Страница 187 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

832. Сложите дроби:

а) $\frac{1}{2} + \frac{1}{3};$

б) $\frac{1}{2} + \frac{1}{5};$

в) $\frac{1}{3} + \frac{1}{4};$

г) $\frac{1}{4} + \frac{1}{5};$

д) $\frac{1}{2} + \frac{1}{4};$

е) $\frac{1}{3} + \frac{1}{6};$

ж) $\frac{1}{2} + \frac{1}{6};$

з) $\frac{1}{4} + \frac{1}{8}.$

а) Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Для дробей $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$ наименьшим общим знаменателем является 6. Приводим дроби к этому знаменателю: первую дробь домножаем на 3, а вторую на 2.
$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3+2}{6} = \frac{5}{6}$.
Ответ: $\frac{5}{6}$

б) Наименьший общий знаменатель для 2 и 5 - это 10. Домножаем первую дробь на 5, а вторую на 2.
$\frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} + \frac{1 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{5}{10} + \frac{2}{10} = \frac{5+2}{10} = \frac{7}{10}$.
Ответ: $\frac{7}{10}$

в) Наименьший общий знаменатель для 3 и 4 - это 12. Домножаем первую дробь на 4, а вторую на 3.
$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{4+3}{12} = \frac{7}{12}$.
Ответ: $\frac{7}{12}$

г) Наименьший общий знаменатель для 4 и 5 - это 20. Домножаем первую дробь на 5, а вторую на 4.
$\frac{1}{4} + \frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{1 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{5}{20} + \frac{4}{20} = \frac{5+4}{20} = \frac{9}{20}$.
Ответ: $\frac{9}{20}$

д) Наименьший общий знаменатель для 2 и 4 - это 4. Домножаем первую дробь на 2.
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2+1}{4} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$

е) Наименьший общий знаменатель для 3 и 6 - это 6. Домножаем первую дробь на 2.
$\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2+1}{6} = \frac{3}{6}$.
Сокращаем полученную дробь: $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

ж) Наименьший общий знаменатель для 2 и 6 - это 6. Домножаем первую дробь на 3.
$\frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3+1}{6} = \frac{4}{6}$.
Сокращаем полученную дробь: $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$

з) Наименьший общий знаменатель для 4 и 8 - это 8. Домножаем первую дробь на 2.
$\frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2+1}{8} = \frac{3}{8}$.
Ответ: $\frac{3}{8}$

Вычислите (833–836).

833. а) $\frac{1}{10} + \frac{7}{100}$;

б) $\frac{21}{100} + \frac{1}{10}$;

в) $\frac{3}{5} + \frac{9}{10}$;

г) $\frac{2}{3} + \frac{5}{6}$;

д) $\frac{15}{24} + \frac{3}{8}$;

е) $\frac{7}{6} + \frac{16}{18}$;

ж) $\frac{1}{12} + \frac{1}{6}$;

з) $\frac{1}{2} + \frac{3}{10}$.

а) Чтобы сложить дроби $\frac{1}{10}$ и $\frac{7}{100}$, их нужно привести к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 10 и 100 — это 100. Для первой дроби дополнительный множитель равен $100 \div 10 = 10$.

$\frac{1}{10} + \frac{7}{100} = \frac{1 \cdot 10}{10 \cdot 10} + \frac{7}{100} = \frac{10}{100} + \frac{7}{100} = \frac{10+7}{100} = \frac{17}{100}$.

Ответ: $\frac{17}{100}$.

б) Приведем дроби $\frac{21}{100}$ и $\frac{1}{10}$ к общему знаменателю 100. Дополнительный множитель для второй дроби равен $100 \div 10 = 10$.

$\frac{21}{100} + \frac{1}{10} = \frac{21}{100} + \frac{1 \cdot 10}{10 \cdot 10} = \frac{21}{100} + \frac{10}{100} = \frac{21+10}{100} = \frac{31}{100}$.

Ответ: $\frac{31}{100}$.

в) Найдем сумму дробей $\frac{3}{5}$ и $\frac{9}{10}$. Наименьший общий знаменатель для 5 и 10 — это 10. Дополнительный множитель для первой дроби: $10 \div 5 = 2$.

$\frac{3}{5} + \frac{9}{10} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} + \frac{9}{10} = \frac{6}{10} + \frac{9}{10} = \frac{6+9}{10} = \frac{15}{10}$.

