Страница 259 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1184. Дан треугольник $ABC$. На стороне $AB$ отметили точку $M$, на стороне $BC$ — точку $N$, на стороне $AC$ — точку $K$. На сколько частей разбивают треугольник $ABC$ отрезки $MC$, $NA$ и $KB$ при различных положениях точек $M$, $N$ и $K$?

Количество частей, на которые отрезки MC, NA и KB разбивают треугольник ABC, зависит от расположения точек M, N и K. Рассмотрим все возможные случаи.

1. Точки M, N, K лежат строго внутри сторон AB, BC и AC соответственно.

В этом случае все три отрезка MC, NA и KB являются чевианами треугольника. Любые две из этих чевиан пересекаются в одной точке внутри треугольника. Возможны два подслучая:

• Общий случай: Три отрезка MC, NA и KB пересекаются попарно в трёх различных точках. Эти три точки образуют маленький треугольник в центре. В этом случае исходный треугольник ABC разбивается на 7 частей (один центральный треугольник и шесть областей вокруг него). Это происходит, когда не выполняется условие теоремы Чевы.

• Частный случай: Три отрезка MC, NA и KB пересекаются в одной точке (являются конкурентными). Это происходит, когда выполняется условие теоремы Чевы:$$ \frac{AM}{MB} \cdot \frac{BN}{NC} \cdot \frac{CK}{KA} = 1 $$В этом случае три чевианы, выходящие из одной точки, разбивают треугольник на 6 частей (6 меньших треугольников).

2. Ровно одна из точек M, N, K совпадает с вершиной треугольника.

Пусть, для определённости, точка M совпадает с вершиной A (M=A), а точки N и K лежат строго внутри сторон BC и AC. Тогда отрезки, разбивающие треугольник, это: MC (который становится стороной AC), NA (чевиана из A в N) и KB (чевиана из B в K).Сторона AC не разбивает треугольник на части. Таким образом, разбиение происходит только двумя отрезками: NA и KB. Эти два отрезка выходят из разных вершин (A и B) и пересекаются в одной точке внутри треугольника. Первый отрезок (например, NA) делит треугольник на 2 части. Второй отрезок (KB) пересекает первый и проходит через обе эти части, разделяя каждую из них ещё на две. В итоге общее число частей становится равным 4.

3. Ровно две из точек M, N, K совпадают с вершинами треугольника.

Пусть, например, M=A и N=B, а точка K лежит строго внутри стороны AC. Тогда отрезки: MC становится стороной AC, NA становится стороной AB, а KB является чевианой.Стороны AC и AB не разбивают треугольник. Единственным разделяющим отрезком остаётся KB, который делит треугольник на 2 части (треугольники ABK и CBK).

4. Все три точки M, N, K совпадают с вершинами треугольника.

Возможны два варианта расстановки, например, M=B, N=C, K=A. В этом случае отрезки MC, NA, KB становятся сторонами треугольника BC, AC, AB соответственно. Стороны являются границей треугольника и не разбивают его внутреннюю область. Таким образом, треугольник остаётся одной целой частью.

Суммируя все возможные случаи, мы получаем, что треугольник может быть разбит на 1, 2, 4, 6 или 7 частей.

Ответ: треугольник может быть разбит на 1, 2, 4, 6 или 7 частей.

1185. Выразите в сантиметрах:

а) 60 мм;

б) 65 мм;

в) 5 мм.

Для перевода миллиметров (мм) в сантиметры (см) используется основное соотношение единиц длины: в одном сантиметре содержится десять миллиметров.

$1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$

Следовательно, чтобы выразить значение в сантиметрах, необходимо данное значение в миллиметрах разделить на 10.

а)

Переведем 60 мм в сантиметры. Для этого разделим 60 на 10:

$60 \text{ мм} = (60 : 10) \text{ см} = 6 \text{ см}$

Ответ: 6 см.

б)

Переведем 65 мм в сантиметры. Разделим 65 на 10:

$65 \text{ мм} = (65 : 10) \text{ см} = 6,5 \text{ см}$

Это также можно представить как 6 сантиметров и 5 миллиметров.

Ответ: 6,5 см.

в)

Переведем 5 мм в сантиметры. Разделим 5 на 10:

$5 \text{ мм} = (5 : 10) \text{ см} = 0,5 \text{ см}$

Ответ: 0,5 см.

1186. Выразите в квадратных дециметрах:

а) $500 \text{ см}^2$;

б) $50 \text{ см}^2$;

в) $5 \text{ см}^2$.

