Номер 917, страница 202 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

917. Верно ли равенство? Ответ обоснуйте.

а) $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$;

б) $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{7} = \frac{3}{7} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3}$;

в) $\frac{2}{3} \cdot \left( \frac{1}{5} + \frac{3}{4} \right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5} + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}$;

г) $\left( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \right) \cdot 8 = \frac{1}{2} \cdot 8 + \frac{1}{4} \cdot 8$.

а) Чтобы проверить верность равенства $ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} $, вычислим значения левой и правой частей.

Левая часть: $ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6} $.

Правая часть: $ \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 2} = \frac{1}{6} $.

Так как $ \frac{1}{6} = \frac{1}{6} $, равенство верно. Это равенство является примером переместительного свойства умножения, согласно которому от перестановки множителей произведение не меняется ($a \cdot b = b \cdot a$).

Ответ: равенство верно.

б) Проверим равенство $ \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{7} = \frac{3}{7} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} $.

Вычислим левую часть: $ \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{7} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{4 \cdot 3 \cdot 7} = \frac{6}{84} $. Сократим дробь на 6: $ \frac{6 \div 6}{84 \div 6} = \frac{1}{14} $.

Вычислим правую часть: $ \frac{3}{7} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 1 \cdot 2}{7 \cdot 4 \cdot 3} = \frac{6}{84} = \frac{1}{14} $.

Левая и правая части равны ($ \frac{1}{14} = \frac{1}{14} $), следовательно, равенство верно. Здесь также применяется переместительное свойство умножения.

Ответ: равенство верно.

в) Проверим равенство $ \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{3}{4}\right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5} + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} $.

Вычислим левую часть. Сначала выполним сложение в скобках: $ \frac{1}{5} + \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4}{20} + \frac{3 \cdot 5}{20} = \frac{4+15}{20} = \frac{19}{20} $.

Теперь умножим: $ \frac{2}{3} \cdot \frac{19}{20} = \frac{2 \cdot 19}{3 \cdot 20} = \frac{1 \cdot 19}{3 \cdot 10} = \frac{19}{30} $.

Вычислим правую часть. Сначала выполним умножение: $ \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{15} $ и $ \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} $.

Теперь сложим результаты: $ \frac{2}{15} + \frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2}{30} + \frac{1 \cdot 15}{30} = \frac{4+15}{30} = \frac{19}{30} $.

Так как $ \frac{19}{30} = \frac{19}{30} $, равенство верно. Это равенство является примером распределительного свойства умножения относительно сложения ($a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$).

Ответ: равенство верно.

г) Проверим равенство $ \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right) \cdot 8 = \frac{1}{2} \cdot 8 + \frac{1}{4} \cdot 8 $.

Вычислим левую часть. Сначала выполним сложение в скобках: $ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $.

Теперь умножим: $ \frac{3}{4} \cdot 8 = \frac{3 \cdot 8}{4} = 3 \cdot 2 = 6 $.

Вычислим правую часть. Сначала выполним умножение: $ \frac{1}{2} \cdot 8 = \frac{8}{2} = 4 $ и $ \frac{1}{4} \cdot 8 = \frac{8}{4} = 2 $.

Теперь сложим результаты: $ 4 + 2 = 6 $.

Так как $ 6 = 6 $, равенство верно. Это также является примером распределительного свойства умножения относительно сложения ($(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$).

Ответ: равенство верно.