Сократим полученную дробь на 5: $\frac{15}{10} = \frac{15 \div 5}{10 \div 5} = \frac{3}{2}$. Выделим целую часть: $\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$.

Ответ: $1\frac{1}{2}$.

г) Чтобы сложить $\frac{2}{3}$ и $\frac{5}{6}$, приведем их к общему знаменателю 6. Дополнительный множитель для первой дроби: $6 \div 3 = 2$.

$\frac{2}{3} + \frac{5}{6} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{5}{6} = \frac{4}{6} + \frac{5}{6} = \frac{4+5}{6} = \frac{9}{6}$.

Сократим дробь на 3: $\frac{9}{6} = \frac{9 \div 3}{6 \div 3} = \frac{3}{2}$. Представим в виде смешанного числа: $\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$.

Ответ: $1\frac{1}{2}$.

д) Вычислим сумму $\frac{15}{24} + \frac{3}{8}$. Наименьший общий знаменатель для 24 и 8 — это 24. Дополнительный множитель для второй дроби: $24 \div 8 = 3$.

$\frac{15}{24} + \frac{3}{8} = \frac{15}{24} + \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{15}{24} + \frac{9}{24} = \frac{15+9}{24} = \frac{24}{24} = 1$.

Ответ: $1$.

е) Сложим дроби $\frac{7}{6}$ и $\frac{16}{18}$. Общий знаменатель — 18. Дополнительный множитель для первой дроби: $18 \div 6 = 3$.

$\frac{7}{6} + \frac{16}{18} = \frac{7 \cdot 3}{6 \cdot 3} + \frac{16}{18} = \frac{21}{18} + \frac{16}{18} = \frac{21+16}{18} = \frac{37}{18}$.

Выделим целую часть: $\frac{37}{18} = 2\frac{1}{18}$.

Ответ: $2\frac{1}{18}$.

ж) Найдем сумму $\frac{1}{12} + \frac{1}{6}$. Общий знаменатель — 12. Дополнительный множитель для второй дроби: $12 \div 6 = 2$.

$\frac{1}{12} + \frac{1}{6} = \frac{1}{12} + \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{1}{12} + \frac{2}{12} = \frac{1+2}{12} = \frac{3}{12}$.

Сократим дробь на 3: $\frac{3}{12} = \frac{3 \div 3}{12 \div 3} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

з) Вычислим $\frac{1}{2} + \frac{3}{10}$. Общий знаменатель — 10. Дополнительный множитель для первой дроби: $10 \div 2 = 5$.

$\frac{1}{2} + \frac{3}{10} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} + \frac{3}{10} = \frac{5}{10} + \frac{3}{10} = \frac{5+3}{10} = \frac{8}{10}$.

Сократим дробь на 2: $\frac{8}{10} = \frac{8 \div 2}{10 \div 2} = \frac{4}{5}$.

Ответ: $\frac{4}{5}$.

834. а) $\frac{3}{36} + \frac{7}{9}$;

б) $\frac{2}{5} + \frac{3}{20}$;

В) $\frac{1}{6} + \frac{5}{12}$;

Г) $\frac{11}{49} + \frac{6}{7}$;

Д) $\frac{13}{24} + \frac{5}{8}$;

е) $\frac{3}{8} + \frac{6}{32}$;

ж) $\frac{6}{120} + \frac{3}{20}$;

з) $\frac{9}{16} + \frac{50}{100}$.

а) Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Для дробей $\frac{3}{36}$ и $\frac{7}{9}$ наименьшим общим знаменателем будет 36, так как 36 делится на 9 без остатка ($36 : 9 = 4$). Первую дробь оставляем без изменений, а вторую дробь домножаем на дополнительный множитель 4:
$\frac{3}{36} + \frac{7}{9} = \frac{3}{36} + \frac{7 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{3}{36} + \frac{28}{36} = \frac{3+28}{36} = \frac{31}{36}$.
Ответ: $\frac{31}{36}$

б) Найдем наименьший общий знаменатель для дробей $\frac{2}{5}$ и $\frac{3}{20}$. Это 20, так как 20 делится на 5 ($20 : 5 = 4$). Домножим первую дробь на 4:
$\frac{2}{5} + \frac{3}{20} = \frac{2 \cdot 4}{5 \cdot 4} + \frac{3}{20} = \frac{8}{20} + \frac{3}{20} = \frac{8+3}{20} = \frac{11}{20}$.
Ответ: $\frac{11}{20}$