Для того чтобы выразить квадратные сантиметры (см²) в квадратных дециметрах (дм²), необходимо знать соотношение между этими единицами измерения площади. В одном линейном дециметре содержится 10 сантиметров:

$1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$

Следовательно, один квадратный дециметр — это площадь квадрата со стороной 1 дм (или 10 см). Площадь такого квадрата равна:

$1 \text{ дм}^2 = 1 \text{ дм} \times 1 \text{ дм} = 10 \text{ см} \times 10 \text{ см} = 100 \text{ см}^2$

Таким образом, чтобы перевести квадратные сантиметры в квадратные дециметры, нужно разделить их количество на 100.

а) 500 см²

Разделим 500 на 100, чтобы выполнить перевод:

$500 \text{ см}^2 = \frac{500}{100} \text{ дм}^2 = 5 \text{ дм}^2$

Ответ: 5 дм².

б) 50 см²

Разделим 50 на 100:

$50 \text{ см}^2 = \frac{50}{100} \text{ дм}^2 = 0,5 \text{ дм}^2$

Ответ: 0,5 дм².

в) 5 см²

Разделим 5 на 100:

$5 \text{ см}^2 = \frac{5}{100} \text{ дм}^2 = 0,05 \text{ дм}^2$

Ответ: 0,05 дм².

1187. Выразите в кубических метрах:

а) $8000 \text{ дм}^3$;

б) $800 \text{ дм}^3$;

в) $80 \text{ дм}^3$.

Для того чтобы выразить объем из кубических дециметров (дм³) в кубические метры (м³), необходимо знать соотношение между этими единицами измерения.

В одном линейном метре содержится 10 дециметров:

$1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$

Для объемных единиц это соотношение возводится в третью степень. Один кубический метр — это объем куба со стороной 1 метр (или 10 дециметров). Его объем равен:

$1 \text{ м}^3 = 1 \text{ м} \times 1 \text{ м} \times 1 \text{ м} = 10 \text{ дм} \times 10 \text{ дм} \times 10 \text{ дм} = 1000 \text{ дм}^3$

Таким образом, чтобы перевести кубические дециметры в кубические метры, необходимо исходное значение разделить на 1000.

а)

Чтобы выразить 8000 дм³ в кубических метрах, разделим 8000 на 1000:

$8000 \text{ дм}^3 = \frac{8000}{1000} \text{ м}^3 = 8 \text{ м}^3$

Ответ: $8 \text{ м}^3$.

б)

Чтобы выразить 800 дм³ в кубических метрах, разделим 800 на 1000:

$800 \text{ дм}^3 = \frac{800}{1000} \text{ м}^3 = 0.8 \text{ м}^3$

Ответ: $0.8 \text{ м}^3$.

в)

Чтобы выразить 80 дм³ в кубических метрах, разделим 80 на 1000:

$80 \text{ дм}^3 = \frac{80}{1000} \text{ м}^3 = 0.08 \text{ м}^3$

Ответ: $0.08 \text{ м}^3$.

1188. Выразите в арах площадь прямоугольного участка земли, длина и ширина которого:

а) 25 и 24 м;

б) 75 и 32 м;

в) 50 и 28 м.

Для решения задачи необходимо сначала найти площадь прямоугольного участка в квадратных метрах, а затем перевести эту величину в ары. Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется как произведение его длины ($a$) на ширину ($b$): $S = a \cdot b$.

Мы знаем, что 1 ар (также называемый соткой) равен 100 квадратным метрам:

$1 \text{ а} = 100 \text{ м}^2$

Следовательно, чтобы перевести площадь из квадратных метров в ары, нужно разделить значение площади на 100.

а) 25 и 24 м

1. Найдем площадь участка в квадратных метрах, умножив длину на ширину:

$S = 25 \text{ м} \cdot 24 \text{ м} = 600 \text{ м}^2$

2. Переведем полученную площадь в ары:

$600 \text{ м}^2 : 100 = 6 \text{ а}$

Ответ: 6 а.

б) 75 и 32 м

1. Найдем площадь участка в квадратных метрах:

$S = 75 \text{ м} \cdot 32 \text{ м} = 2400 \text{ м}^2$

2. Переведем полученную площадь в ары:

$2400 \text{ м}^2 : 100 = 24 \text{ а}$

Ответ: 24 а.

в) 50 и 28 м

1. Найдем площадь участка в квадратных метрах:

$S = 50 \text{ м} \cdot 28 \text{ м} = 1400 \text{ м}^2$

2. Переведем полученную площадь в ары:

$1400 \text{ м}^2 : 100 = 14 \text{ а}$

Ответ: 14 а.

