Страница 182 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

804. a) Как сравнивают дроби с общим знаменателем?

б) Как сравнивают дроби с разными знаменателями?

а) Как сравнивают дроби с общим знаменателем?

Чтобы сравнить две дроби с одинаковыми (общими) знаменателями, нужно сравнить их числители. Та дробь будет больше, у которой числитель больше. И наоборот, та дробь будет меньше, у которой числитель меньше.

Если есть две дроби $\frac{a}{c}$ и $\frac{b}{c}$, то:

• если $a > b$, то $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$
• если $a < b$, то $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$
• если $a = b$, то $\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$

Например: Сравним дроби $\frac{5}{8}$ и $\frac{3}{8}$.

Знаменатели у дробей одинаковы и равны 8. Сравниваем числители: $5 > 3$. Следовательно, дробь $\frac{5}{8}$ больше, чем дробь $\frac{3}{8}$.

Запись: так как $5 > 3$, то $\frac{5}{8} > \frac{3}{8}$.

Ответ: Из двух дробей с общим знаменателем больше та, у которой числитель больше.

б) Как сравнивают дроби с разными знаменателями?

Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, их необходимо сначала привести к общему знаменателю, а затем сравнить как дроби с одинаковыми знаменателями (сравнить их новые числители).

Алгоритм сравнения дробей с разными знаменателями:

1. Найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей данных дробей. Это будет их наименьший общий знаменатель.
2. Для каждой дроби найти дополнительный множитель. Для этого общий знаменатель нужно разделить на знаменатель соответствующей дроби.
3. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.
4. Сравнить полученные дроби с одинаковыми знаменателями по правилу из пункта а).

Например: Сравним дроби $\frac{3}{4}$ и $\frac{5}{6}$.

1. Находим НОК знаменателей 4 и 6. $НОК(4, 6) = 12$. Это будет общий знаменатель.
2. Находим дополнительные множители: для дроби $\frac{3}{4}$ это $12 \div 4 = 3$; для дроби $\frac{5}{6}$ это $12 \div 6 = 2$.
3. Приводим дроби к общему знаменателю:
   $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}$
   $\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{10}{12}$
4. Теперь сравниваем полученные дроби $\frac{9}{12}$ и $\frac{10}{12}$. Так как знаменатели одинаковы, сравниваем числители: $9 < 10$.

Следовательно, $\frac{9}{12} < \frac{10}{12}$, а значит $\frac{3}{4} < \frac{5}{6}$.

Ответ: Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, нужно привести их к общему знаменателю и затем сравнить числители получившихся дробей.

805. а) Какую дробь называют правильной?

б) Какую дробь называют неправильной?

а)

Правильной дробью называют такую обыкновенную дробь, у которой числитель (число, стоящее над чертой дроби) меньше знаменателя (числа, стоящего под чертой дроби). Значение любой правильной дроби всегда меньше 1.

Математически для дроби вида $ \frac{a}{b} $, где $a$ – числитель, а $b$ – знаменатель, условие правильной дроби выглядит так: $ a < b $.

Примеры правильных дробей: $ \frac{3}{4} $ (3 < 4), $ \frac{1}{2} $ (1 < 2), $ \frac{99}{100} $ (99 < 100).

Ответ: Дробь называют правильной, если её числитель меньше знаменателя.

б)

Неправильной дробью называют такую обыкновенную дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Значение любой неправильной дроби всегда больше или равно 1.

Математически для дроби вида $ \frac{a}{b} $, где $a$ – числитель, а $b$ – знаменатель, условие неправильной дроби выглядит так: $ a \ge b $.

Примеры неправильных дробей: $ \frac{5}{2} $ (5 > 2), $ \frac{10}{3} $ (10 > 3), $ \frac{7}{7} $ (7 = 7).

Ответ: Дробь называют неправильной, если её числитель больше или равен знаменателю.

806. Сравните:

а) правильную дробь с 1;

б) неправильную дробь с 1;

в) правильную дробь с неправильной.

а) правильную дробь с 1

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Пусть дана произвольная правильная дробь $\frac{a}{b}$. По определению, это означает, что числитель $a$ меньше знаменателя $b$ (при условии, что $a$ и $b$ — натуральные числа), то есть $a < b$.

