Номер 1181, страница 258 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1181. Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона. Трое рабочих могут выполнить некоторую работу, при этом A может выполнить её один раз за 3 недели, B — три раза за 8 недель, C — пять раз за 12 недель. Спрашивается, за какое время они смогут выполнить эту работу все вместе. (Считайте, что в неделе 6 рабочих дней по 12 ч.)

Для решения этой задачи необходимо сначала определить производительность каждого рабочего, то есть какую часть работы он выполняет за единицу времени. За единицу работы примем всю работу, а за единицу времени — одну неделю.

1. Определение производительности каждого рабочего

Рабочий А выполняет 1 работу за 3 недели. Его производительность $P_A$ составляет:
$P_A = \frac{1}{3}$ работы в неделю.

Рабочий B выполняет 3 работы за 8 недель. Его производительность $P_B$ составляет:
$P_B = \frac{3}{8}$ работы в неделю.

Рабочий C выполняет 5 работ за 12 недель. Его производительность $P_C$ составляет:
$P_C = \frac{5}{12}$ работы в неделю.

2. Определение общей производительности

При совместной работе производительности рабочих складываются. Найдем их общую производительность $P_{общ}$: $P_{общ} = P_A + P_B + P_C = \frac{1}{3} + \frac{3}{8} + \frac{5}{12}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 3, 8 и 12 равно 24. $P_{общ} = \frac{1 \cdot 8}{24} + \frac{3 \cdot 3}{24} + \frac{5 \cdot 2}{24} = \frac{8}{24} + \frac{9}{24} + \frac{10}{24} = \frac{8+9+10}{24} = \frac{27}{24}$

Сократим полученную дробь: $P_{общ} = \frac{27}{24} = \frac{9}{8}$ работы в неделю.

3. Расчет времени выполнения работы

Время $T$, необходимое для выполнения одной работы, является величиной, обратной производительности: $T = \frac{1}{P_{общ}} = \frac{1}{\frac{9}{8}} = \frac{8}{9}$ недели.

4. Перевод времени в дни и часы

Согласно условию, в неделе 6 рабочих дней по 12 часов. Переведем полученное время из недель в рабочие дни: $T_{дни} = \frac{8}{9} \times 6 = \frac{48}{9} = \frac{16}{3}$ дней.

Это составляет $5\frac{1}{3}$ рабочего дня, то есть 5 полных рабочих дней и еще $\frac{1}{3}$ дня. Переведем дробную часть дня в часы, зная, что рабочий день длится 12 часов: $\frac{1}{3} \text{ дня} \times 12 \frac{\text{часов}}{\text{день}} = 4$ часа.

Следовательно, работая вместе, трое рабочих выполнят работу за 5 дней и 4 часа.

Ответ: 5 дней 4 часа.