в) Наименьший общий знаменатель для дробей $\frac{1}{6}$ и $\frac{5}{12}$ равен 12 ($12 : 6 = 2$). Домножим первую дробь на 2:
$\frac{1}{6} + \frac{5}{12} = \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{5}{12} = \frac{2}{12} + \frac{5}{12} = \frac{2+5}{12} = \frac{7}{12}$.
Ответ: $\frac{7}{12}$

г) Наименьший общий знаменатель для дробей $\frac{11}{49}$ и $\frac{6}{7}$ равен 49 ($49 : 7 = 7$). Домножим вторую дробь на 7:
$\frac{11}{49} + \frac{6}{7} = \frac{11}{49} + \frac{6 \cdot 7}{7 \cdot 7} = \frac{11}{49} + \frac{42}{49} = \frac{11+42}{49} = \frac{53}{49}$.
Ответ: $\frac{53}{49}$

д) Наименьший общий знаменатель для дробей $\frac{13}{24}$ и $\frac{5}{8}$ равен 24 ($24 : 8 = 3$). Домножим вторую дробь на 3:
$\frac{13}{24} + \frac{5}{8} = \frac{13}{24} + \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{13}{24} + \frac{15}{24} = \frac{13+15}{24} = \frac{28}{24}$.
Полученную дробь можно сократить. Наибольший общий делитель для 28 и 24 равен 4.
$\frac{28}{24} = \frac{28 \div 4}{24 \div 4} = \frac{7}{6}$.
Ответ: $\frac{7}{6}$

е) Наименьший общий знаменатель для дробей $\frac{3}{8}$ и $\frac{6}{32}$ равен 32 ($32 : 8 = 4$). Домножим первую дробь на 4:
$\frac{3}{8} + \frac{6}{32} = \frac{3 \cdot 4}{8 \cdot 4} + \frac{6}{32} = \frac{12}{32} + \frac{6}{32} = \frac{12+6}{32} = \frac{18}{32}$.
Сократим полученную дробь на 2:
$\frac{18}{32} = \frac{18 \div 2}{32 \div 2} = \frac{9}{16}$.
Ответ: $\frac{9}{16}$

ж) Наименьший общий знаменатель для дробей $\frac{6}{120}$ и $\frac{3}{20}$ равен 120 ($120 : 20 = 6$). Домножим вторую дробь на 6:
$\frac{6}{120} + \frac{3}{20} = \frac{6}{120} + \frac{3 \cdot 6}{20 \cdot 6} = \frac{6}{120} + \frac{18}{120} = \frac{6+18}{120} = \frac{24}{120}$.
Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 24 и 120 равен 24.
$\frac{24}{120} = \frac{24 \div 24}{120 \div 24} = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$

з) Сначала упростим вторую дробь $\frac{50}{100}$. Разделив числитель и знаменатель на 50, получим $\frac{1}{2}$. Теперь задача выглядит так: $\frac{9}{16} + \frac{1}{2}$.
Наименьший общий знаменатель для 16 и 2 равен 16 ($16 : 2 = 8$). Домножим вторую дробь на 8:
$\frac{9}{16} + \frac{1}{2} = \frac{9}{16} + \frac{1 \cdot 8}{2 \cdot 8} = \frac{9}{16} + \frac{8}{16} = \frac{9+8}{16} = \frac{17}{16}$.
Ответ: $\frac{17}{16}$

835. a) $\frac{1}{6} + \frac{1}{9}$;

б) $\frac{2}{9} + \frac{5}{6}$;

В) $\frac{2}{9} + \frac{3}{8}$;

Г) $\frac{2}{10} + \frac{6}{15}$;

Д) $\frac{3}{10} + \frac{2}{12}$;

е) $\frac{5}{12} + \frac{4}{15}$;

ж) $\frac{3}{4} + \frac{5}{18}$;

з) $\frac{2}{26} + \frac{3}{39}$;

и) $\frac{7}{34} + \frac{5}{51}$;

к) $\frac{4}{210} + \frac{5}{140}$;

л) $\frac{7}{450} + \frac{8}{180}$;

м) $\frac{9}{180} + \frac{7}{120}$;

а)

Чтобы сложить дроби $\frac{1}{6}$ и $\frac{1}{9}$, нужно найти их наименьший общий знаменатель (НОЗ). НОЗ равен наименьшему общему кратному (НОК) знаменателей 6 и 9.

