Номер 1110, страница 248 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1110. Сравните дроби:

а) $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{\frac{1}{2}}{3} $;

б) $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{\frac{4}{3}}{2} $;

в) $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{\frac{4}{3}}{2} $

а) Чтобы сравнить дроби $\frac{\frac{1}{2}}{3}$ и $\frac{1}{\frac{2}{3}}$, сначала упростим каждую из них.
Первая дробь: $\frac{\frac{1}{2}}{3}$ представляет собой деление дроби $\frac{1}{2}$ на число 3.
$\frac{\frac{1}{2}}{3} = \frac{1}{2} \div 3 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}$.
Вторая дробь: $\frac{1}{\frac{2}{3}}$ представляет собой деление числа 1 на дробь $\frac{2}{3}$.
$\frac{1}{\frac{2}{3}} = 1 \div \frac{2}{3} = 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$.
Теперь сравним полученные дроби: $\frac{1}{6}$ и $\frac{3}{2}$. Приведем их к общему знаменателю 6.
$\frac{3}{2} = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{9}{6}$.
Сравниваем $\frac{1}{6}$ и $\frac{9}{6}$. Так как $1 < 9$, то $\frac{1}{6} < \frac{9}{6}$.
Следовательно, $\frac{\frac{1}{2}}{3} < \frac{1}{\frac{2}{3}}$.
Ответ: $\frac{\frac{1}{2}}{3} < \frac{1}{\frac{2}{3}}$.

б) Сравним дроби $\frac{\frac{2}{3}}{4}$ и $\frac{4}{\frac{3}{2}}$. Упростим каждую дробь.
Первая дробь: $\frac{\frac{2}{3}}{4} = \frac{2}{3} \div 4 = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.
Вторая дробь: $\frac{4}{\frac{3}{2}} = 4 \div \frac{3}{2} = 4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 2}{3} = \frac{8}{3}$.
Теперь сравним дроби $\frac{1}{6}$ и $\frac{8}{3}$. Общий знаменатель для них - 6.
$\frac{8}{3} = \frac{8 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{16}{6}$.
Сравниваем $\frac{1}{6}$ и $\frac{16}{6}$. Так как $1 < 16$, то $\frac{1}{6} < \frac{16}{6}$.
Следовательно, $\frac{\frac{2}{3}}{4} < \frac{4}{\frac{3}{2}}$.
Ответ: $\frac{\frac{2}{3}}{4} < \frac{4}{\frac{3}{2}}$.

в) Сравним дроби $\frac{1}{\frac{2}{3}}$ и $\frac{4}{\frac{3}{2}}$. Упростим обе дроби.
Первая дробь: $\frac{1}{\frac{2}{3}} = 1 \div \frac{2}{3} = 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$.
Вторая дробь: $\frac{4}{\frac{3}{2}} = 4 \div \frac{3}{2} = 4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$.
Теперь сравним дроби $\frac{3}{2}$ и $\frac{8}{3}$. Приведем их к общему знаменателю 6.
$\frac{3}{2} = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{9}{6}$.
$\frac{8}{3} = \frac{8 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{16}{6}$.
Сравниваем $\frac{9}{6}$ и $\frac{16}{6}$. Так как $9 < 16$, то $\frac{9}{6} < \frac{16}{6}$.
Следовательно, $\frac{1}{\frac{2}{3}} < \frac{4}{\frac{3}{2}}$.
Ответ: $\frac{1}{\frac{2}{3}} < \frac{4}{\frac{3}{2}}$.