Номер 1179, страница 258 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1179. а) Первая и вторая бригады могли бы выполнить задание за 9 дней; вторая и третья бригады — за 18 дней; первая и третья бригады — за 12 дней. За сколько дней это задание могут выполнить три бригады, работая вместе?

б) В бассейн проведены три трубы. Через первые две трубы бассейн наполняется за 1 ч 10 мин; через первую и третью трубы он наполняется за 1 ч 24 мин, а через вторую и третью — за 2 ч 20 мин. За сколько минут наполнится бассейн через все три трубы?

в) По условию задачи а) определите, за сколько дней третья бригада сможет выполнить задание, работая отдельно.

а)

Обозначим производительность первой, второй и третьей бригад как $P_1$, $P_2$ и $P_3$ соответственно. Весь объем работы примем за 1.
Исходя из условия задачи, можно составить систему уравнений, где производительность равна частному от деления работы на время:
1) Производительность первой и второй бригад вместе: $P_1 + P_2 = \frac{1}{9}$ (часть задания в день).
2) Производительность второй и третьей бригад вместе: $P_2 + P_3 = \frac{1}{18}$ (часть задания в день).
3) Производительность первой и третьей бригад вместе: $P_1 + P_3 = \frac{1}{12}$ (часть задания в день).

Чтобы найти общую производительность трех бригад, работающих вместе ($P_1 + P_2 + P_3$), сложим все три уравнения:
$(P_1 + P_2) + (P_2 + P_3) + (P_1 + P_3) = \frac{1}{9} + \frac{1}{18} + \frac{1}{12}$
$2P_1 + 2P_2 + 2P_3 = \frac{1}{9} + \frac{1}{18} + \frac{1}{12}$
$2(P_1 + P_2 + P_3) = \frac{4}{36} + \frac{2}{36} + \frac{3}{36}$
$2(P_1 + P_2 + P_3) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$

Отсюда найдем суммарную производительность трех бригад:
$P_1 + P_2 + P_3 = \frac{1}{4} \div 2 = \frac{1}{8}$
Это значит, что за один день три бригады вместе выполнят $\frac{1}{8}$ всего задания.

Чтобы найти время, за которое они выполнят все задание, нужно разделить объем работы (1) на их общую производительность:
$T = \frac{1}{P_1 + P_2 + P_3} = \frac{1}{\frac{1}{8}} = 8$ дней.

Ответ: 8 дней.

б)

Эта задача решается по аналогии с предыдущей. Сначала переведем все временные интервалы в минуты:
1 ч 10 мин = $60 + 10 = 70$ мин.
1 ч 24 мин = $60 + 24 = 84$ мин.
2 ч 20 мин = $2 \cdot 60 + 20 = 140$ мин.

Обозначим скорость наполнения бассейна через первую, вторую и третью трубы как $R_1$, $R_2$ и $R_3$ соответственно. Объем бассейна примем за 1.
Составим систему уравнений:
1) $R_1 + R_2 = \frac{1}{70}$ (часть бассейна в минуту).
2) $R_1 + R_3 = \frac{1}{84}$ (часть бассейна в минуту).
3) $R_2 + R_3 = \frac{1}{140}$ (часть бассейна в минуту).

Сложим все три уравнения, чтобы найти удвоенную общую скорость наполнения:
$2(R_1 + R_2 + R_3) = \frac{1}{70} + \frac{1}{84} + \frac{1}{140}$
Найдем общий знаменатель для дробей (НОК(70, 84, 140) = 420):
$2(R_1 + R_2 + R_3) = \frac{6}{420} + \frac{5}{420} + \frac{3}{420}$
$2(R_1 + R_2 + R_3) = \frac{14}{420} = \frac{1}{30}$

Теперь найдем общую скорость наполнения через три трубы:
$R_1 + R_2 + R_3 = \frac{1}{30} \div 2 = \frac{1}{60}$
Это означает, что за одну минуту через три трубы наполнится $\frac{1}{60}$ часть бассейна.

Время, за которое наполнится весь бассейн, равно:
$T = \frac{1}{R_1 + R_2 + R_3} = \frac{1}{\frac{1}{60}} = 60$ минут.

Ответ: 60 минут.

в)

Чтобы определить, за сколько дней третья бригада сможет выполнить задание, работая отдельно, нужно найти ее индивидуальную производительность $P_3$.
Из решения задачи а) мы знаем:
Общая производительность трех бригад: $P_1 + P_2 + P_3 = \frac{1}{8}$.
Производительность первой и второй бригад вместе: $P_1 + P_2 = \frac{1}{9}$.

Чтобы найти производительность третьей бригады, вычтем из общей производительности производительность первых двух бригад:
$P_3 = (P_1 + P_2 + P_3) - (P_1 + P_2) = \frac{1}{8} - \frac{1}{9}$
$P_3 = \frac{9}{72} - \frac{8}{72} = \frac{1}{72}$

Производительность третьей бригады составляет $\frac{1}{72}$ часть задания в день.
Следовательно, время, за которое третья бригада выполнит все задание в одиночку, равно:
$T_3 = \frac{1}{P_3} = \frac{1}{\frac{1}{72}} = 72$ дня.

Ответ: 72 дня.