Страница 190 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

Вычислите, используя законы сложения (848–854).

848. а) $13 + (15 + 12)$;

б) $21 + 7 + 23$;

в) $19 + (37 + 11)$;

г) $37 + 14 + 26$;

д) $2 + 7 + 8 + 3$;

е) $9 + 7 + 3 + 1$;

ж) $15 + 8 + 2 + 5$;

з) $13 + 14 + 7 + 6$.

а) В выражении $13 + (15 + 12)$ сначала выполним действие в скобках, согласно порядку действий: $15 + 12 = 27$. Затем выполним оставшееся сложение: $13 + 27 = 40$.
Ответ: 40

б) В выражении $21 + 7 + 23$ используем сочетательный закон сложения и сгруппируем слагаемые для удобства вычислений: $21 + (7 + 23) = 21 + 30 = 51$.
Ответ: 51

в) В выражении $19 + (37 + 11)$ используем сочетательный и переместительный законы сложения, чтобы сгруппировать слагаемые, дающие в сумме круглое число: $(19 + 11) + 37 = 30 + 37 = 67$.
Ответ: 67

г) В выражении $37 + 14 + 26$ сгруппируем второе и третье слагаемые, используя сочетательный закон сложения: $37 + (14 + 26) = 37 + 40 = 77$.
Ответ: 77

д) В выражении $2 + 7 + 8 + 3$ применим переместительный и сочетательный законы сложения, чтобы сгруппировать слагаемые, дающие в сумме 10: $(2 + 8) + (7 + 3) = 10 + 10 = 20$.
Ответ: 20

е) В выражении $9 + 7 + 3 + 1$ сгруппируем слагаемые, используя переместительный и сочетательный законы сложения, чтобы получить круглые числа: $(9 + 1) + (7 + 3) = 10 + 10 = 20$.
Ответ: 20

ж) В выражении $15 + 8 + 2 + 5$ переставим и сгруппируем слагаемые для удобства вычислений, используя законы сложения: $(15 + 5) + (8 + 2) = 20 + 10 = 30$.
Ответ: 30

з) В выражении $13 + 14 + 7 + 6$ сгруппируем слагаемые, которые в сумме дают круглые числа, используя законы сложения: $(13 + 7) + (14 + 6) = 20 + 20 = 40$.
Ответ: 40

849. a) $34 + 87 + 66;$

В) $371 + 483 + 629;$

Д) $4344 + 1256 + 744;$

Б) $25 + 97 + 75;$

Г) $631 + 783 + 369;$

Е) $1594 + 920 + 3080.$

а) $34 + 87 + 66$

Для удобства вычислений воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами сложения. Сгруппируем слагаемые $34$ и $66$, так как их сумма дает круглое число:

$(34 + 66) + 87$

Сначала выполним сложение в скобках:

$34 + 66 = 100$

Теперь к полученному результату прибавим оставшееся слагаемое:

$100 + 87 = 187$

Таким образом, $34 + 87 + 66 = 187$.

Ответ: $187$.

б) $25 + 97 + 75$

Сгруппируем слагаемые $25$ и $75$, так как их сумма дает круглое число:

$(25 + 75) + 97$

Выполним сложение в скобках:

$25 + 75 = 100$

Прибавим оставшееся слагаемое:

$100 + 97 = 197$

Таким образом, $25 + 97 + 75 = 197$.

Ответ: $197$.

в) $371 + 483 + 629$

Сгруппируем слагаемые $371$ и $629$, так как сумма их последних цифр ($1+9$) дает $10$, что упрощает вычисления:

$(371 + 629) + 483$

Выполним сложение в скобках:

$371 + 629 = 1000$

Прибавим оставшееся слагаемое:

$1000 + 483 = 1483$

Таким образом, $371 + 483 + 629 = 1483$.

Ответ: $1483$.

г) $631 + 783 + 369$

Сгруппируем слагаемые $631$ и $369$, так как сумма их последних цифр ($1+9$) дает $10$:

$(631 + 369) + 783$

Выполним сложение в скобках:

$631 + 369 = 1000$

Прибавим оставшееся слагаемое:

$1000 + 783 = 1783$

Таким образом, $631 + 783 + 369 = 1783$.

Ответ: $1783$.

