Страница 202 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

915. Запишите равенство, выражающее:

a) переместительный закон умножения;

$a \cdot b = b \cdot a$

б) сочетательный закон умножения;

$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

в) распределительный закон.

$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

а) переместительный закон умножения

Переместительный (или коммутативный) закон умножения гласит, что от перемены мест множителей произведение не меняется. Для любых чисел a и b это можно записать в виде следующего равенства:

$a \cdot b = b \cdot a$

Ответ: $a \cdot b = b \cdot a$

б) сочетательный закон умножения

Сочетательный (или ассоциативный) закон умножения гласит, что при умножении трёх или более чисел неважно, в каком порядке их перемножать. Результат будет одинаковым. Для любых чисел a, b и c это равенство выглядит так:

$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

Ответ: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

в) распределительный закон

Распределительный (или дистрибутивный) закон связывает операции умножения и сложения. Чтобы умножить число на сумму двух чисел, можно умножить это число на каждое слагаемое по отдельности, а затем сложить полученные произведения. Для любых чисел a, b и c это записывается так:

$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

Этот закон также справедлив и для вычитания:

$a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$

Ответ: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

916. Сформулируйте:

а) переместительный закон умножения;

б) сочетательный закон умножения;

в) распределительный закон.

а) переместительный закон умножения

Переместительный (или коммутативный) закон умножения гласит, что произведение двух чисел не изменяется при перестановке их множителей.

Для любых чисел $a$ и $b$ это свойство записывается в виде формулы:

$a \cdot b = b \cdot a$

Ответ: От перестановки множителей произведение не меняется. $a \cdot b = b \cdot a$.

б) сочетательный закон умножения

Сочетательный (или ассоциативный) закон умножения гласит, что для умножения произведения двух чисел на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел. Иными словами, при умножении нескольких чисел порядок выполнения действий не имеет значения.

Для любых чисел $a$, $b$ и $c$ это свойство записывается в виде формулы:

$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

Ответ: Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел. $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.

в) распределительный закон

Распределительный (или дистрибутивный) закон связывает операции умножения и сложения. Он гласит, что для умножения суммы на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и затем сложить полученные результаты.

Для любых чисел $a$, $b$ и $c$ это свойство записывается в виде формулы для сложения:

$(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$

Аналогичное правило существует и для вычитания:

$(a - b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c$

Ответ: Чтобы умножить сумму на число, нужно умножить на это число каждое слагаемое и полученные произведения сложить. $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$.

917. Верно ли равенство? Ответ обоснуйте.

а) $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$;

б) $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{7} = \frac{3}{7} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3}$;

в) $\frac{2}{3} \cdot \left( \frac{1}{5} + \frac{3}{4} \right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5} + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}$;

г) $\left( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \right) \cdot 8 = \frac{1}{2} \cdot 8 + \frac{1}{4} \cdot 8$.

а) Чтобы проверить верность равенства $ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} $, вычислим значения левой и правой частей.

Левая часть: $ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6} $.

Правая часть: $ \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 2} = \frac{1}{6} $.

Так как $ \frac{1}{6} = \frac{1}{6} $, равенство верно. Это равенство является примером переместительного свойства умножения, согласно которому от перестановки множителей произведение не меняется ($a \cdot b = b \cdot a$).

Ответ: равенство верно.

б) Проверим равенство $ \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{7} = \frac{3}{7} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} $.

Вычислим левую часть: $ \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{7} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{4 \cdot 3 \cdot 7} = \frac{6}{84} $. Сократим дробь на 6: $ \frac{6 \div 6}{84 \div 6} = \frac{1}{14} $.

Вычислим правую часть: $ \frac{3}{7} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 1 \cdot 2}{7 \cdot 4 \cdot 3} = \frac{6}{84} = \frac{1}{14} $.

Левая и правая части равны ($ \frac{1}{14} = \frac{1}{14} $), следовательно, равенство верно. Здесь также применяется переместительное свойство умножения.

Ответ: равенство верно.

в) Проверим равенство $ \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{3}{4}\right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5} + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} $.

Вычислим левую часть. Сначала выполним сложение в скобках: $ \frac{1}{5} + \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4}{20} + \frac{3 \cdot 5}{20} = \frac{4+15}{20} = \frac{19}{20} $.

Теперь умножим: $ \frac{2}{3} \cdot \frac{19}{20} = \frac{2 \cdot 19}{3 \cdot 20} = \frac{1 \cdot 19}{3 \cdot 10} = \frac{19}{30} $.

Вычислим правую часть. Сначала выполним умножение: $ \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{15} $ и $ \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} $.

Теперь сложим результаты: $ \frac{2}{15} + \frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2}{30} + \frac{1 \cdot 15}{30} = \frac{4+15}{30} = \frac{19}{30} $.

Так как $ \frac{19}{30} = \frac{19}{30} $, равенство верно. Это равенство является примером распределительного свойства умножения относительно сложения ($a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$).

Ответ: равенство верно.

г) Проверим равенство $ \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right) \cdot 8 = \frac{1}{2} \cdot 8 + \frac{1}{4} \cdot 8 $.

Вычислим левую часть. Сначала выполним сложение в скобках: $ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $.

Теперь умножим: $ \frac{3}{4} \cdot 8 = \frac{3 \cdot 8}{4} = 3 \cdot 2 = 6 $.

Вычислим правую часть. Сначала выполним умножение: $ \frac{1}{2} \cdot 8 = \frac{8}{2} = 4 $ и $ \frac{1}{4} \cdot 8 = \frac{8}{4} = 2 $.

Теперь сложим результаты: $ 4 + 2 = 6 $.

Так как $ 6 = 6 $, равенство верно. Это также является примером распределительного свойства умножения относительно сложения ($(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$).

