Страница 196 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

882. Машинистка перепечатала третью часть рукописи, потом ещё 10 страниц. В результате она перепечатала половину всей рукописи. Сколько страниц в рукописи?

Пусть $x$ — общее количество страниц в рукописи.

Согласно условию, машинистка сначала перепечатала третью часть рукописи, что составляет $\frac{1}{3}x$ страниц.

Затем она перепечатала ещё 10 страниц. Таким образом, общее количество перепечатанных страниц стало равно $\frac{1}{3}x + 10$.

В результате она перепечатала половину всей рукописи, что составляет $\frac{1}{2}x$ страниц.

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв количество перепечатанных страниц к половине рукописи:

$\frac{1}{3}x + 10 = \frac{1}{2}x$

Для решения уравнения перенесём все слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числовые значения — в другую.

$10 = \frac{1}{2}x - \frac{1}{3}x$

Чтобы выполнить вычитание дробей, приведём их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 2 и 3 — это 6.

$10 = (\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3})x - (\frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2})x$

$10 = \frac{3}{6}x - \frac{2}{6}x$

$10 = \frac{1}{6}x$

Это означает, что 10 страниц составляют одну шестую часть всей рукописи. Чтобы найти общее количество страниц (целую рукопись), нужно умножить 10 на 6:

$x = 10 \cdot 6$

$x = 60$

Таким образом, в рукописи 60 страниц.

Проверка:

Треть от 60 страниц: $\frac{1}{3} \cdot 60 = 20$ страниц.

Прибавим ещё 10 страниц: $20 + 10 = 30$ страниц.

Половина от 60 страниц: $\frac{1}{2} \cdot 60 = 30$ страниц.

$30 = 30$. Результаты совпадают, следовательно, задача решена верно.

Ответ: 60 страниц.

883. Прохожий, догнавший другого, спросил: «Как далеко до деревни, которая у нас впереди?» Ответил другой прохожий: «Расстояние от той деревни, от которой ты идёшь, равно третьей части всего расстояния между деревнями, а если ещё пройдёшь 2 версты, тогда будешь ровно посередине между деревнями». Сколько вёрст осталось ещё идти первому прохожему?

882.

Обозначим общее количество страниц в рукописи через $x$.

1. Сначала машинистка перепечатала третью часть рукописи, что составляет $\frac{1}{3}x$ страниц.

2. Затем она перепечатала ещё 10 страниц. Общее количество перепечатанных страниц стало $\frac{1}{3}x + 10$.

3. По условию, это количество составляет половину всей рукописи, то есть $\frac{1}{2}x$.

4. Составим и решим уравнение:

$\frac{1}{3}x + 10 = \frac{1}{2}x$

Перенесём слагаемые с $x$ в одну сторону:

$10 = \frac{1}{2}x - \frac{1}{3}x$

Приведём дроби к общему знаменателю 6:

$10 = \frac{3}{6}x - \frac{2}{6}x$

$10 = \frac{1}{6}x$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 6:

$x = 10 \cdot 6$

$x = 60$

Таким образом, в рукописи было 60 страниц.

Проверка: Треть рукописи — это $60 / 3 = 20$ страниц. Если прибавить ещё 10 страниц, получится $20 + 10 = 30$ страниц. Это ровно половина от 60. Условие выполняется.

Ответ: 60 страниц.

883.

Обозначим всё расстояние между деревнями через $S$.

1. Из слов второго прохожего мы знаем, что расстояние от деревни, из которой идёт первый прохожий, до их текущего местоположения равно трети всего расстояния. То есть, они прошли $\frac{1}{3}S$.

2. Также нам известно, что если они пройдут ещё 2 версты, то окажутся ровно посередине между деревнями. Середина пути — это половина всего расстояния, то есть $\frac{1}{2}S$.

3. Составим уравнение, исходя из этих данных. Пройденный путь плюс ещё 2 версты равен половине всего пути:

$\frac{1}{3}S + 2 = \frac{1}{2}S$

4. Решим это уравнение, чтобы найти общее расстояние $S$:

$2 = \frac{1}{2}S - \frac{1}{3}S$

$2 = (\frac{3}{6} - \frac{2}{6})S$

$2 = \frac{1}{6}S$

$S = 2 \cdot 6 = 12$

Итак, общее расстояние между деревнями составляет 12 вёрст.

5. Вопрос задачи — сколько вёрст осталось ещё идти первому прохожему. На момент разговора он уже прошёл $\frac{1}{3}$ всего пути.

Пройденное расстояние: $\frac{1}{3} \cdot 12 = 4$ версты.

Оставшееся расстояние: $12 - 4 = 8$ вёрст.

Ответ: 8 вёрст.

884. Из книги «Косс» Адама Ризе (XVI в.). Трое выиграли некоторую сумму денег. На долю первого пришлась $\frac{1}{4}$ этой суммы, на долю второго $\frac{1}{7}$, а на долю третьего – 17 флоринов. Как велик весь выигрыш?

Пусть вся сумма выигрыша равна $x$ флоринов. Эту сумму примем за целое, то есть за 1.

Доля первого победителя составляет $\frac{1}{4}$ от всей суммы, а доля второго — $\frac{1}{7}$.

1. Найдем, какую часть выигрыша получили первые два победителя вместе. Для этого сложим их доли:

$\frac{1}{4} + \frac{1}{7}$

Приведем дроби к общему знаменателю 28:

$\frac{1 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{1 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{7}{28} + \frac{4}{28} = \frac{11}{28}$

Таким образом, первые два победителя получили $\frac{11}{28}$ всей суммы.

2. Теперь найдем, какая часть выигрыша досталась третьему победителю. Для этого из всей суммы (1) вычтем долю первых двух:

$1 - \frac{11}{28} = \frac{28}{28} - \frac{11}{28} = \frac{17}{28}$

Итак, доля третьего победителя составляет $\frac{17}{28}$ от всего выигрыша.

3. Из условия задачи известно, что третий победитель получил 17 флоринов. Это означает, что $\frac{17}{28}$ от всей суммы $x$ равны 17 флоринам. Составим уравнение:

$\frac{17}{28} \cdot x = 17$

4. Решим уравнение, чтобы найти $x$ (весь выигрыш). Чтобы найти число по его дроби, нужно значение этой дроби разделить на саму дробь:

$x = 17 \div \frac{17}{28} = 17 \cdot \frac{28}{17} = 28$

Весь выигрыш составляет 28 флоринов.

Проверка:

• Первый получил: $\frac{1}{4} \cdot 28 = 7$ флоринов.
• Второй получил: $\frac{1}{7} \cdot 28 = 4$ флорина.
• Третий получил: 17 флоринов.
• Общая сумма: $7 + 4 + 17 = 28$ флоринов. Результат верный.

Ответ: 28 флоринов.