д) $4344 + 1256 + 744$

Сгруппируем слагаемые $4344$ и $1256$, так как сумма их последних двух цифр ($44+56$) дает $100$:

$(4344 + 1256) + 744$

Выполним сложение в скобках:

$4344 + 1256 = 5600$

Прибавим оставшееся слагаемое:

$5600 + 744 = 6344$

Таким образом, $4344 + 1256 + 744 = 6344$.

Ответ: $6344$.

е) $1594 + 920 + 3080$

Сгруппируем слагаемые $920$ и $3080$, так как их легко сложить:

$1594 + (920 + 3080)$

Выполним сложение в скобках:

$920 + 3080 = 4000$

Прибавим оставшееся слагаемое:

$1594 + 4000 = 5594$

Таким образом, $1594 + 920 + 3080 = 5594$.

Ответ: $5594$.

850. а) $\frac{11}{48} + \frac{13}{48} + \frac{17}{48};$

б) $\frac{19}{55} + \frac{18}{55} + \frac{12}{55};$

в) $\frac{25}{64} + \frac{17}{64} + \frac{15}{64};$

г) $\frac{23}{69} + \frac{38}{69} + \frac{7}{69};$

д) $\frac{28}{43} + \frac{52}{43} + \frac{19}{43};$

е) $\frac{17}{45} + \frac{11}{45} + \frac{23}{45}.$

ж) $\frac{1}{45} + \frac{2}{45} + \frac{7}{45};$

з) $\frac{13}{44} + \frac{15}{44} + \frac{17}{44};$

и) $\frac{16}{77} + \frac{8}{77} + \frac{4}{77}.$

а) $ \frac{11}{48} + \frac{13}{48} + \frac{17}{48} $
Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.
$ \frac{11 + 13 + 17}{48} = \frac{24 + 17}{48} = \frac{41}{48} $.
Полученная дробь $ \frac{41}{48} $ является несократимой, так как у числителя и знаменателя нет общих делителей, кроме 1.
Ответ: $ \frac{41}{48} $.

б) $ \frac{19}{55} + \frac{18}{55} + \frac{12}{55} $
Складываем числители дробей, так как их знаменатели одинаковы:
$ \frac{19 + 18 + 12}{55} = \frac{37 + 12}{55} = \frac{49}{55} $.
Дробь $ \frac{49}{55} $ несократимая.
Ответ: $ \frac{49}{55} $.

в) $ \frac{25}{64} + \frac{17}{64} + \frac{15}{64} $
Складываем числители дробей с общим знаменателем 64:
$ \frac{25 + 17 + 15}{64} = \frac{42 + 15}{64} = \frac{57}{64} $.
Дробь $ \frac{57}{64} $ является несократимой.
Ответ: $ \frac{57}{64} $.

г) $ \frac{23}{69} + \frac{38}{69} + \frac{7}{69} $
Складываем числители, оставляя знаменатель без изменений:
$ \frac{23 + 38 + 7}{69} = \frac{61 + 7}{69} = \frac{68}{69} $.
Дробь $ \frac{68}{69} $ несократимая.
Ответ: $ \frac{68}{69} $.

д) $ \frac{28}{43} + \frac{52}{43} + \frac{19}{43} $
Складываем числители дробей:
$ \frac{28 + 52 + 19}{43} = \frac{80 + 19}{43} = \frac{99}{43} $.
Полученная дробь является неправильной (числитель больше знаменателя). Выделим целую часть:
$ 99 \div 43 = 2 $ (остаток $ 99 - 2 \times 43 = 99 - 86 = 13 $).
Таким образом, $ \frac{99}{43} = 2\frac{13}{43} $.
Ответ: $ 2\frac{13}{43} $.

е) $ \frac{17}{45} + \frac{11}{45} + \frac{23}{45} $
Складываем числители:
$ \frac{17 + 11 + 23}{45} = \frac{28 + 23}{45} = \frac{51}{45} $.
Дробь $ \frac{51}{45} $ можно сократить, так как и числитель, и знаменатель делятся на 3.
$ \frac{51 \div 3}{45 \div 3} = \frac{17}{15} $.
Это неправильная дробь. Выделим из нее целую часть:
$ 17 \div 15 = 1 $ (остаток $ 17 - 1 \times 15 = 2 $).
Следовательно, $ \frac{17}{15} = 1\frac{2}{15} $.
Ответ: $ 1\frac{2}{15} $.