1189. Какое расстояние проходит по озеру моторная лодка за 10 с, если её скорость:

а) 60 м/мин;

б) 120 м/мин;

в) 180 м/мин;

г) 132 м/мин?

Для решения задачи используется формула нахождения расстояния: $S = v \cdot t$, где $S$ – это расстояние, $v$ – скорость, а $t$ – время.

По условию, время движения лодки составляет 10 секунд, а ее скорость дана в метрах в минуту. Для корректного расчета необходимо привести единицы измерения к одной системе. Переведем время из секунд в минуты, зная, что 1 минута = 60 секунд.

$t = 10 \text{ с} = \frac{10}{60} \text{ мин} = \frac{1}{6} \text{ мин}$

Теперь можно вычислить расстояние для каждого из предложенных вариантов скорости.

а)

Дано: скорость $v = 60$ м/мин.

Подставляем значения в формулу:

$S = 60 \frac{\text{м}}{\text{мин}} \cdot \frac{1}{6} \text{ мин} = \frac{60}{6} \text{ м} = 10 \text{ м}$

Ответ: 10 м.

б)

Дано: скорость $v = 120$ м/мин.

Подставляем значения в формулу:

$S = 120 \frac{\text{м}}{\text{мин}} \cdot \frac{1}{6} \text{ мин} = \frac{120}{6} \text{ м} = 20 \text{ м}$

Ответ: 20 м.

в)

Дано: скорость $v = 180$ м/мин.

Подставляем значения в формулу:

$S = 180 \frac{\text{м}}{\text{мин}} \cdot \frac{1}{6} \text{ мин} = \frac{180}{6} \text{ м} = 30 \text{ м}$

Ответ: 30 м.

г)

Дано: скорость $v = 132$ м/мин.

Подставляем значения в формулу:

$S = 132 \frac{\text{м}}{\text{мин}} \cdot \frac{1}{6} \text{ мин} = \frac{132}{6} \text{ м} = 22 \text{ м}$

Ответ: 22 м.

1190. Какое расстояние проезжает автомашина за $20 \text{ с}$, если её скорость:

а) $90 \text{ км/ч}$;

б) $126 \text{ км/ч}$;

в) $108 \text{ км/ч}$;

г) $162 \text{ км/ч}$?

Чтобы найти расстояние, которое проезжает автомашина, необходимо использовать формулу: $S = v \cdot t$, где $S$ — это расстояние, $v$ — скорость, а $t$ — время.

В условии задачи время дано в секундах (с), а скорость — в километрах в час (км/ч). Для проведения вычислений необходимо привести единицы измерения к единой системе. Переведем скорость из км/ч в метры в секунду (м/с).

Для перевода воспользуемся соотношением: $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$ и $1 \text{ час} = 3600 \text{ с}$.

Таким образом, для перевода скорости из км/ч в м/с нужно умножить значение на коэффициент $\frac{1000}{3600}$, что равно $\frac{5}{18}$.

Время движения по условию $t = 20$ с.

а)

Скорость автомашины $v = 90$ км/ч.

Переведем скорость в м/с: $v = 90 \cdot \frac{5}{18} = 5 \cdot 5 = 25 \text{ м/с}$.

Теперь найдем расстояние: $S = 25 \text{ м/с} \cdot 20 \text{ с} = 500 \text{ м}$.

Ответ: 500 м.

б)

Скорость автомашины $v = 126$ км/ч.

Переведем скорость в м/с: $v = 126 \cdot \frac{5}{18} = 7 \cdot 5 = 35 \text{ м/с}$.

Найдем расстояние: $S = 35 \text{ м/с} \cdot 20 \text{ с} = 700 \text{ м}$.

Ответ: 700 м.

в)

Скорость автомашины $v = 108$ км/ч.

Переведем скорость в м/с: $v = 108 \cdot \frac{5}{18} = 6 \cdot 5 = 30 \text{ м/с}$.

Найдем расстояние: $S = 30 \text{ м/с} \cdot 20 \text{ с} = 600 \text{ м}$.

Ответ: 600 м.

г)

Скорость автомашины $v = 162$ км/ч.

Переведем скорость в м/с: $v = 162 \cdot \frac{5}{18} = 9 \cdot 5 = 45 \text{ м/с}$.

Найдем расстояние: $S = 45 \text{ м/с} \cdot 20 \text{ с} = 900 \text{ м}$.

Ответ: 900 м.

