Страница 203 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

919. а) $48 \cdot \frac{5}{17} + 48 \cdot \frac{12}{17}$;

б) $55 \cdot \frac{7}{11} - 55 \cdot \frac{6}{11}$;

в) $\frac{11}{13} \cdot \frac{11}{15} + \frac{11}{13} \cdot \frac{2}{15}$;

г) $\frac{12}{19} \cdot \frac{23}{15} - \frac{12}{19} \cdot \frac{4}{15}$;

д) $\frac{22}{21} \cdot \frac{5}{14} + \frac{20}{21} \cdot \frac{5}{14}$;

е) $\frac{47}{11} \cdot \frac{1}{2} - \frac{25}{11} \cdot \frac{1}{2}$.

а) $48 \cdot \frac{5}{17} + 48 \cdot \frac{12}{17}$

Чтобы упростить вычисление, воспользуемся распределительным свойством умножения. Вынесем общий множитель $48$ за скобки:

$48 \cdot (\frac{5}{17} + \frac{12}{17}) = 48 \cdot \frac{5+12}{17} = 48 \cdot \frac{17}{17} = 48 \cdot 1 = 48$.

Ответ: 48

б) $55 \cdot \frac{7}{11} - 55 \cdot \frac{6}{11}$

Применим распределительное свойство умножения, вынеся за скобки общий множитель $55$:

$55 \cdot (\frac{7}{11} - \frac{6}{11}) = 55 \cdot \frac{7-6}{11} = 55 \cdot \frac{1}{11} = \frac{55}{11} = 5$.

Ответ: 5

в) $\frac{11}{13} \cdot \frac{11}{15} + \frac{11}{13} \cdot \frac{2}{15}$

Здесь общий множитель — это дробь $\frac{11}{13}$. Вынесем ее за скобки:

$\frac{11}{13} \cdot (\frac{11}{15} + \frac{2}{15}) = \frac{11}{13} \cdot \frac{11+2}{15} = \frac{11}{13} \cdot \frac{13}{15} = \frac{11 \cdot 13}{13 \cdot 15} = \frac{11}{15}$.

Ответ: $\frac{11}{15}$

г) $\frac{12}{19} \cdot \frac{23}{15} - \frac{12}{19} \cdot \frac{4}{15}$

Аналогично предыдущим примерам, выносим общий множитель $\frac{12}{19}$ за скобки:

$\frac{12}{19} \cdot (\frac{23}{15} - \frac{4}{15}) = \frac{12}{19} \cdot \frac{23-4}{15} = \frac{12}{19} \cdot \frac{19}{15} = \frac{12 \cdot 19}{19 \cdot 15} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$.

Ответ: $\frac{4}{5}$

д) $\frac{22}{21} \cdot \frac{5}{14} + \frac{20}{21} \cdot \frac{5}{14}$

В этом выражении общий множитель $\frac{5}{14}$ стоит на втором месте. Вынесем его за скобки:

$(\frac{22}{21} + \frac{20}{21}) \cdot \frac{5}{14} = \frac{22+20}{21} \cdot \frac{5}{14} = \frac{42}{21} \cdot \frac{5}{14} = 2 \cdot \frac{5}{14} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}$.

Ответ: $\frac{5}{7}$

е) $\frac{47}{11} \cdot \frac{1}{2} - \frac{25}{11} \cdot \frac{1}{2}$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки и выполним вычитание:

$(\frac{47}{11} - \frac{25}{11}) \cdot \frac{1}{2} = \frac{47-25}{11} \cdot \frac{1}{2} = \frac{22}{11} \cdot \frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.