НОК(6, 9) = 18.

Приведем дроби к знаменателю 18. Дополнительный множитель для первой дроби — $18 \div 6 = 3$, для второй — $18 \div 9 = 2$.

$\frac{1}{6} + \frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 3}{6 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{3}{18} + \frac{2}{18} = \frac{3+2}{18} = \frac{5}{18}$.

Ответ: $\frac{5}{18}$.

б)

Найдем наименьший общий знаменатель для дробей $\frac{2}{9}$ и $\frac{5}{6}$.

НОК(9, 6) = 18.

Умножим числитель и знаменатель первой дроби на $18 \div 9 = 2$, а второй — на $18 \div 6 = 3$.

$\frac{2}{9} + \frac{5}{6} = \frac{2 \cdot 2}{9 \cdot 2} + \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{4}{18} + \frac{15}{18} = \frac{4+15}{18} = \frac{19}{18}$.

Так как числитель больше знаменателя, выделим целую часть: $\frac{19}{18} = 1\frac{1}{18}$.

Ответ: $1\frac{1}{18}$.

в)

Для сложения дробей $\frac{2}{9}$ и $\frac{3}{8}$ найдем их общий знаменатель. Так как числа 9 и 8 взаимно простые, их НОК равен их произведению.

НОК(9, 8) = $9 \cdot 8 = 72$.

Приведем дроби к знаменателю 72.

$\frac{2}{9} + \frac{3}{8} = \frac{2 \cdot 8}{9 \cdot 8} + \frac{3 \cdot 9}{8 \cdot 9} = \frac{16}{72} + \frac{27}{72} = \frac{16+27}{72} = \frac{43}{72}$.

Ответ: $\frac{43}{72}$.

г)

В этом примере дроби $\frac{2}{10}$ и $\frac{6}{15}$ можно предварительно сократить.

$\frac{2}{10} = \frac{2 \div 2}{10 \div 2} = \frac{1}{5}$

$\frac{6}{15} = \frac{6 \div 3}{15 \div 3} = \frac{2}{5}$

Теперь сложим полученные дроби с одинаковыми знаменателями.

$\frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{1+2}{5} = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$.

д)

Сократим дробь $\frac{2}{12}$: $\frac{2}{12} = \frac{1}{6}$. Теперь нужно сложить $\frac{3}{10}$ и $\frac{1}{6}$.

Найдем общий знаменатель для 10 и 6. НОК(10, 6) = 30.

Приведем дроби к знаменателю 30.

$\frac{3}{10} + \frac{1}{6} = \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{9}{30} + \frac{5}{30} = \frac{9+5}{30} = \frac{14}{30}$.

Сократим полученную дробь: $\frac{14}{30} = \frac{14 \div 2}{30 \div 2} = \frac{7}{15}$.

Ответ: $\frac{7}{15}$.

е)

Для сложения $\frac{5}{12}$ и $\frac{4}{15}$ найдем НОК(12, 15).

Разложим на множители: $12 = 2^2 \cdot 3$, $15 = 3 \cdot 5$. НОК(12, 15) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.

Приведем дроби к знаменателю 60.

$\frac{5}{12} + \frac{4}{15} = \frac{5 \cdot 5}{12 \cdot 5} + \frac{4 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{25}{60} + \frac{16}{60} = \frac{25+16}{60} = \frac{41}{60}$.

Ответ: $\frac{41}{60}$.

ж)

Найдем наименьший общий знаменатель для дробей $\frac{3}{4}$ и $\frac{5}{18}$.

НОК(4, 18) = 36.

Приведем дроби к знаменателю 36.

$\frac{3}{4} + \frac{5}{18} = \frac{3 \cdot 9}{4 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 2}{18 \cdot 2} = \frac{27}{36} + \frac{10}{36} = \frac{27+10}{36} = \frac{37}{36}$.

Выделим целую часть: $\frac{37}{36} = 1\frac{1}{36}$.

Ответ: $1\frac{1}{36}$.