ж) $ \frac{1}{45} + \frac{2}{45} + \frac{7}{45} $
Складываем числители дробей:
$ \frac{1 + 2 + 7}{45} = \frac{10}{45} $.
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 5:
$ \frac{10 \div 5}{45 \div 5} = \frac{2}{9} $.
Ответ: $ \frac{2}{9} $.

з) $ \frac{13}{44} + \frac{15}{44} + \frac{17}{44} $
Складываем числители, оставляя знаменатель прежним:
$ \frac{13 + 15 + 17}{44} = \frac{28 + 17}{44} = \frac{45}{44} $.
Так как это неправильная дробь, выделим целую часть:
$ 45 \div 44 = 1 $ (остаток $ 45 - 1 \times 44 = 1 $).
Значит, $ \frac{45}{44} = 1\frac{1}{44} $.
Ответ: $ 1\frac{1}{44} $.

и) $ \frac{16}{77} + \frac{8}{77} + \frac{4}{77} $
Складываем числители:
$ \frac{16 + 8 + 4}{77} = \frac{24 + 4}{77} = \frac{28}{77} $.
Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 28 и 77 это 7.
$ \frac{28 \div 7}{77 \div 7} = \frac{4}{11} $.
Ответ: $ \frac{4}{11} $.

851. а) $ \frac{17}{30} + \frac{28}{30} = \frac{15+2+28}{30} = ... $

б) $ \frac{29}{40} + \frac{37}{40}; $

в) $ \frac{58}{61} + \frac{45}{61}; $

г) $ \frac{257}{300} + \frac{199}{300}; $

д) $ \frac{379}{401} + \frac{127}{401}. $

а)

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, необходимо сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений. В примере показано разложение числителя первого слагаемого ($17 = 15 + 2$) для удобства устного счета.

$\frac{17}{30} + \frac{28}{30} = \frac{17+28}{30} = \frac{45}{30}$

Полученная дробь $\frac{45}{30}$ является неправильной (числитель больше знаменателя) и сократимой. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 15.

$\frac{45 \div 15}{30 \div 15} = \frac{3}{2}$

Теперь выделим целую часть из неправильной дроби. Для этого разделим числитель на знаменатель с остатком. Целая часть частного станет целой частью смешанного числа, остаток — числителем дробной части, а делитель — знаменателем.

$\frac{3}{2} = 1 \frac{1}{2}$

Ответ: $1 \frac{1}{2}$

б)

Складываем числители дробей, а знаменатель оставляем прежним.

$\frac{29}{40} + \frac{37}{40} = \frac{29+37}{40} = \frac{66}{40}$

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 66 и 40 равен 2.

$\frac{66 \div 2}{40 \div 2} = \frac{33}{20}$

Выделим целую часть из неправильной дроби.

$\frac{33}{20} = 1 \frac{13}{20}$

Ответ: $1 \frac{13}{20}$

в)

Складываем числители, знаменатель оставляем без изменений.

$\frac{58}{61} + \frac{45}{61} = \frac{58+45}{61} = \frac{103}{61}$

Знаменатель 61 является простым числом. Проверим, делится ли числитель 103 на 61. Деление без остатка невозможно, следовательно, дробь является несократимой. Выделим целую часть.

$103 \div 61 = 1$ и в остатке $103 - 61 = 42$.

$\frac{103}{61} = 1 \frac{42}{61}$

Ответ: $1 \frac{42}{61}$

г)

Складываем числители дробей.

$\frac{257}{300} + \frac{199}{300} = \frac{257+199}{300} = \frac{456}{300}$

Сократим полученную дробь. Найдем наибольший общий делитель для 456 и 300. Оба числа делятся на 12.

$\frac{456 \div 12}{300 \div 12} = \frac{38}{25}$

Выделим целую часть из дроби.

$\frac{38}{25} = 1 \frac{13}{25}$

Ответ: $1 \frac{13}{25}$

д)

Складываем числители дробей.

$\frac{379}{401} + \frac{127}{401} = \frac{379+127}{401} = \frac{506}{401}$

Число 401 является простым, а 506 на 401 не делится без остатка. Следовательно, дробь несократимая. Выделим целую часть.

$506 \div 401 = 1$ и в остатке $506 - 401 = 105$.