Ответ: 1

920. a) $(23 \cdot \frac{11}{25}) \cdot \frac{5}{43} + (20 \cdot \frac{11}{25}) \cdot \frac{5}{43};$

б) $(47 \cdot \frac{1}{26}) \cdot \frac{13}{27} - (20 \cdot \frac{1}{26}) \cdot \frac{13}{27};$

в) $(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}) \cdot (\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5}) \cdot (\frac{5}{6} \cdot \frac{7}{8}) \cdot (\frac{6}{7} \cdot \frac{8}{9});$

г) $(\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5}) \cdot (\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6}) \cdot (\frac{6}{7} \cdot \frac{8}{9}) \cdot (\frac{7}{8} \cdot \frac{9}{10}).$

а) В данном выражении можно заметить общий множитель $\frac{5}{43}$. Воспользуемся распределительным свойством умножения относительно сложения $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$ и вынесем общий множитель за скобки:
$(23\frac{11}{25}) \cdot \frac{5}{43} + (20\frac{11}{25}) \cdot \frac{5}{43} = (23\frac{11}{25} + 20\frac{11}{25}) \cdot \frac{5}{43}$
Сначала выполним сложение смешанных чисел в скобках:
$23\frac{11}{25} + 20\frac{11}{25} = (23 + 20) + (\frac{11}{25} + \frac{11}{25}) = 43 + \frac{22}{25} = 43\frac{22}{25}$
Теперь умножим полученный результат на общий множитель:
$43\frac{22}{25} \cdot \frac{5}{43} = (43 + \frac{22}{25}) \cdot \frac{5}{43} = 43 \cdot \frac{5}{43} + \frac{22}{25} \cdot \frac{5}{43} = 5 + \frac{22 \cdot 5}{25 \cdot 43}$
Сократим дробь:
$5 + \frac{22 \cdot \cancel{5}}{\cancel{25}_5 \cdot 43} = 5 + \frac{22}{5 \cdot 43} = 5 + \frac{22}{215} = 5\frac{22}{215}$
Ответ: $5\frac{22}{215}$

б) В этом выражении также есть общий множитель $\frac{13}{27}$. Применим распределительное свойство умножения относительно вычитания $(a - b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c$ и вынесем общий множитель за скобки:
$(47\frac{1}{26}) \cdot \frac{13}{27} - (20\frac{1}{26}) \cdot \frac{13}{27} = (47\frac{1}{26} - 20\frac{1}{26}) \cdot \frac{13}{27}$
Выполним вычитание смешанных чисел в скобках:
$47\frac{1}{26} - 20\frac{1}{26} = (47 - 20) + (\frac{1}{26} - \frac{1}{26}) = 27 + 0 = 27$
Теперь умножим результат на общий множитель:
$27 \cdot \frac{13}{27} = \frac{\cancel{27} \cdot 13}{\cancel{27}} = 13$
Ответ: 13

в) Поскольку операция умножения ассоциативна, мы можем убрать скобки и перемножить все дроби в любом порядке.
$(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}) \cdot (\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5}) \cdot (\frac{5}{6} \cdot \frac{7}{8}) \cdot (\frac{6}{7} \cdot \frac{8}{9}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{9}$
Сгруппируем множители так, чтобы было удобно проводить сокращение:
$\frac{1}{\cancel{2}} \cdot \frac{\cancel{2}}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{3}}{\cancel{4}} \cdot \frac{\cancel{4}}{\cancel{5}} \cdot \frac{\cancel{5}}{\cancel{6}} \cdot \frac{\cancel{6}}{\cancel{7}} \cdot \frac{\cancel{7}}{\cancel{8}} \cdot \frac{\cancel{8}}{9}$
После сокращения всех одинаковых числителей и знаменателей остается числитель первой дроби и знаменатель последней:
$\frac{1}{9}$
Ответ: $\frac{1}{9}$

г) Аналогично предыдущему пункту, уберем скобки и перегруппируем дроби для удобства сокращения.
$(\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5}) \cdot (\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6}) \cdot (\frac{6}{7} \cdot \frac{8}{9}) \cdot (\frac{7}{8} \cdot \frac{9}{10}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{9}{10}$
Запишем произведение, упорядочив дроби:
$\frac{2}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{3}}{\cancel{4}} \cdot \frac{\cancel{4}}{\cancel{5}} \cdot \frac{\cancel{5}}{\cancel{6}} \cdot \frac{\cancel{6}}{\cancel{7}} \cdot \frac{\cancel{7}}{\cancel{8}} \cdot \frac{\cancel{8}}{\cancel{9}} \cdot \frac{\cancel{9}}{10}$
После сокращения остается числитель первой дроби и знаменатель последней:
$\frac{2}{10}$
Сократим полученную дробь:
$\frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
Ответ: $\frac{1}{5}$

921. Дано выражение

$\frac{15}{17} \cdot \frac{a}{13} - \frac{15}{17} \cdot \frac{3}{13}$

а) Каким натуральным числом надо заменить букву а, чтобы можно было устно найти значение этого выражения?

