}{14 \times 8} = \frac{63}{112} = \frac{9}{16}$ листа/час.

2. Находим общую производительность всех трех писцарей.

Сложим производительности всех трех писцарей, чтобы узнать, сколько листов они напишут вместе за 1 час:
$\frac{15}{16} + \frac{2}{3} + \frac{9}{16} = (\frac{15}{16} + \frac{9}{16}) + \frac{2}{3} = \frac{24}{16} + \frac{2}{3}$
Сократим дробь $\frac{24}{16}$ на 8, получим $\frac{3}{2}$. Теперь сложим дроби:
$\frac{3}{2} + \frac{2}{3} = \frac{3 \times 3}{6} + \frac{2 \times 2}{6} = \frac{9}{6} + \frac{4}{6} = \frac{13}{6}$ листа.

3. Находим, сколько получат все три писцаря за 1 час работы.

За 1 час они вместе напишут $\frac{13}{6}$ листа. Стоимость одного листа составляет $\frac{3}{5}$ рубля. Умножим количество листов на цену:
$\frac{13}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{13 \times 3}{6 \times 5} = \frac{39}{30}$
Сократим полученную дробь на 3:
$\frac{39 \div 3}{30 \div 3} = \frac{13}{10} = 1\frac{3}{10}$ рубля.

Ответ: $1\frac{3}{10}$ рубля.

1213. С луга скосили $936 \frac{1}{4}$ пуда травы и полученное сено употребили на прокормление двух быков и шести коров. На сколько дней хватило этого сена, если каждому быку выдавали ежедневно $\frac{7}{8}$ пуда, каждой корове $\frac{3}{5}$ пуда, а из $123 \frac{3}{4}$ пуда травы получали $24 \frac{3}{4}$ пуда сена?

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Вычислим общее количество полученного сена.

Сначала определим, какая часть травы становится сеном. Из условия известно, что из $123 \frac{3}{4}$ пуда травы получается $24 \frac{3}{4}$ пуда сена. Найдем отношение массы сена к массе травы.

Переведем смешанные числа в неправильные дроби:

$123 \frac{3}{4} = \frac{123 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{492 + 3}{4} = \frac{495}{4}$

$24 \frac{3}{4} = \frac{24 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{96 + 3}{4} = \frac{99}{4}$

Найдем отношение:

$\frac{24 \frac{3}{4}}{123 \frac{3}{4}} = \frac{99/4}{495/4} = \frac{99}{4} \cdot \frac{4}{495} = \frac{99}{495} = \frac{1}{5}$

Это означает, что масса сена составляет $\frac{1}{5}$ от массы скошенной травы. Теперь найдем, сколько сена получили из $936 \frac{1}{4}$ пуда травы.

$936 \frac{1}{4} = \frac{936 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{3744 + 1}{4} = \frac{3745}{4}$

Количество сена:

$\frac{3745}{4} \cdot \frac{1}{5} = \frac{3745}{20} = \frac{749}{4}$ пуда.

2. Найдем, сколько сена съедают все животные за один день.

Два быка съедают в день:

$2 \cdot \frac{7}{8} = \frac{14}{8} = \frac{7}{4}$ пуда.

Шесть коров съедают в день:

$6 \cdot \frac{3}{5} = \frac{18}{5}$ пуда.

Общее количество сена, которое съедают все животные за один день, равно сумме:

$\frac{7}{4} + \frac{18}{5} = \frac{7 \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{18 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{35}{20} + \frac{72}{20} = \frac{107}{20}$ пуда.

3. Рассчитаем, на сколько дней хватит всего сена.

Для этого разделим общее количество сена на количество сена, съедаемого за один день:

$\frac{749}{4} \div \frac{107}{20} = \frac{749}{4} \cdot \frac{20}{107} = \frac{749 \cdot 20}{4 \cdot 107} = \frac{749 \cdot 5}{107}$

Поскольку $749 = 7 \cdot 107$, то:

$\frac{7 \cdot 107 \cdot 5}{107} = 7 \cdot 5 = 35$ дней.

Ответ: 35 дней.