$\frac{506}{401} = 1 \frac{105}{401}$

Ответ: $1 \frac{105}{401}$

852. а) $\frac{1}{5} + \frac{8}{25} + \frac{7}{25};$

б) $\frac{1}{7} + \frac{2}{21} + \frac{3}{7};$

В) $\frac{1}{15} + \frac{2}{45} + \frac{7}{15};$

Г) $\frac{3}{49} + \frac{5}{7} + \frac{4}{49};$

Д) $\frac{7}{10} + \frac{2}{15} + \frac{11}{30};$

е) $\frac{1}{12} + \frac{1}{18} + \frac{1}{12}.$

а) Чтобы сложить дроби, необходимо привести их к общему знаменателю. Знаменатели дробей: 5, 25, 25. Наименьший общий знаменатель для этих чисел — 25. Приведем первую дробь к знаменателю 25, домножив числитель и знаменатель на 5.

$\frac{1}{5} + \frac{8}{25} + \frac{7}{25} = \frac{1 \cdot 5}{5 \cdot 5} + \frac{8}{25} + \frac{7}{25} = \frac{5}{25} + \frac{8}{25} + \frac{7}{25}$

Теперь сложим числители, а знаменатель оставим прежним:

$\frac{5 + 8 + 7}{25} = \frac{20}{25}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 5:

$\frac{20 \div 5}{25 \div 5} = \frac{4}{5}$

Ответ: $\frac{4}{5}$

б) Приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатели: 7, 21, 7. Наименьший общий знаменатель — 21. Домножим первую и третью дроби на 3.

$\frac{1}{7} + \frac{2}{21} + \frac{3}{7} = \frac{1 \cdot 3}{7 \cdot 3} + \frac{2}{21} + \frac{3 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{3}{21} + \frac{2}{21} + \frac{9}{21}$

Сложим числители:

$\frac{3 + 2 + 9}{21} = \frac{14}{21}$

Сократим дробь на 7:

$\frac{14 \div 7}{21 \div 7} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

в) Знаменатели дробей: 15, 45, 15. Наименьший общий знаменатель — 45. Домножим первую и третью дроби на 3.

$\frac{1}{15} + \frac{2}{45} + \frac{7}{15} = \frac{1 \cdot 3}{15 \cdot 3} + \frac{2}{45} + \frac{7 \cdot 3}{15 \cdot 3} = \frac{3}{45} + \frac{2}{45} + \frac{21}{45}$

Сложим числители:

$\frac{3 + 2 + 21}{45} = \frac{26}{45}$

Дробь $\frac{26}{45}$ является несократимой, так как у числителя и знаменателя нет общих делителей кроме 1.

Ответ: $\frac{26}{45}$

г) Знаменатели дробей: 49, 7, 49. Наименьший общий знаменатель — 49. Домножим вторую дробь на 7.

$\frac{3}{49} + \frac{5}{7} + \frac{4}{49} = \frac{3}{49} + \frac{5 \cdot 7}{7 \cdot 7} + \frac{4}{49} = \frac{3}{49} + \frac{35}{49} + \frac{4}{49}$

Сложим числители:

$\frac{3 + 35 + 4}{49} = \frac{42}{49}$

Сократим дробь на 7:

$\frac{42 \div 7}{49 \div 7} = \frac{6}{7}$

Ответ: $\frac{6}{7}$

д) Знаменатели дробей: 10, 15, 30. Наименьший общий знаменатель для этих чисел — 30. Домножим первую дробь на 3, а вторую на 2.

$\frac{7}{10} + \frac{2}{15} + \frac{11}{30} = \frac{7 \cdot 3}{10 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 2}{15 \cdot 2} + \frac{11}{30} = \frac{21}{30} + \frac{4}{30} + \frac{11}{30}$

Сложим числители:

$\frac{21 + 4 + 11}{30} = \frac{36}{30}$

Сократим дробь на 6:

$\frac{36 \div 6}{30 \div 6} = \frac{6}{5}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}$

Ответ: $1\frac{1}{5}$

е) Знаменатели дробей: 12, 18, 12. Найдем наименьший общий знаменатель для 12 и 18. Он равен 36. Домножим первую и третью дроби на 3, а вторую на 2.

