Номер 920, страница 203 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.10. Законы умножения. Распределительный закон. Глава 4. Обыкновенные дроби - номер 920, страница 203.

Условие.

920. a) $(23 \cdot \frac{11}{25}) \cdot \frac{5}{43} + (20 \cdot \frac{11}{25}) \cdot \frac{5}{43};$

б) $(47 \cdot \frac{1}{26}) \cdot \frac{13}{27} - (20 \cdot \frac{1}{26}) \cdot \frac{13}{27};$

в) $(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}) \cdot (\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5}) \cdot (\frac{5}{6} \cdot \frac{7}{8}) \cdot (\frac{6}{7} \cdot \frac{8}{9});$

г) $(\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5}) \cdot (\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6}) \cdot (\frac{6}{7} \cdot \frac{8}{9}) \cdot (\frac{7}{8} \cdot \frac{9}{10}).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

а) В данном выражении можно заметить общий множитель $\frac{5}{43}$. Воспользуемся распределительным свойством умножения относительно сложения $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$ и вынесем общий множитель за скобки:
$(23\frac{11}{25}) \cdot \frac{5}{43} + (20\frac{11}{25}) \cdot \frac{5}{43} = (23\frac{11}{25} + 20\frac{11}{25}) \cdot \frac{5}{43}$
Сначала выполним сложение смешанных чисел в скобках:
$23\frac{11}{25} + 20\frac{11}{25} = (23 + 20) + (\frac{11}{25} + \frac{11}{25}) = 43 + \frac{22}{25} = 43\frac{22}{25}$
Теперь умножим полученный результат на общий множитель:
$43\frac{22}{25} \cdot \frac{5}{43} = (43 + \frac{22}{25}) \cdot \frac{5}{43} = 43 \cdot \frac{5}{43} + \frac{22}{25} \cdot \frac{5}{43} = 5 + \frac{22 \cdot 5}{25 \cdot 43}$
Сократим дробь:
$5 + \frac{22 \cdot \cancel{5}}{\cancel{25}_5 \cdot 43} = 5 + \frac{22}{5 \cdot 43} = 5 + \frac{22}{215} = 5\frac{22}{215}$
Ответ: $5\frac{22}{215}$

б) В этом выражении также есть общий множитель $\frac{13}{27}$. Применим распределительное свойство умножения относительно вычитания $(a - b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c$ и вынесем общий множитель за скобки:
$(47\frac{1}{26}) \cdot \frac{13}{27} - (20\frac{1}{26}) \cdot \frac{13}{27} = (47\frac{1}{26} - 20\frac{1}{26}) \cdot \frac{13}{27}$
Выполним вычитание смешанных чисел в скобках:
$47\frac{1}{26} - 20\frac{1}{26} = (47 - 20) + (\frac{1}{26} - \frac{1}{26}) = 27 + 0 = 27$
Теперь умножим результат на общий множитель:
$27 \cdot \frac{13}{27} = \frac{\cancel{27} \cdot 13}{\cancel{27}} = 13$
Ответ: 13

в) Поскольку операция умножения ассоциативна, мы можем убрать скобки и перемножить все дроби в любом порядке.
$(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}) \cdot (\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5}) \cdot (\frac{5}{6} \cdot \frac{7}{8}) \cdot (\frac{6}{7} \cdot \frac{8}{9}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{9}$
Сгруппируем множители так, чтобы было удобно проводить сокращение:
$\frac{1}{\cancel{2}} \cdot \frac{\cancel{2}}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{3}}{\cancel{4}} \cdot \frac{\cancel{4}}{\cancel{5}} \cdot \frac{\cancel{5}}{\cancel{6}} \cdot \frac{\cancel{6}}{\cancel{7}} \cdot \frac{\cancel{7}}{\cancel{8}} \cdot \frac{\cancel{8}}{9}$
После сокращения всех одинаковых числителей и знаменателей остается числитель первой дроби и знаменатель последней:
$\frac{1}{9}$
Ответ: $\frac{1}{9}$

г) Аналогично предыдущему пункту, уберем скобки и перегруппируем дроби для удобства сокращения.
$(\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5}) \cdot (\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6}) \cdot (\frac{6}{7} \cdot \frac{8}{9}) \cdot (\frac{7}{8} \cdot \frac{9}{10}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{9}{10}$
Запишем произведение, упорядочив дроби:
$\frac{2}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{3}}{\cancel{4}} \cdot \frac{\cancel{4}}{\cancel{5}} \cdot \frac{\cancel{5}}{\cancel{6}} \cdot \frac{\cancel{6}}{\cancel{7}} \cdot \frac{\cancel{7}}{\cancel{8}} \cdot \frac{\cancel{8}}{\cancel{9}} \cdot \frac{\cancel{9}}{10}$
После сокращения остается числитель первой дроби и знаменатель последней:
$\frac{2}{10}$
Сократим полученную дробь:
$\frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
Ответ: $\frac{1}{5}$