1191. Выразите в метрах в минуту:

а) $60 \text{ км/ч};$

б) $120 \text{ км/ч};$

в) $72 \text{ км/ч};$

г) $48 \text{ км/ч}.$

Чтобы выразить скорость из километров в час (км/ч) в метры в минуту (м/мин), необходимо перевести километры в метры и часы в минуты. Мы знаем, что:

1 км = 1000 м

1 час = 60 минут

Следовательно, чтобы перевести скорость из км/ч в м/мин, нужно умножить значение скорости на 1000 (для перевода километров в метры) и разделить на 60 (для перевода часов в минуты). Общая формула для перевода выглядит так:

$Скорость\ в\ м/мин = \frac{Скорость\ в\ км/ч \times 1000}{60}$

а) 60 км/ч

Применяем формулу для перевода:

$60 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = \frac{60 \times 1000 \text{ м}}{60 \text{ мин}} = 1000 \frac{\text{м}}{\text{мин}}$

Ответ: 1000 м/мин.

б) 120 км/ч

Применяем формулу для перевода:

$120 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = \frac{120 \times 1000 \text{ м}}{60 \text{ мин}} = 2 \times 1000 \frac{\text{м}}{\text{мин}} = 2000 \frac{\text{м}}{\text{мин}}$

Ответ: 2000 м/мин.

в) 72 км/ч

Применяем формулу для перевода:

$72 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = \frac{72 \times 1000 \text{ м}}{60 \text{ мин}} = \frac{72000 \text{ м}}{60 \text{ мин}} = 1200 \frac{\text{м}}{\text{мин}}$

Ответ: 1200 м/мин.

г) 48 км/ч

Применяем формулу для перевода:

$48 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = \frac{48 \times 1000 \text{ м}}{60 \text{ мин}} = \frac{48000 \text{ м}}{60 \text{ мин}} = 800 \frac{\text{м}}{\text{мин}}$

Ответ: 800 м/мин.

1192. Выразите в метрах в секунду:

а) $300 \text{ м/мин};$

б) $420 \text{ м/мин};$

в) $600 \text{ м/мин};$

г) $36 \text{ км/ч};$

д) $72 \text{ км/ч};$

е) $54 \text{ км/ч}.$

Для перевода скорости из одних единиц измерения в другие, воспользуемся следующими соотношениями:
1 минута = 60 секунд
1 километр = 1000 метров
1 час = 60 минут = 3600 секунд

а) Чтобы выразить скорость из метров в минуту (м/мин) в метры в секунду (м/с), необходимо разделить количество метров на количество секунд в одной минуте, то есть на 60.
$300 \text{ м/мин} = \frac{300 \text{ м}}{1 \text{ мин}} = \frac{300 \text{ м}}{60 \text{ с}} = 5 \text{ м/с}$.
Ответ: 5 м/с.

б) Аналогично предыдущему пункту, делим значение скорости в метрах в минуту на 60.
$420 \text{ м/мин} = \frac{420 \text{ м}}{60 \text{ с}} = 7 \text{ м/с}$.
Ответ: 7 м/с.

в) Делим значение скорости в метрах в минуту на 60, чтобы получить метры в секунду.
$600 \text{ м/мин} = \frac{600 \text{ м}}{60 \text{ с}} = 10 \text{ м/с}$.
Ответ: 10 м/с.

г) Чтобы выразить скорость из километров в час (км/ч) в метры в секунду (м/с), нужно километры перевести в метры (умножить на 1000), а часы — в секунды (умножить на 3600). Таким образом, значение скорости в км/ч нужно умножить на 1000 и разделить на 3600.
$36 \text{ км/ч} = \frac{36 \times 1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{36000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 10 \text{ м/с}$.
Ответ: 10 м/с.

д) Для перевода км/ч в м/с умножаем значение на 1000 и делим на 3600.
$72 \text{ км/ч} = \frac{72 \times 1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{72000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 20 \text{ м/с}$.
Ответ: 20 м/с.

е) Умножаем значение скорости в км/ч на 1000 и делим на 3600.
$54 \text{ км/ч} = \frac{54 \times 1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{54000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{540}{36} \text{ м/с} = 15 \text{ м/с}$.
Ответ: 15 м/с.

1193. a) Для укладки 100 м труб можно купить трубы длиной 3 м по 38 р. за штуку или длиной 4 м по 50 р. за штуку. Какие трубы обойдутся дешевле?

б) Для покрытия пола кафельной плиткой можно купить 8 упаковок по 36 плиток размером $15 \times 15$ см или 7 упаковок по 24 плитки размером $20 \times 20$ см. В каком случае будет больше отходов?