$\frac{1}{12} + \frac{1}{18} + \frac{1}{12} = \frac{1 \cdot 3}{12 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{18 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{3}{36} + \frac{2}{36} + \frac{3}{36}$

Сложим числители:

$\frac{3 + 2 + 3}{36} = \frac{8}{36}$

Сократим дробь на 4:

$\frac{8 \div 4}{36 \div 4} = \frac{2}{9}$

Ответ: $\frac{2}{9}$

853. a) $\frac{31}{80} + \left( \frac{3}{16} + \frac{39}{80} \right)$;

б) $\frac{2}{45} + \left( \frac{3}{45} + \frac{7}{9} \right)$;

в) $\left( \frac{3}{7} + \frac{5}{14} \right) + \frac{1}{14}$;

г) $\frac{7}{15} + \left( \frac{2}{15} + \frac{1}{5} \right)$;

д) $\frac{3}{16} + \left( \frac{1}{16} + \frac{5}{8} \right)$;

е) $\left( \frac{1}{13} + \frac{1}{14} \right) + \frac{12}{13}$.

а) $\frac{31}{80} + (\frac{3}{16} + \frac{39}{80})$
Для удобства вычислений воспользуемся сочетательным свойством сложения и сгруппируем дроби с одинаковыми знаменателями:
$(\frac{31}{80} + \frac{39}{80}) + \frac{3}{16} = \frac{31+39}{80} + \frac{3}{16} = \frac{70}{80} + \frac{3}{16}$
Сократим первую дробь: $\frac{70}{80} = \frac{7}{8}$.
Теперь необходимо сложить дроби $\frac{7}{8}$ и $\frac{3}{16}$. Приведем их к общему знаменателю 16:
$\frac{7 \cdot 2}{8 \cdot 2} + \frac{3}{16} = \frac{14}{16} + \frac{3}{16} = \frac{14+3}{16} = \frac{17}{16}$
Выделим целую часть: $\frac{17}{16} = 1\frac{1}{16}$.
Ответ: $1\frac{1}{16}$.

б) $\frac{2}{45} + (\frac{3}{45} + \frac{7}{9})$
Сгруппируем дроби с одинаковым знаменателем:
$(\frac{2}{45} + \frac{3}{45}) + \frac{7}{9} = \frac{2+3}{45} + \frac{7}{9} = \frac{5}{45} + \frac{7}{9}$
Сократим первую дробь: $\frac{5}{45} = \frac{1}{9}$.
Теперь сложим дроби с одинаковым знаменателем:
$\frac{1}{9} + \frac{7}{9} = \frac{1+7}{9} = \frac{8}{9}$.
Ответ: $\frac{8}{9}$.

в) $(\frac{3}{7} + \frac{5}{14}) + \frac{1}{14}$
Используя сочетательное свойство сложения, перегруппируем слагаемые:
$\frac{3}{7} + (\frac{5}{14} + \frac{1}{14}) = \frac{3}{7} + \frac{5+1}{14} = \frac{3}{7} + \frac{6}{14}$
Сократим вторую дробь: $\frac{6}{14} = \frac{3}{7}$.
Сложим полученные дроби:
$\frac{3}{7} + \frac{3}{7} = \frac{3+3}{7} = \frac{6}{7}$.
Ответ: $\frac{6}{7}$.

г) $\frac{7}{15} + (\frac{2}{15} + \frac{1}{5})$
Сгруппируем дроби с одинаковым знаменателем:
$(\frac{7}{15} + \frac{2}{15}) + \frac{1}{5} = \frac{7+2}{15} + \frac{1}{5} = \frac{9}{15} + \frac{1}{5}$
Сократим первую дробь: $\frac{9}{15} = \frac{3}{5}$.
Теперь сложим дроби с одинаковым знаменателем:
$\frac{3}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3+1}{5} = \frac{4}{5}$.
Ответ: $\frac{4}{5}$.

д) $\frac{3}{16} + (\frac{1}{16} + \frac{5}{8})$
Сгруппируем дроби с одинаковым знаменателем:
$(\frac{3}{16} + \frac{1}{16}) + \frac{5}{8} = \frac{3+1}{16} + \frac{5}{8} = \frac{4}{16} + \frac{5}{8}$
Сократим первую дробь: $\frac{4}{16} = \frac{1}{4}$.
Теперь сложим $\frac{1}{4} + \frac{5}{8}$. Приведем дроби к общему знаменателю 8:
$\frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{5}{8} = \frac{2}{8} + \frac{5}{8} = \frac{2+5}{8} = \frac{7}{8}$.
Ответ: $\frac{7}{8}$.

