Номер 1115, страница 248 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

Выполните действия (1115–1135).

1115. $\frac{340}{567} + \frac{29}{42} + \frac{43}{54} + \frac{74}{81} - \left(\frac{53}{60} - \frac{37}{84}\right) - \left(\frac{3}{14} + \frac{12}{35}\right)$

1115.

Для решения данного примера выполним вычисления по действиям.

Исходное выражение:

$ \frac{340}{567} + \frac{29}{42} + \frac{43}{54} + \frac{74}{81} - (\frac{53}{60} - \frac{37}{84}) - (\frac{3}{14} + \frac{12}{35}) $

1. Сначала выполним действие в первой скобке: $ \frac{53}{60} - \frac{37}{84} $.

Для этого найдем наименьший общий знаменатель (НОК) чисел 60 и 84.

Разложим знаменатели на простые множители:

$ 60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 $

$ 84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 $

НОК(60, 84) = $ 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 420 $.

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:

$ \frac{53}{60} - \frac{37}{84} = \frac{53 \cdot 7}{420} - \frac{37 \cdot 5}{420} = \frac{371 - 185}{420} = \frac{186}{420} $

Сократим полученную дробь на 6:

$ \frac{186 \div 6}{420 \div 6} = \frac{31}{70} $

2. Теперь выполним действие во второй скобке: $ \frac{3}{14} + \frac{12}{35} $.

Найдем НОК чисел 14 и 35.

$ 14 = 2 \cdot 7 $

$ 35 = 5 \cdot 7 $

НОК(14, 35) = $ 2 \cdot 5 \cdot 7 = 70 $.

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним сложение:

$ \frac{3}{14} + \frac{12}{35} = \frac{3 \cdot 5}{70} + \frac{12 \cdot 2}{70} = \frac{15 + 24}{70} = \frac{39}{70} $

3. Подставим результаты обратно в исходное выражение:

$ \frac{340}{567} + \frac{29}{42} + \frac{43}{54} + \frac{74}{81} - \frac{31}{70} - \frac{39}{70} $

Выполним вычитание последних двух дробей:

$ - \frac{31}{70} - \frac{39}{70} = -(\frac{31}{70} + \frac{39}{70}) = -\frac{31+39}{70} = -\frac{70}{70} = -1 $

Теперь выражение выглядит так:

$ \frac{340}{567} + \frac{29}{42} + \frac{43}{54} + \frac{74}{81} - 1 $

4. Найдем сумму первых четырех дробей: $ \frac{340}{567} + \frac{29}{42} + \frac{43}{54} + \frac{74}{81} $.

Найдем НОК знаменателей 567, 42, 54, 81.

Разложим их на простые множители:

$ 567 = 7 \cdot 81 = 7 \cdot 3^4 $

$ 42 = 2 \cdot 3 \cdot 7 $

$ 54 = 2 \cdot 27 = 2 \cdot 3^3 $

$ 81 = 3^4 $

НОК(567, 42, 54, 81) = $ 2 \cdot 3^4 \cdot 7 = 1134 $.

Приведем дроби к общему знаменателю 1134:

$ \frac{340 \cdot 2}{1134} + \frac{29 \cdot 27}{1134} + \frac{43 \cdot 21}{1134} + \frac{74 \cdot 14}{1134} = \frac{680}{1134} + \frac{783}{1134} + \frac{903}{1134} + \frac{1036}{1134} $

Сложим числители:

$ \frac{680 + 783 + 903 + 1036}{1134} = \frac{3402}{1134} $

Разделим числитель на знаменатель: $ 3402 \div 1134 = 3 $.

5. Выполним последнее действие, подставив полученное значение в выражение из шага 3:

$ 3 - 1 = 2 $

Ответ: 2