в) Для оклейки комнаты можно купить 8 кусков обоев шириной 50 см или 7 кусков обоев шириной 60 см. В каком случае будет больше отходов, если длина обоев в куске в обоих случаях 10 м? Какое условие задачи лишнее?

а)

Для решения этой задачи необходимо рассчитать общую стоимость труб в каждом из двух вариантов и сравнить их.

1. Рассчитаем стоимость покупки труб длиной 3 м.
Чтобы уложить 100 м труб, потребуется найти, сколько труб по 3 м нужно купить. Поскольку трубы продаются целиком, результат деления нужно округлить в большую сторону до целого числа.
Количество труб: $100 / 3 \approx 33,33$. Округляем до 34 штук.
Общая стоимость: $34 \text{ шт.} \times 38 \text{ р./шт.} = 1292$ р.

2. Рассчитаем стоимость покупки труб длиной 4 м.
Количество труб: $100 / 4 = 25$ штук.
Общая стоимость: $25 \text{ шт.} \times 50 \text{ р./шт.} = 1250$ р.

3. Сравним стоимости.
$1250 \text{ р.} < 1292 \text{ р.}$
Следовательно, покупка труб длиной 4 м обойдется дешевле.

Ответ: трубы длиной 4 м обойдутся дешевле.

б)

Чтобы определить, в каком случае будет больше отходов, нужно сравнить общую площадь плитки, купленной в каждом варианте. Предполагается, что площадь пола одинакова в обоих случаях. Большее количество отходов будет в том варианте, где общая площадь купленной плитки больше.

1. Рассчитаем общую площадь плитки в первом варианте (8 упаковок по 36 плиток размером 15×15 см).
Общее количество плиток: $8 \times 36 = 288$ шт.
Площадь одной плитки: $15 \text{ см} \times 15 \text{ см} = 225 \text{ см}^2$.
Общая площадь плитки: $288 \times 225 \text{ см}^2 = 64800 \text{ см}^2$.

2. Рассчитаем общую площадь плитки во втором варианте (7 упаковок по 24 плитки размером 20×20 см).
Общее количество плиток: $7 \times 24 = 168$ шт.
Площадь одной плитки: $20 \text{ см} \times 20 \text{ см} = 400 \text{ см}^2$.
Общая площадь плитки: $168 \times 400 \text{ см}^2 = 67200 \text{ см}^2$.

3. Сравним общие площади.
$67200 \text{ см}^2 > 64800 \text{ см}^2$.
Во втором случае общая площадь купленной плитки больше, следовательно, и отходов будет больше.

Ответ: больше отходов будет в случае покупки 7 упаковок плитки размером 20×20 см.

в)

Аналогично предыдущей задаче, чтобы определить, где будет больше отходов, нужно сравнить общую площадь купленных обоев. Больше отходов будет в том варианте, где общая площадь обоев больше.

1. Рассчитаем общую площадь обоев в первом варианте (8 кусков шириной 50 см).
Ширина: 50 см = 0,5 м.
Длина: 10 м.
Площадь одного куска: $0,5 \text{ м} \times 10 \text{ м} = 5 \text{ м}^2$.
Общая площадь: $8 \times 5 \text{ м}^2 = 40 \text{ м}^2$.

2. Рассчитаем общую площадь обоев во втором варианте (7 кусков шириной 60 см).
Ширина: 60 см = 0,6 м.
Длина: 10 м.
Площадь одного куска: $0,6 \text{ м} \times 10 \text{ м} = 6 \text{ м}^2$.
Общая площадь: $7 \times 6 \text{ м}^2 = 42 \text{ м}^2$.

3. Сравним общие площади.
$42 \text{ м}^2 > 40 \text{ м}^2$.
Во втором случае общая площадь купленных обоев больше, значит, и отходов будет больше.

4. Определим лишнее условие.
Для сравнения общей площади обоев нам было важно, что длина кусков в обоих случаях одинакова. Однако конкретное значение этой длины (10 м) не является необходимым для ответа на вопрос. Мы могли бы сравнить общую "погонную ширину": $8 \times 50 \text{ см} = 400 \text{ см}$ и $7 \times 60 \text{ см} = 420 \text{ см}$. Так как $420 > 400$, во втором случае материала больше, и вывод был бы тем же. Таким образом, конкретное значение длины рулона является лишней информацией.

Ответ: больше отходов будет в случае покупки 7 кусков обоев шириной 60 см. Лишнее условие — длина обоев в куске равна 10 м.