Номер 921, страница 203 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

921. Дано выражение

$\frac{15}{17} \cdot \frac{a}{13} - \frac{15}{17} \cdot \frac{3}{13}$

а) Каким натуральным числом надо заменить букву а, чтобы можно было устно найти значение этого выражения?

б) Какое натуральное число а можно взять, чтобы значение данного выражения было дробью со знаменателем 13? со знаменателем 17? натуральным числом? нулём?

Сначала упростим данное выражение, вынеся общий множитель $\frac{15}{17}$ за скобки. Это позволит нам легче анализировать выражение. Применяем распределительный закон умножения:

$\frac{15}{17} \cdot \frac{a}{13} - \frac{15}{17} \cdot \frac{3}{13} = \frac{15}{17} \left( \frac{a}{13} - \frac{3}{13} \right) = \frac{15}{17} \cdot \frac{a-3}{13} = \frac{15(a-3)}{17 \cdot 13} = \frac{15(a-3)}{221}$

а) Каким натуральным числом надо заменить букву a, чтобы можно было устно найти значение этого выражения?

Чтобы значение выражения можно было легко найти устно, нужно, чтобы вычисление было как можно проще. Самый простой случай — когда выражение равно нулю. Для того чтобы дробь была равна нулю, ее числитель должен быть равен нулю:

$15(a-3) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Так как $15 \ne 0$, то:

$a-3 = 0$

$a = 3$

Число 3 является натуральным. При $a=3$ значение выражения равно 0, что очень легко вычислить устно.

Ответ: букву $a$ надо заменить натуральным числом 3.

б) Какое натуральное число a можно взять, чтобы значение данного выражения было дробью со знаменателем 13? со знаменателем 17? натуральным числом? нулём?

Для ответа на все вопросы будем использовать упрощенное выражение: $\frac{15(a-3)}{17 \cdot 13}$.

1. Чтобы значение выражения было дробью со знаменателем 13, необходимо, чтобы множитель 17 в знаменателе сократился. Для этого числитель $15(a-3)$ должен делиться на 17 без остатка. Так как числа 15 и 17 взаимно простые (не имеют общих делителей, кроме 1), то на 17 должен делиться множитель $(a-3)$. Возьмем простейший ненулевой случай: $a-3 = 17$. Отсюда $a = 20$. Проверим: $\frac{15(20-3)}{17 \cdot 13} = \frac{15 \cdot 17}{17 \cdot 13} = \frac{15}{13}$.

2. Чтобы значение выражения было дробью со знаменателем 17, необходимо, чтобы множитель 13 в знаменателе сократился. Аналогично, $(a-3)$ должно делиться на 13. Возьмем простейший случай: $a-3 = 13$. Отсюда $a = 16$. Проверим: $\frac{15(16-3)}{17 \cdot 13} = \frac{15 \cdot 13}{17 \cdot 13} = \frac{15}{17}$.

3. Чтобы значение выражения было натуральным числом, необходимо, чтобы знаменатель $17 \cdot 13 = 221$ полностью сократился. Для этого числитель $15(a-3)$ должен делиться на 221. Так как 15 и 221 взаимно простые, то $(a-3)$ должно делиться на 221. Возьмем простейший случай: $a-3 = 221$. Отсюда $a = 224$. Проверим: $\frac{15(224-3)}{221} = \frac{15 \cdot 221}{221} = 15$.

4. Чтобы значение выражения было равно нулю, его числитель должен быть равен нулю. Как мы выяснили в пункте а), это происходит при $a=3$.

Ответ: можно взять $a=20$, чтобы получить дробь со знаменателем 13; $a=16$, чтобы получить дробь со знаменателем 17; $a=224$, чтобы получить натуральное число; $a=3$, чтобы получить нуль.