Номер 1184, страница 259 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1184. Дан треугольник $ABC$. На стороне $AB$ отметили точку $M$, на стороне $BC$ — точку $N$, на стороне $AC$ — точку $K$. На сколько частей разбивают треугольник $ABC$ отрезки $MC$, $NA$ и $KB$ при различных положениях точек $M$, $N$ и $K$?

Количество частей, на которые отрезки MC, NA и KB разбивают треугольник ABC, зависит от расположения точек M, N и K. Рассмотрим все возможные случаи.

1. Точки M, N, K лежат строго внутри сторон AB, BC и AC соответственно.

В этом случае все три отрезка MC, NA и KB являются чевианами треугольника. Любые две из этих чевиан пересекаются в одной точке внутри треугольника. Возможны два подслучая:

• Общий случай: Три отрезка MC, NA и KB пересекаются попарно в трёх различных точках. Эти три точки образуют маленький треугольник в центре. В этом случае исходный треугольник ABC разбивается на 7 частей (один центральный треугольник и шесть областей вокруг него). Это происходит, когда не выполняется условие теоремы Чевы.

• Частный случай: Три отрезка MC, NA и KB пересекаются в одной точке (являются конкурентными). Это происходит, когда выполняется условие теоремы Чевы:$$ \frac{AM}{MB} \cdot \frac{BN}{NC} \cdot \frac{CK}{KA} = 1 $$В этом случае три чевианы, выходящие из одной точки, разбивают треугольник на 6 частей (6 меньших треугольников).

2. Ровно одна из точек M, N, K совпадает с вершиной треугольника.

Пусть, для определённости, точка M совпадает с вершиной A (M=A), а точки N и K лежат строго внутри сторон BC и AC. Тогда отрезки, разбивающие треугольник, это: MC (который становится стороной AC), NA (чевиана из A в N) и KB (чевиана из B в K).Сторона AC не разбивает треугольник на части. Таким образом, разбиение происходит только двумя отрезками: NA и KB. Эти два отрезка выходят из разных вершин (A и B) и пересекаются в одной точке внутри треугольника. Первый отрезок (например, NA) делит треугольник на 2 части. Второй отрезок (KB) пересекает первый и проходит через обе эти части, разделяя каждую из них ещё на две. В итоге общее число частей становится равным 4.

3. Ровно две из точек M, N, K совпадают с вершинами треугольника.

Пусть, например, M=A и N=B, а точка K лежит строго внутри стороны AC. Тогда отрезки: MC становится стороной AC, NA становится стороной AB, а KB является чевианой.Стороны AC и AB не разбивают треугольник. Единственным разделяющим отрезком остаётся KB, который делит треугольник на 2 части (треугольники ABK и CBK).

4. Все три точки M, N, K совпадают с вершинами треугольника.

Возможны два варианта расстановки, например, M=B, N=C, K=A. В этом случае отрезки MC, NA, KB становятся сторонами треугольника BC, AC, AB соответственно. Стороны являются границей треугольника и не разбивают его внутреннюю область. Таким образом, треугольник остаётся одной целой частью.

Суммируя все возможные случаи, мы получаем, что треугольник может быть разбит на 1, 2, 4, 6 или 7 частей.

Ответ: треугольник может быть разбит на 1, 2, 4, 6 или 7 частей.