Ответ: равенство верно.

Вычислите, используя законы умножения (918–920).

918. а) $(54 \cdot \frac{13}{14}) \cdot \frac{7}{13};$

б) $(46 \cdot \frac{2}{15}) \cdot \frac{15}{23};$

в) $(\frac{12}{13} \cdot \frac{14}{17}) \cdot (\frac{17}{14} \cdot \frac{13}{24});$

г) $(\frac{5}{16} \cdot \frac{13}{18}) \cdot (\frac{18}{26} \cdot \frac{16}{25});$

д) $\frac{21}{22} \cdot (\frac{22}{23} \cdot \frac{24}{25}) \cdot \frac{23}{24};$

е) $\frac{32}{33} \cdot \frac{52}{53} \cdot (\frac{53}{52} \cdot \frac{33}{34}).$

а) $(54 \cdot \frac{13}{14}) \cdot \frac{7}{13}$

Чтобы упростить вычисление, воспользуемся сочетательным законом умножения $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ и перегруппируем множители так, чтобы сначала перемножить дроби:

$54 \cdot (\frac{13}{14} \cdot \frac{7}{13})$

Теперь выполним умножение дробей. Сократим 13 в числителе и знаменателе:

$\frac{13}{14} \cdot \frac{7}{13} = \frac{13 \cdot 7}{14 \cdot 13} = \frac{7}{14}$

Сократим дробь $\frac{7}{14}$ на 7:

$\frac{7}{14} = \frac{1}{2}$

Теперь умножим 54 на полученный результат:

$54 \cdot \frac{1}{2} = \frac{54}{2} = 27$

Ответ: 27

б) $(46 \cdot \frac{2}{15}) \cdot \frac{15}{23}$

Применим сочетательный закон умножения и сгруппируем дроби:

$46 \cdot (\frac{2}{15} \cdot \frac{15}{23})$

Выполним умножение дробей, сократив 15 в числителе и знаменателе:

$\frac{2}{15} \cdot \frac{15}{23} = \frac{2 \cdot 15}{15 \cdot 23} = \frac{2}{23}$

Теперь умножим 46 на полученную дробь:

$46 \cdot \frac{2}{23} = \frac{46 \cdot 2}{23}$

Сократим 46 и 23, так как $46 = 2 \cdot 23$:

$\frac{(2 \cdot 23) \cdot 2}{23} = 2 \cdot 2 = 4$

Ответ: 4

в) $(\frac{12}{13} \cdot \frac{14}{17}) \cdot (\frac{17}{14} \cdot \frac{13}{24})$

Используя сочетательный и переместительный законы умножения, мы можем раскрыть скобки и перегруппировать множители для удобства вычислений:

$(\frac{12}{13} \cdot \frac{13}{24}) \cdot (\frac{14}{17} \cdot \frac{17}{14})$

Вычислим произведение в первой паре скобок, сократив 13:

$\frac{12}{13} \cdot \frac{13}{24} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$

Вычислим произведение во второй паре скобок. Дроби являются взаимно обратными, поэтому их произведение равно 1:

$\frac{14}{17} \cdot \frac{17}{14} = 1$

Теперь перемножим полученные результаты:

$\frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

г) $(\frac{5}{16} \cdot \frac{13}{18}) \cdot (\frac{18}{26} \cdot \frac{16}{25})$

Раскроем скобки и перегруппируем множители, используя законы умножения, чтобы сгруппировать дроби с "удобными" числителями и знаменателями:

$(\frac{5}{16} \cdot \frac{16}{25}) \cdot (\frac{13}{18} \cdot \frac{18}{26})$

Вычислим произведение в первой группе, сократив 16:

$\frac{5}{16} \cdot \frac{16}{25} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$

Вычислим произведение во второй группе, сократив 18:

$\frac{13}{18} \cdot \frac{18}{26} = \frac{13}{26} = \frac{1}{2}$

Теперь перемножим полученные дроби:

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{10}$

Ответ: $\frac{1}{10}$

д) $\frac{21}{22} \cdot (\frac{22}{23} \cdot \frac{24}{25}) \cdot \frac{23}{24}$

Используя сочетательный и переместительный законы, мы можем убрать скобки и переставить множители для последовательного сокращения:

$\frac{21}{22} \cdot \frac{22}{23} \cdot \frac{23}{24} \cdot \frac{24}{25}$

Запишем все множители в виде одной дроби:

$\frac{21 \cdot 22 \cdot 23 \cdot 24}{22 \cdot 23 \cdot 24 \cdot 25}$

Теперь последовательно сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе (22, 23 и 24):

$\frac{21 \cdot \cancel{22} \cdot \cancel{23} \cdot \cancel{24}}{\cancel{22} \cdot \cancel{23} \cdot \cancel{24} \cdot 25} = \frac{21}{25}$

Ответ: $\frac{21}{25}$

е) $\frac{32}{33} \cdot \frac{52}{53} \cdot (\frac{53}{52} \cdot \frac{33}{34})$

Раскроем скобки и перегруппируем множители, применяя законы умножения:

$(\frac{32}{33} \cdot \frac{33}{34}) \cdot (\frac{52}{53} \cdot \frac{53}{52})$

Вычислим произведение в первой группе, сократив 33:

$\frac{32}{33} \cdot \frac{33}{34} = \frac{32}{34}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$\frac{32}{34} = \frac{16}{17}$

Вычислим произведение во второй группе. Дроби являются взаимно обратными, их произведение равно 1:

$\frac{52}{53} \cdot \frac{53}{52} = 1$

Наконец, перемножим полученные результаты:

$\frac{16}{17} \cdot 1 = \frac{16}{17}$

Ответ: $\frac{16}{17}$