е) $(\frac{1}{13} + \frac{1}{14}) + \frac{12}{13}$
Перегруппируем слагаемые, чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями:
$(\frac{1}{13} + \frac{12}{13}) + \frac{1}{14} = \frac{1+12}{13} + \frac{1}{14} = \frac{13}{13} + \frac{1}{14}$
Так как $\frac{13}{13} = 1$, получаем:
$1 + \frac{1}{14} = 1\frac{1}{14}$.
Ответ: $1\frac{1}{14}$.

854. a) $\frac{1}{27} + \frac{5}{9} + \frac{1}{3};$

б) $\frac{2}{9} + \frac{5}{6} + \frac{1}{18};$

в) $\frac{2}{15} + \frac{1}{5} + \frac{3}{10};$

г) $\frac{3}{8} + \frac{5}{12} + \frac{1}{24};$

Д) $\frac{1}{4} + \frac{3}{8} + \frac{5}{16};$

е) $\frac{5}{7} + \frac{3}{14} + \frac{1}{21};$

а) $ \frac{1}{27} + \frac{5}{9} + \frac{1}{3} $
Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их необходимо привести к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 27, 9 и 3. В данном случае НОК(27, 9, 3) = 27.
Приведем каждую дробь к знаменателю 27, умножив числитель и знаменатель на соответствующий дополнительный множитель:
Для $ \frac{5}{9} $ дополнительный множитель равен $27 \div 9 = 3$. Получаем $ \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} = \frac{15}{27} $.
Для $ \frac{1}{3} $ дополнительный множитель равен $27 \div 3 = 9$. Получаем $ \frac{1 \cdot 9}{3 \cdot 9} = \frac{9}{27} $.
Теперь сложим полученные дроби:
$ \frac{1}{27} + \frac{15}{27} + \frac{9}{27} = \frac{1 + 15 + 9}{27} = \frac{25}{27} $
Ответ: $ \frac{25}{27} $

б) $ \frac{2}{9} + \frac{5}{6} + \frac{1}{18} $
Найдем наименьший общий знаменатель для 9, 6 и 18. НОК(9, 6, 18) = 18.
Приведем дроби к знаменателю 18:
$ \frac{2}{9} = \frac{2 \cdot (18 \div 9)}{18} = \frac{2 \cdot 2}{18} = \frac{4}{18} $
$ \frac{5}{6} = \frac{5 \cdot (18 \div 6)}{18} = \frac{5 \cdot 3}{18} = \frac{15}{18} $
Теперь выполним сложение:
$ \frac{4}{18} + \frac{15}{18} + \frac{1}{18} = \frac{4 + 15 + 1}{18} = \frac{20}{18} $
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2, и выделим целую часть:
$ \frac{20}{18} = \frac{10}{9} = 1\frac{1}{9} $
Ответ: $ 1\frac{1}{9} $

в) $ \frac{2}{15} + \frac{1}{5} + \frac{3}{10} $
Найдем наименьший общий знаменатель для 15, 5 и 10. НОК(15, 5, 10) = 30.
Приведем дроби к знаменателю 30:
$ \frac{2 \cdot (30 \div 15)}{30} + \frac{1 \cdot (30 \div 5)}{30} + \frac{3 \cdot (30 \div 10)}{30} = \frac{2 \cdot 2}{30} + \frac{1 \cdot 6}{30} + \frac{3 \cdot 3}{30} $
Сложим числители:
$ \frac{4}{30} + \frac{6}{30} + \frac{9}{30} = \frac{4 + 6 + 9}{30} = \frac{19}{30} $
Ответ: $ \frac{19}{30} $

г) $ \frac{3}{8} + \frac{5}{12} + \frac{1}{24} $
Наименьший общий знаменатель для 8, 12 и 24 это 24, так как 24 делится на 8 и на 12.
Приведем дроби к знаменателю 24:
$ \frac{3 \cdot (24 \div 8)}{24} + \frac{5 \cdot (24 \div 12)}{24} + \frac{1}{24} = \frac{3 \cdot 3}{24} + \frac{5 \cdot 2}{24} + \frac{1}{24} $
Выполним сложение:
$ \frac{9}{24} + \frac{10}{24} + \frac{1}{24} = \frac{9 + 10 + 1}{24} = \frac{20}{24} $
Сократим полученную дробь на 4:
$ \frac{20 \div 4}{24 \div 4} = \frac{5}{6} $
Ответ: $ \frac{5}{6} $