з)

Сначала сократим обе дроби: $\frac{2}{26} = \frac{1}{13}$ и $\frac{3}{39} = \frac{1}{13}$.

Теперь сложим полученные дроби.

$\frac{1}{13} + \frac{1}{13} = \frac{1+1}{13} = \frac{2}{13}$.

Ответ: $\frac{2}{13}$.

и)

Найдем общий знаменатель для $\frac{7}{34}$ и $\frac{5}{51}$.

Разложим знаменатели на множители: $34 = 2 \cdot 17$, $51 = 3 \cdot 17$.

НОК(34, 51) = $2 \cdot 3 \cdot 17 = 102$.

Приведем дроби к знаменателю 102.

$\frac{7}{34} + \frac{5}{51} = \frac{7 \cdot 3}{34 \cdot 3} + \frac{5 \cdot 2}{51 \cdot 2} = \frac{21}{102} + \frac{10}{102} = \frac{21+10}{102} = \frac{31}{102}$.

Ответ: $\frac{31}{102}$.

к)

Предварительно сократим дроби: $\frac{4}{210} = \frac{2}{105}$ и $\frac{5}{140} = \frac{1}{28}$.

Теперь сложим дроби $\frac{2}{105}$ и $\frac{1}{28}$. Найдем НОК(105, 28).

$105 = 3 \cdot 5 \cdot 7$, $28 = 2^2 \cdot 7$. НОК(105, 28) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 420$.

$\frac{2}{105} + \frac{1}{28} = \frac{2 \cdot 4}{105 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 15}{28 \cdot 15} = \frac{8}{420} + \frac{15}{420} = \frac{8+15}{420} = \frac{23}{420}$.

Ответ: $\frac{23}{420}$.

л)

Сократим дробь $\frac{8}{180}$ на 4: $\frac{8}{180} = \frac{2}{45}$.

Теперь сложим $\frac{7}{450}$ и $\frac{2}{45}$. Общий знаменатель — 450, так как 450 делится на 45.

Дополнительный множитель для второй дроби: $450 \div 45 = 10$.

$\frac{7}{450} + \frac{2 \cdot 10}{45 \cdot 10} = \frac{7}{450} + \frac{20}{450} = \frac{7+20}{450} = \frac{27}{450}$.

Сократим результат на 9: $\frac{27 \div 9}{450 \div 9} = \frac{3}{50}$.

Ответ: $\frac{3}{50}$.

м)

Сократим дробь $\frac{9}{180}$ на 9: $\frac{9}{180} = \frac{1}{20}$.

Складываем дроби $\frac{1}{20}$ и $\frac{7}{120}$. Общий знаменатель — 120.

Дополнительный множитель для первой дроби: $120 \div 20 = 6$.

$\frac{1 \cdot 6}{20 \cdot 6} + \frac{7}{120} = \frac{6}{120} + \frac{7}{120} = \frac{6+7}{120} = \frac{13}{120}$.

Ответ: $\frac{13}{120}$.

836. a) $ \frac{1}{4} + \frac{4}{7} + \frac{9}{28} $

б) $ \frac{1}{5} + \frac{3}{10} + \frac{7}{20} $

в) $ \frac{3}{20} + \frac{7}{30} + \frac{2}{40} $

г) $ \frac{17}{20} + \frac{23}{30} + \frac{11}{60} $

д) $ \frac{3}{20} + \frac{7}{30} + \frac{9}{50} $

е) $ \frac{7}{40} + \frac{11}{70} + \frac{13}{30} $

а) $\frac{1}{4} + \frac{4}{7} + \frac{9}{28}$

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 4, 7 и 28. НОК(4, 7, 28) = 28. Теперь приведем каждую дробь к знаменателю 28.

$\frac{1}{4} = \frac{1 \times 7}{4 \times 7} = \frac{7}{28}$

$\frac{4}{7} = \frac{4 \times 4}{7 \times 4} = \frac{16}{28}$

Третья дробь уже имеет знаменатель 28.

Теперь сложим полученные дроби:

$\frac{7}{28} + \frac{16}{28} + \frac{9}{28} = \frac{7 + 16 + 9}{28} = \frac{32}{28}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 4:

$\frac{32}{28} = \frac{32 \div 4}{28 \div 4} = \frac{8}{7}$

Выделим целую часть:

$\frac{8}{7} = 1\frac{1}{7}$

Ответ: $1\frac{1}{7}$.

