Номер 918, страница 202 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

Вычислите, используя законы умножения (918–920).

918. а) $(54 \cdot \frac{13}{14}) \cdot \frac{7}{13};$

б) $(46 \cdot \frac{2}{15}) \cdot \frac{15}{23};$

в) $(\frac{12}{13} \cdot \frac{14}{17}) \cdot (\frac{17}{14} \cdot \frac{13}{24});$

г) $(\frac{5}{16} \cdot \frac{13}{18}) \cdot (\frac{18}{26} \cdot \frac{16}{25});$

д) $\frac{21}{22} \cdot (\frac{22}{23} \cdot \frac{24}{25}) \cdot \frac{23}{24};$

е) $\frac{32}{33} \cdot \frac{52}{53} \cdot (\frac{53}{52} \cdot \frac{33}{34}).$

а) $(54 \cdot \frac{13}{14}) \cdot \frac{7}{13}$

Чтобы упростить вычисление, воспользуемся сочетательным законом умножения $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ и перегруппируем множители так, чтобы сначала перемножить дроби:

$54 \cdot (\frac{13}{14} \cdot \frac{7}{13})$

Теперь выполним умножение дробей. Сократим 13 в числителе и знаменателе:

$\frac{13}{14} \cdot \frac{7}{13} = \frac{13 \cdot 7}{14 \cdot 13} = \frac{7}{14}$

Сократим дробь $\frac{7}{14}$ на 7:

$\frac{7}{14} = \frac{1}{2}$

Теперь умножим 54 на полученный результат:

$54 \cdot \frac{1}{2} = \frac{54}{2} = 27$

Ответ: 27

б) $(46 \cdot \frac{2}{15}) \cdot \frac{15}{23}$

Применим сочетательный закон умножения и сгруппируем дроби:

$46 \cdot (\frac{2}{15} \cdot \frac{15}{23})$

Выполним умножение дробей, сократив 15 в числителе и знаменателе:

$\frac{2}{15} \cdot \frac{15}{23} = \frac{2 \cdot 15}{15 \cdot 23} = \frac{2}{23}$

Теперь умножим 46 на полученную дробь:

$46 \cdot \frac{2}{23} = \frac{46 \cdot 2}{23}$

Сократим 46 и 23, так как $46 = 2 \cdot 23$:

$\frac{(2 \cdot 23) \cdot 2}{23} = 2 \cdot 2 = 4$

Ответ: 4

в) $(\frac{12}{13} \cdot \frac{14}{17}) \cdot (\frac{17}{14} \cdot \frac{13}{24})$

Используя сочетательный и переместительный законы умножения, мы можем раскрыть скобки и перегруппировать множители для удобства вычислений:

$(\frac{12}{13} \cdot \frac{13}{24}) \cdot (\frac{14}{17} \cdot \frac{17}{14})$

Вычислим произведение в первой паре скобок, сократив 13:

$\frac{12}{13} \cdot \frac{13}{24} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$

Вычислим произведение во второй паре скобок. Дроби являются взаимно обратными, поэтому их произведение равно 1:

$\frac{14}{17} \cdot \frac{17}{14} = 1$

Теперь перемножим полученные результаты:

$\frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

г) $(\frac{5}{16} \cdot \frac{13}{18}) \cdot (\frac{18}{26} \cdot \frac{16}{25})$

Раскроем скобки и перегруппируем множители, используя законы умножения, чтобы сгруппировать дроби с "удобными" числителями и знаменателями:

$(\frac{5}{16} \cdot \frac{16}{25}) \cdot (\frac{13}{18} \cdot \frac{18}{26})$

Вычислим произведение в первой группе, сократив 16:

$\frac{5}{16} \cdot \frac{16}{25} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$

Вычислим произведение во второй группе, сократив 18:

$\frac{13}{18} \cdot \frac{18}{26} = \frac{13}{26} = \frac{1}{2}$

Теперь перемножим полученные дроби:

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{10}$

Ответ: $\frac{1}{10}$

д) $\frac{21}{22} \cdot (\frac{22}{23} \cdot \frac{24}{25}) \cdot \frac{23}{24}$

Используя сочетательный и переместительный законы, мы можем убрать скобки и переставить множители для последовательного сокращения:

$\frac{21}{22} \cdot \frac{22}{23} \cdot \frac{23}{24} \cdot \frac{24}{25}$

Запишем все множители в виде одной дроби:

$\frac{21 \cdot 22 \cdot 23 \cdot 24}{22 \cdot 23 \cdot 24 \cdot 25}$

Теперь последовательно сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе (22, 23 и 24):

$\frac{21 \cdot \cancel{22} \cdot \cancel{23} \cdot \cancel{24}}{\cancel{22} \cdot \cancel{23} \cdot \cancel{24} \cdot 25} = \frac{21}{25}$

Ответ: $\frac{21}{25}$

е) $\frac{32}{33} \cdot \frac{52}{53} \cdot (\frac{53}{52} \cdot \frac{33}{34})$

Раскроем скобки и перегруппируем множители, применяя законы умножения:

$(\frac{32}{33} \cdot \frac{33}{34}) \cdot (\frac{52}{53} \cdot \frac{53}{52})$

Вычислим произведение в первой группе, сократив 33:

$\frac{32}{33} \cdot \frac{33}{34} = \frac{32}{34}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$\frac{32}{34} = \frac{16}{17}$

Вычислим произведение во второй группе. Дроби являются взаимно обратными, их произведение равно 1:

$\frac{52}{53} \cdot \frac{53}{52} = 1$

Наконец, перемножим полученные результаты:

$\frac{16}{17} \cdot 1 = \frac{16}{17}$

Ответ: $\frac{16}{17}$