б) Какое натуральное число а можно взять, чтобы значение данного выражения было дробью со знаменателем 13? со знаменателем 17? натуральным числом? нулём?

Сначала упростим данное выражение, вынеся общий множитель $\frac{15}{17}$ за скобки. Это позволит нам легче анализировать выражение. Применяем распределительный закон умножения:

$\frac{15}{17} \cdot \frac{a}{13} - \frac{15}{17} \cdot \frac{3}{13} = \frac{15}{17} \left( \frac{a}{13} - \frac{3}{13} \right) = \frac{15}{17} \cdot \frac{a-3}{13} = \frac{15(a-3)}{17 \cdot 13} = \frac{15(a-3)}{221}$

а) Каким натуральным числом надо заменить букву a, чтобы можно было устно найти значение этого выражения?

Чтобы значение выражения можно было легко найти устно, нужно, чтобы вычисление было как можно проще. Самый простой случай — когда выражение равно нулю. Для того чтобы дробь была равна нулю, ее числитель должен быть равен нулю:

$15(a-3) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Так как $15 \ne 0$, то:

$a-3 = 0$

$a = 3$

Число 3 является натуральным. При $a=3$ значение выражения равно 0, что очень легко вычислить устно.

Ответ: букву $a$ надо заменить натуральным числом 3.

б) Какое натуральное число a можно взять, чтобы значение данного выражения было дробью со знаменателем 13? со знаменателем 17? натуральным числом? нулём?

Для ответа на все вопросы будем использовать упрощенное выражение: $\frac{15(a-3)}{17 \cdot 13}$.

1. Чтобы значение выражения было дробью со знаменателем 13, необходимо, чтобы множитель 17 в знаменателе сократился. Для этого числитель $15(a-3)$ должен делиться на 17 без остатка. Так как числа 15 и 17 взаимно простые (не имеют общих делителей, кроме 1), то на 17 должен делиться множитель $(a-3)$. Возьмем простейший ненулевой случай: $a-3 = 17$. Отсюда $a = 20$. Проверим: $\frac{15(20-3)}{17 \cdot 13} = \frac{15 \cdot 17}{17 \cdot 13} = \frac{15}{13}$.

2. Чтобы значение выражения было дробью со знаменателем 17, необходимо, чтобы множитель 13 в знаменателе сократился. Аналогично, $(a-3)$ должно делиться на 13. Возьмем простейший случай: $a-3 = 13$. Отсюда $a = 16$. Проверим: $\frac{15(16-3)}{17 \cdot 13} = \frac{15 \cdot 13}{17 \cdot 13} = \frac{15}{17}$.

3. Чтобы значение выражения было натуральным числом, необходимо, чтобы знаменатель $17 \cdot 13 = 221$ полностью сократился. Для этого числитель $15(a-3)$ должен делиться на 221. Так как 15 и 221 взаимно простые, то $(a-3)$ должно делиться на 221. Возьмем простейший случай: $a-3 = 221$. Отсюда $a = 224$. Проверим: $\frac{15(224-3)}{221} = \frac{15 \cdot 221}{221} = 15$.

4. Чтобы значение выражения было равно нулю, его числитель должен быть равен нулю. Как мы выяснили в пункте а), это происходит при $a=3$.

Ответ: можно взять $a=20$, чтобы получить дробь со знаменателем 13; $a=16$, чтобы получить дробь со знаменателем 17; $a=224$, чтобы получить натуральное число; $a=3$, чтобы получить нуль.