Номер 1078, страница 242 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1078. a) Отец даёт денег своим детям. Старшему — половину всего и 1 р., среднему — половину остатка и ещё 1 р., младшему — половину остатка и последние 3 р. Сколько было денег?

б) Крестьянин, покупая товары, уплатил первому купцу половину своих денег и ещё 1 р.; второму купцу половину оставшихся денег да ещё 2 р. и, наконец, уплатил третьему купцу половину оставшихся денег да ещё 1 р. После этого денег у крестьянина совсем не осталось. Сколько денег было у крестьянина первоначально?

а)

Эту задачу удобнее всего решать с конца, выполняя обратные действия.

1. Начнем с младшего сына. Он получил половину остатка и последние 3 рубля. Это значит, что после того, как он получил свою долю, денег не осталось. Пусть $O_2$ — это остаток денег перед тем, как их получил младший сын. Он получил $\frac{O_2}{2} + 3$. Так как денег не осталось, то сумма, которую он получил, и была всем остатком.
Составим уравнение: $O_2 - (\frac{O_2}{2} + 3) = 0$.
$\frac{O_2}{2} - 3 = 0$
$\frac{O_2}{2} = 3$
$O_2 = 6$ рублей.
Столько денег было перед тем, как их получил младший сын.

2. Теперь рассмотрим среднего сына. Он получил половину остатка и ещё 1 рубль. Пусть $O_1$ — это остаток денег перед тем, как их получил средний сын. После него осталось $O_2 = 6$ рублей.
Составим уравнение: $O_1 - (\frac{O_1}{2} + 1) = 6$.
$\frac{O_1}{2} - 1 = 6$
$\frac{O_1}{2} = 7$
$O_1 = 14$ рублей.
Столько денег было перед тем, как их получил средний сын.

3. Наконец, рассмотрим старшего сына. Он получил половину всех денег и ещё 1 рубль. Пусть $X$ — первоначальная сумма денег. После старшего сына осталось $O_1 = 14$ рублей.
Составим уравнение: $X - (\frac{X}{2} + 1) = 14$.
$\frac{X}{2} - 1 = 14$
$\frac{X}{2} = 15$
$X = 30$ рублей.
Столько денег было у отца изначально.

Проверка:
Изначально было 30 р.
Старший получил: $\frac{30}{2} + 1 = 16$ р. Осталось $30 - 16 = 14$ р.
Средний получил: $\frac{14}{2} + 1 = 8$ р. Осталось $14 - 8 = 6$ р.
Младший получил: $\frac{6}{2} + 3 = 6$ р. Осталось $6 - 6 = 0$ р.
Все верно.

Ответ: 30 рублей.

б)

Эту задачу также решаем с конца.

1. Третьему купцу крестьянин уплатил половину оставшихся денег да ещё 1 рубль, после чего денег не осталось (остаток 0 р.). Пусть $O_2$ — сумма перед уплатой третьему купцу.
Составим уравнение: $O_2 - (\frac{O_2}{2} + 1) = 0$.
$\frac{O_2}{2} - 1 = 0$
$\frac{O_2}{2} = 1$
$O_2 = 2$ рубля.
Столько денег было у крестьянина перед уплатой третьему купцу.

2. Второму купцу он уплатил половину оставшихся денег да ещё 2 рубля. После этого у него осталось $O_2 = 2$ рубля. Пусть $O_1$ — сумма перед уплатой второму купцу.
Составим уравнение: $O_1 - (\frac{O_1}{2} + 2) = 2$.
$\frac{O_1}{2} - 2 = 2$
$\frac{O_1}{2} = 4$
$O_1 = 8$ рублей.
Столько денег было у крестьянина перед уплатой второму купцу.

3. Первому купцу он уплатил половину своих денег и ещё 1 рубль. После этого у него осталось $O_1 = 8$ рублей. Пусть $X$ — первоначальная сумма денег.
Составим уравнение: $X - (\frac{X}{2} + 1) = 8$.
$\frac{X}{2} - 1 = 8$
$\frac{X}{2} = 9$
$X = 18$ рублей.
Столько денег было у крестьянина первоначально.

Проверка:
Изначально было 18 р.
Первому купцу уплатил: $\frac{18}{2} + 1 = 10$ р. Осталось $18 - 10 = 8$ р.
Второму купцу уплатил: $\frac{8}{2} + 2 = 6$ р. Осталось $8 - 6 = 2$ р.
Третьему купцу уплатил: $\frac{2}{2} + 1 = 2$ р. Осталось $2 - 2 = 0$ р.
Все верно.

Ответ: 18 рублей.