б) $\frac{1}{5} + \frac{3}{10} + \frac{7}{20}$

Найдем наименьший общий знаменатель для 5, 10 и 20. НОК(5, 10, 20) = 20. Приведем дроби к этому знаменателю.

$\frac{1}{5} = \frac{1 \times 4}{5 \times 4} = \frac{4}{20}$

$\frac{3}{10} = \frac{3 \times 2}{10 \times 2} = \frac{6}{20}$

Теперь выполним сложение:

$\frac{4}{20} + \frac{6}{20} + \frac{7}{20} = \frac{4 + 6 + 7}{20} = \frac{17}{20}$

Дробь $\frac{17}{20}$ является несократимой, так как 17 - простое число.

Ответ: $\frac{17}{20}$.

в) $\frac{3}{20} + \frac{7}{30} + \frac{2}{40}$

Найдем наименьший общий знаменатель для 20, 30 и 40. Разложим знаменатели на простые множители:

$20 = 2 \times 2 \times 5 = 2^2 \times 5$

$30 = 2 \times 3 \times 5$

$40 = 2 \times 2 \times 2 \times 5 = 2^3 \times 5$

НОК(20, 30, 40) = $2^3 \times 3 \times 5 = 8 \times 3 \times 5 = 120$.

Приведем дроби к знаменателю 120:

$\frac{3}{20} = \frac{3 \times 6}{20 \times 6} = \frac{18}{120}$

$\frac{7}{30} = \frac{7 \times 4}{30 \times 4} = \frac{28}{120}$

$\frac{2}{40} = \frac{2 \times 3}{40 \times 3} = \frac{6}{120}$

Сложим дроби:

$\frac{18}{120} + \frac{28}{120} + \frac{6}{120} = \frac{18 + 28 + 6}{120} = \frac{52}{120}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:

$\frac{52 \div 4}{120 \div 4} = \frac{13}{30}$

Ответ: $\frac{13}{30}$.

г) $\frac{17}{20} + \frac{23}{30} + \frac{11}{60}$

Найдем наименьший общий знаменатель для 20, 30 и 60. НОК(20, 30, 60) = 60. Приведем дроби к знаменателю 60.

$\frac{17}{20} = \frac{17 \times 3}{20 \times 3} = \frac{51}{60}$

$\frac{23}{30} = \frac{23 \times 2}{30 \times 2} = \frac{46}{60}$

Сложим дроби:

$\frac{51}{60} + \frac{46}{60} + \frac{11}{60} = \frac{51 + 46 + 11}{60} = \frac{108}{60}$

Сократим дробь. Наибольший общий делитель для 108 и 60 равен 12.

$\frac{108 \div 12}{60 \div 12} = \frac{9}{5}$

Выделим целую часть:

$\frac{9}{5} = 1\frac{4}{5}$

Ответ: $1\frac{4}{5}$.

д) $\frac{3}{20} + \frac{7}{30} + \frac{9}{50}$

Найдем наименьший общий знаменатель для 20, 30 и 50. Разложим знаменатели на простые множители:

$20 = 2^2 \times 5$

$30 = 2 \times 3 \times 5$

$50 = 2 \times 5^2$

НОК(20, 30, 50) = $2^2 \times 3 \times 5^2 = 4 \times 3 \times 25 = 300$.

Приведем дроби к знаменателю 300:

$\frac{3}{20} = \frac{3 \times 15}{20 \times 15} = \frac{45}{300}$

$\frac{7}{30} = \frac{7 \times 10}{30 \times 10} = \frac{70}{300}$

$\frac{9}{50} = \frac{9 \times 6}{50 \times 6} = \frac{54}{300}$

Сложим дроби:

$\frac{45}{300} + \frac{70}{300} + \frac{54}{300} = \frac{45 + 70 + 54}{300} = \frac{169}{300}$

Дробь $\frac{169}{300}$ несократима, так как $169 = 13^2$, а 300 не делится на 13.

Ответ: $\frac{169}{300}$.

