Номер 1001, страница 221 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1001. Как вычитают смешанные дроби?

Чтобы вычесть одну смешанную дробь из другой, можно использовать один из двух основных способов.

Способ 1: Вычитание целых и дробных частей по отдельности

Этот способ удобен, когда дробная часть уменьшаемого (первой дроби) больше или равна дробной части вычитаемого (второй дроби).

1. Приведение к общему знаменателю. Если у дробных частей разные знаменатели, их необходимо привести к общему.

2. Вычитание. Отдельно вычесть целые части и отдельно – дробные части.

3. Запись результата. Сложить полученные целую и дробную части.

Рассмотрим два случая.

Случай А: Дробная часть уменьшаемого больше или равна дробной части вычитаемого.

Пример: Вычислить $8\frac{5}{7} - 3\frac{2}{7}$.

Дробные части уже имеют общий знаменатель. Сравниваем их: $\frac{5}{7} \ge \frac{2}{7}$.

Вычитаем целые части: $8 - 3 = 5$.

Вычитаем дробные части: $\frac{5}{7} - \frac{2}{7} = \frac{3}{7}$.

Складываем результаты: $5 + \frac{3}{7} = 5\frac{3}{7}$.

Ответ: $8\frac{5}{7} - 3\frac{2}{7} = 5\frac{3}{7}$.

Случай Б: Дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого.

В этом случае нужно "занять" единицу у целой части уменьшаемого, представить ее в виде дроби с нужным знаменателем и прибавить к дробной части.

Пример: Вычислить $5\frac{1}{4} - 2\frac{3}{4}$.

Здесь $\frac{1}{4} < \frac{3}{4}$, поэтому вычесть дробные части напрямую нельзя. "Занимаем" 1 у целой части (у 5):

$5\frac{1}{4} = 4 + 1 + \frac{1}{4} = 4 + \frac{4}{4} + \frac{1}{4} = 4\frac{5}{4}$.

Теперь вычитание выглядит так: $4\frac{5}{4} - 2\frac{3}{4}$.

Вычитаем целые части: $4 - 2 = 2$.

Вычитаем дробные части: $\frac{5}{4} - \frac{3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Складываем результаты: $2 + \frac{1}{2} = 2\frac{1}{2}$.

Ответ: $5\frac{1}{4} - 2\frac{3}{4} = 2\frac{1}{2}$.

Способ 2: Преобразование в неправильные дроби

Этот способ является универсальным и подходит для любых случаев.

1. Преобразование. Каждую смешанную дробь нужно превратить в неправильную по формуле $a\frac{b}{c} = \frac{a \cdot c + b}{c}$.

2. Вычитание. Вычесть полученные неправильные дроби (приведя их к общему знаменателю, если это необходимо).

3. Обратное преобразование. Если результат получился в виде неправильной дроби, его следует преобразовать обратно в смешанную дробь.

Пример: Снова вычислим $5\frac{1}{4} - 2\frac{3}{4}$.

Преобразуем смешанные дроби в неправильные:

$5\frac{1}{4} = \frac{5 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{21}{4}$

$2\frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{11}{4}$

Выполняем вычитание:

$\frac{21}{4} - \frac{11}{4} = \frac{21 - 11}{4} = \frac{10}{4}$

Сокращаем и преобразуем результат в смешанную дробь:

$\frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$

Ответ: $5\frac{1}{4} - 2\frac{3}{4} = 2\frac{1}{2}$.