д) $ \frac{1}{4} + \frac{3}{8} + \frac{5}{16} $
Наименьший общий знаменатель для 4, 8 и 16 это 16.
Приведем дроби к знаменателю 16:
$ \frac{1 \cdot (16 \div 4)}{16} + \frac{3 \cdot (16 \div 8)}{16} + \frac{5}{16} = \frac{1 \cdot 4}{16} + \frac{3 \cdot 2}{16} + \frac{5}{16} $
Сложим полученные дроби:
$ \frac{4}{16} + \frac{6}{16} + \frac{5}{16} = \frac{4 + 6 + 5}{16} = \frac{15}{16} $
Ответ: $ \frac{15}{16} $

е) $ \frac{5}{7} + \frac{3}{14} + \frac{1}{21} $
Найдем наименьший общий знаменатель для 7, 14 и 21. НОК(7, 14, 21) = 42.
Приведем дроби к знаменателю 42:
$ \frac{5 \cdot (42 \div 7)}{42} + \frac{3 \cdot (42 \div 14)}{42} + \frac{1 \cdot (42 \div 21)}{42} = \frac{5 \cdot 6}{42} + \frac{3 \cdot 3}{42} + \frac{1 \cdot 2}{42} $
Выполним сложение:
$ \frac{30}{42} + \frac{9}{42} + \frac{2}{42} = \frac{30 + 9 + 2}{42} = \frac{41}{42} $
Ответ: $ \frac{41}{42} $

855. Используя сочетательный закон сложения для натуральных чисел, проверьте равенство:

а) $ \left(\frac{3}{4} + \frac{1}{6}\right) + \frac{7}{12} = \frac{3}{4} + \left(\frac{1}{6} + \frac{7}{12}\right); $

б) $ \frac{7}{15} + \left(\frac{2}{9} + \frac{5}{6}\right) = \left(\frac{7}{15} + \frac{2}{9}\right) + \frac{5}{6}. $

Сочетательный закон сложения гласит, что для любых чисел a, b и c выполняется равенство (a + b) + c = a + (b + c). Это означает, что результат сложения не зависит от порядка расстановки скобок. Проверим это свойство для данных дробей, вычислив значения левой и правой частей каждого равенства.

а) $(\frac{3}{4} + \frac{1}{6}) + \frac{7}{12} = \frac{3}{4} + (\frac{1}{6} + \frac{7}{12})$

Вычислим значение левой части равенства:

1. Сначала выполним сложение в скобках. Для этого приведем дроби $\frac{3}{4}$ и $\frac{1}{6}$ к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 6 равен 12.

$\frac{3}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{9}{12} + \frac{2}{12} = \frac{11}{12}$

2. Теперь к полученному результату прибавим $\frac{7}{12}$:

$(\frac{3}{4} + \frac{1}{6}) + \frac{7}{12} = \frac{11}{12} + \frac{7}{12} = \frac{11+7}{12} = \frac{18}{12}$

3. Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 6:

$\frac{18}{12} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$

Теперь вычислим значение правой части равенства:

1. Сначала выполним сложение в скобках. Приведем дробь $\frac{1}{6}$ к знаменателю 12.

$\frac{1}{6} + \frac{7}{12} = \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{7}{12} = \frac{2}{12} + \frac{7}{12} = \frac{9}{12}$

2. Теперь к дроби $\frac{3}{4}$ прибавим полученный результат. Общий знаменатель - 12.

$\frac{3}{4} + (\frac{1}{6} + \frac{7}{12}) = \frac{3}{4} + \frac{9}{12} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{9}{12} = \frac{9}{12} + \frac{9}{12} = \frac{18}{12}$

3. Сократим дробь:

$\frac{18}{12} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$

Левая и правая части равенства равны: $1\frac{1}{2} = 1\frac{1}{2}$.

Ответ: равенство верно.