е) $\frac{7}{40} + \frac{11}{70} + \frac{13}{30}$

Найдем наименьший общий знаменатель для 40, 70 и 30. Разложим знаменатели на простые множители:

$40 = 2^3 \times 5$

$70 = 2 \times 5 \times 7$

$30 = 2 \times 3 \times 5$

НОК(40, 70, 30) = $2^3 \times 3 \times 5 \times 7 = 8 \times 3 \times 5 \times 7 = 840$.

Приведем дроби к знаменателю 840:

$\frac{7}{40} = \frac{7 \times 21}{40 \times 21} = \frac{147}{840}$

$\frac{11}{70} = \frac{11 \times 12}{70 \times 12} = \frac{132}{840}$

$\frac{13}{30} = \frac{13 \times 28}{30 \times 28} = \frac{364}{840}$

Сложим дроби:

$\frac{147}{840} + \frac{132}{840} + \frac{364}{840} = \frac{147 + 132 + 364}{840} = \frac{643}{840}$

Проверим, можно ли сократить дробь. Число 643 является простым, поэтому дробь несократима.

Ответ: $\frac{643}{840}$.

837. Запишите дробь в виде суммы двух дробей:

а) $\frac{3}{5}$;

б) $\frac{7}{9}$;

в) $\frac{5}{7}$;

г) $\frac{3}{10}$.

Чтобы представить дробь в виде суммы двух дробей, нужно её числитель представить в виде суммы двух слагаемых, а знаменатель оставить прежним. Для каждого случая существует множество правильных ответов, здесь приведен один из возможных вариантов.

а) Представим числитель дроби $\frac{3}{5}$, равный 3, в виде суммы двух чисел. Например, $3 = 1 + 2$. Тогда дробь можно записать так:

$\frac{3}{5} = \frac{1+2}{5} = \frac{1}{5} + \frac{2}{5}$

Проверка: $\frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{1+2}{5} = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5} + \frac{2}{5}$.

б) Представим числитель дроби $\frac{7}{9}$, равный 7, в виде суммы двух слагаемых. Например, $7 = 3 + 4$. Тогда:

$\frac{7}{9} = \frac{3+4}{9} = \frac{3}{9} + \frac{4}{9}$

Проверка: $\frac{3}{9} + \frac{4}{9} = \frac{3+4}{9} = \frac{7}{9}$.

Ответ: $\frac{3}{9} + \frac{4}{9}$.

в) Представим числитель дроби $\frac{5}{7}$, равный 5, в виде суммы двух чисел. Например, $5 = 2 + 3$. Тогда дробь можно записать так:

$\frac{5}{7} = \frac{2+3}{7} = \frac{2}{7} + \frac{3}{7}$

Проверка: $\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{2+3}{7} = \frac{5}{7}$.

Ответ: $\frac{2}{7} + \frac{3}{7}$.

г) Для дроби $\frac{3}{10}$ представим ее числитель (3) в виде суммы двух чисел. Возьмем $3 = 1 + 2$. Получим:

$\frac{3}{10} = \frac{1+2}{10} = \frac{1}{10} + \frac{2}{10}$

Проверка: $\frac{1}{10} + \frac{2}{10} = \frac{1+2}{10} = \frac{3}{10}$.

Ответ: $\frac{1}{10} + \frac{2}{10}$.

838. Подберите дробь, которая в сумме с данной дробью даёт 1:

а) $ \frac{1}{3} $;

б) $ \frac{2}{7} $;

в) $ \frac{5}{9} $;

г) $ \frac{8}{13} $;

д) $ \frac{5}{41} $;

е) $ \frac{13}{27} $.

Чтобы найти дробь, которая в сумме с данной дробью даёт 1, нужно из 1 вычесть данную дробь. Общий принцип: если дана дробь $\frac{a}{b}$, то искомая дробь, дополняющая её до 1, будет равна $1 - \frac{a}{b}$. Представив 1 как $\frac{b}{b}$, получаем: $\frac{b}{b} - \frac{a}{b} = \frac{b-a}{b}$.

а) Для дроби $\frac{1}{3}$ искомая дробь равна $1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{3-1}{3} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

б) Для дроби $\frac{2}{7}$ искомая дробь равна $1 - \frac{2}{7} = \frac{7}{7} - \frac{2}{7} = \frac{7-2}{7} = \frac{5}{7}$.
Ответ: $\frac{5}{7}$.

в) Для дроби $\frac{5}{9}$ искомая дробь равна $1 - \frac{5}{9} = \frac{9}{9} - \frac{5}{9} = \frac{9-5}{9} = \frac{4}{9}$.
Ответ: $\frac{4}{9}$.

г) Для дроби $\frac{8}{13}$ искомая дробь равна $1 - \frac{8}{13} = \frac{13}{13} - \frac{8}{13} = \frac{13-8}{13} = \frac{5}{13}$.
Ответ: $\frac{5}{13}$.

д) Для дроби $\frac{5}{41}$ искомая дробь равна $1 - \frac{5}{41} = \frac{41}{41} - \frac{5}{41} = \frac{41-5}{41} = \frac{36}{41}$.
Ответ: $\frac{36}{41}$.

е) Для дроби $\frac{13}{27}$ искомая дробь равна $1 - \frac{13}{27} = \frac{27}{27} - \frac{13}{27} = \frac{27-13}{27} = \frac{14}{27}$.
Ответ: $\frac{14}{27}$.

839. Сложите дроби, предварительно сократив их:

а) $\frac{6}{15} + \frac{5}{25} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 3} + \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5} = \frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$;

б) $\frac{10}{16} + \frac{3}{24}$;

в) $\frac{30}{45} + \frac{8}{36}$;

г) $\frac{60}{120} + \frac{75}{150}$;

д) $\frac{24}{360} + \frac{16}{480}$.

б) Первый шаг - сократить каждую дробь. Для дроби $\frac{10}{16}$ наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя равен 2, поэтому:
$\frac{10}{16} = \frac{10 \div 2}{16 \div 2} = \frac{5}{8}$.
Для дроби $\frac{3}{24}$ наибольший общий делитель равен 3:
$\frac{3}{24} = \frac{3 \div 3}{24 \div 3} = \frac{1}{8}$.
Второй шаг - сложить полученные дроби. Так как у них одинаковый знаменатель, складываем числители:
$\frac{5}{8} + \frac{1}{8} = \frac{5+1}{8} = \frac{6}{8}$.
Третий шаг - сократить результат. Наибольший общий делитель для 6 и 8 равен 2:
$\frac{6}{8} = \frac{6 \div 2}{8 \div 2} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$

в) Сначала сократим дроби. Для $\frac{30}{45}$ НОД(30, 45) = 15:
$\frac{30}{45} = \frac{30 \div 15}{45 \div 15} = \frac{2}{3}$.
Для $\frac{8}{36}$ НОД(8, 36) = 4:
$\frac{8}{36} = \frac{8 \div 4}{36 \div 4} = \frac{2}{9}$.
Теперь сложим дроби $\frac{2}{3}$ и $\frac{2}{9}$. Наименьший общий знаменатель для них - 9. Приведем первую дробь к этому знаменателю:
$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{6}{9}$.
Выполним сложение:
$\frac{6}{9} + \frac{2}{9} = \frac{6+2}{9} = \frac{8}{9}$.
Ответ: $\frac{8}{9}$

г) Сократим каждую дробь перед сложением.
$\frac{60}{120} = \frac{60 \div 60}{120 \div 60} = \frac{1}{2}$.
$\frac{75}{150} = \frac{75 \div 75}{150 \div 75} = \frac{1}{2}$.
Сложим полученные дроби:
$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1+1}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
Ответ: $1$

д) Сначала сократим дроби. Для $\frac{24}{360}$ НОД(24, 360) = 24:
$\frac{24}{360} = \frac{24 \div 24}{360 \div 24} = \frac{1}{15}$.
Для $\frac{16}{480}$ НОД(16, 480) = 16:
$\frac{16}{480} = \frac{16 \div 16}{480 \div 16} = \frac{1}{30}$.
Теперь сложим дроби $\frac{1}{15}$ и $\frac{1}{30}$. Наименьший общий знаменатель равен 30. Приведем первую дробь к этому знаменателю:
$\frac{1}{15} + \frac{1}{30} = \frac{1 \cdot 2}{15 \cdot 2} + \frac{1}{30} = \frac{2}{30} + \frac{1}{30} = \frac{2+1}{30} = \frac{3}{30}$.
Сократим полученный результат. НОД(3, 30) = 3:
$\frac{3}{30} = \frac{3 \div 3}{30 \div 3} = \frac{1}{10}$.
Ответ: $\frac{1}{10}$