б) $\frac{7}{15} + (\frac{2}{9} + \frac{5}{6}) = (\frac{7}{15} + \frac{2}{9}) + \frac{5}{6}$

Вычислим значение левой части равенства:

1. Выполним сложение в скобках. Наименьший общий знаменатель для 9 и 6 равен 18.

$\frac{2}{9} + \frac{5}{6} = \frac{2 \cdot 2}{9 \cdot 2} + \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{4}{18} + \frac{15}{18} = \frac{19}{18}$

2. Теперь сложим $\frac{7}{15}$ и $\frac{19}{18}$. Наименьший общий знаменатель для 15 и 18 равен 90.

$\frac{7}{15} + (\frac{2}{9} + \frac{5}{6}) = \frac{7}{15} + \frac{19}{18} = \frac{7 \cdot 6}{15 \cdot 6} + \frac{19 \cdot 5}{18 \cdot 5} = \frac{42}{90} + \frac{95}{90} = \frac{137}{90} = 1\frac{47}{90}$

Теперь вычислим значение правой части равенства:

1. Выполним сложение в скобках. Наименьший общий знаменатель для 15 и 9 равен 45.

$\frac{7}{15} + \frac{2}{9} = \frac{7 \cdot 3}{15 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 5}{9 \cdot 5} = \frac{21}{45} + \frac{10}{45} = \frac{31}{45}$

2. Теперь сложим полученный результат и $\frac{5}{6}$. Наименьший общий знаменатель для 45 и 6 равен 90.

$(\frac{7}{15} + \frac{2}{9}) + \frac{5}{6} = \frac{31}{45} + \frac{5}{6} = \frac{31 \cdot 2}{45 \cdot 2} + \frac{5 \cdot 15}{6 \cdot 15} = \frac{62}{90} + \frac{75}{90} = \frac{137}{90} = 1\frac{47}{90}$

Левая и правая части равенства равны: $1\frac{47}{90} = 1\frac{47}{90}$.

Ответ: равенство верно.

856. Запишите переместительный закон сложения для чисел:

а) $ \frac{1}{7} $ и $ \frac{2}{7} $;

б) $ \frac{a}{5} $ и $ \frac{b}{5} $;

в) $ \frac{m}{n} $ и $ \frac{k}{n} $.

Переместительный закон сложения (также известный как коммутативный закон) гласит, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется. Для любых двух чисел $A$ и $B$ это можно записать в виде формулы: $A + B = B + A$.

Применим этот закон к заданным парам чисел.

а) Для чисел $\frac{1}{7}$ и $\frac{2}{7}$ переместительный закон сложения записывается так:

$\frac{1}{7} + \frac{2}{7} = \frac{2}{7} + \frac{1}{7}$

Чтобы убедиться в верности этого равенства, можно вычислить значение каждой из его частей:

Левая часть: $\frac{1}{7} + \frac{2}{7} = \frac{1+2}{7} = \frac{3}{7}$

Правая часть: $\frac{2}{7} + \frac{1}{7} = \frac{2+1}{7} = \frac{3}{7}$

Поскольку $\frac{3}{7} = \frac{3}{7}$, равенство верно.

Ответ: $\frac{1}{7} + \frac{2}{7} = \frac{2}{7} + \frac{1}{7}$.

б) Для чисел $\frac{a}{5}$ и $\frac{b}{5}$ переместительный закон сложения выглядит следующим образом:

$\frac{a}{5} + \frac{b}{5} = \frac{b}{5} + \frac{a}{5}$

Это равенство справедливо, поскольку при сложении дробей с одинаковыми знаменателями складываются их числители, а для числителей ($a$ и $b$) также выполняется переместительный закон сложения: $a+b=b+a$. Таким образом, $\frac{a+b}{5} = \frac{b+a}{5}$.

Ответ: $\frac{a}{5} + \frac{b}{5} = \frac{b}{5} + \frac{a}{5}$.

в) Для чисел $\frac{m}{n}$ и $\frac{k}{n}$ переместительный закон сложения записывается в общем виде:

$\frac{m}{n} + \frac{k}{n} = \frac{k}{n} + \frac{m}{n}$

Справедливость этого равенства следует из переместительного закона для числителей $m$ и $k$, так как $m+k=k+m$. Следовательно, $\frac{m+k}{n} = \frac{k+m}{n}$.

Ответ: $\frac{m}{n} + \frac{k}{n} = \frac{k}{n} + \frac{m}{n}$.