Чтобы сравнить дробь $\frac{a}{b}$ с числом 1, представим 1 в виде дроби с таким же знаменателем $b$: $1 = \frac{b}{b}$.

Теперь нам нужно сравнить две дроби с одинаковыми знаменателями: $\frac{a}{b}$ и $\frac{b}{b}$. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями та меньше, у которой меньше числитель. Поскольку по определению правильной дроби $a < b$, то $\frac{a}{b} < \frac{b}{b}$.

Следовательно, $\frac{a}{b} < 1$.

Ответ: любая правильная дробь меньше 1.

б) неправильную дробь с 1

Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. Пусть дана произвольная неправильная дробь $\frac{c}{d}$. По определению, это означает, что числитель $c$ больше или равен знаменателю $d$ (при условии, что $c$ и $d$ — натуральные числа), то есть $c \ge d$.

Сравним дробь $\frac{c}{d}$ с числом 1, представив 1 в виде дроби со знаменателем $d$: $1 = \frac{d}{d}$.

Сравниваем две дроби с одинаковыми знаменателями: $\frac{c}{d}$ и $\frac{d}{d}$. Так как $c \ge d$, то дробь $\frac{c}{d}$ больше или равна дроби $\frac{d}{d}$.

Следовательно, $\frac{c}{d} \ge 1$. Равенство единице достигается в случае, когда числитель равен знаменателю (например, $\frac{5}{5} = 1$). Если числитель строго больше знаменателя, то дробь больше единицы (например, $\frac{7}{5} > 1$).

Ответ: любая неправильная дробь больше или равна 1.

в) правильную дробь с неправильной

Чтобы сравнить правильную и неправильную дроби, воспользуемся выводами из предыдущих пунктов и числом 1 как промежуточным значением для сравнения.

Пусть у нас есть правильная дробь $\frac{a}{b}$ и неправильная дробь $\frac{c}{d}$.

Из пункта а) мы знаем, что любая правильная дробь меньше 1: $\frac{a}{b} < 1$.

Из пункта б) мы знаем, что любая неправильная дробь больше или равна 1: $\frac{c}{d} \ge 1$.

Таким образом, мы можем составить цепочку неравенств: $\frac{a}{b} < 1 \le \frac{c}{d}$.

Из этой цепочки напрямую следует, что $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$.

Ответ: любая правильная дробь меньше любой неправильной дроби.

807. С помощью рисунка 161 объясните, почему $\frac{3}{4} > \frac{1}{4}$, $\frac{1}{2} < \frac{3}{4}$.

Рис. 161

808. Постройте отрезок $AB = 12$ см. Отметьте на $AB$ точку $C$ так, чтобы:

a) $AC = \frac{1}{4}AB$;

б) $AC = \frac{1}{6}AB$.

Сравните длины отрезков $AB$ и $AC$, $BC$ и $AC$, $BC$ и $AB$.

По условию задачи дан отрезок $AB = 12$ см. Точка $C$ лежит на этом отрезке, а значит, сумма длин отрезков $AC$ и $BC$ равна длине отрезка $AB$. Это можно записать формулой: $AB = AC + BC$. Из этой формулы мы можем выразить длину отрезка $BC$: $BC = AB - AC$.

а)

По условию этого пункта, длина отрезка $AC$ составляет $\frac{1}{4}$ от длины отрезка $AB$. Найдем длину $AC$:

$AC = \frac{1}{4}AB = \frac{1}{4} \times 12 = 3$ см.

Теперь, зная длину $AC$, мы можем найти длину отрезка $BC$:

$BC = AB - AC = 12 - 3 = 9$ см.

Далее проведем сравнение длин отрезков:

Сравнение $AB$ и $AC$: так как $12$ см $> 3$ см, то $AB > AC$.
Сравнение $BC$ и $AC$: так как $9$ см $> 3$ см, то $BC > AC$.
Сравнение $BC$ и $AB$: так как $9$ см $< 12$ см, то $BC < AB$.

Ответ: $AC = 3$ см, $BC = 9$ см; $AB > AC$, $BC > AC$, $BC < AB$.

б)

По условию этого пункта, длина отрезка $AC$ составляет $\frac{1}{6}$ от длины отрезка $AB$. Найдем длину $AC$:

$AC = \frac{1}{6}AB = \frac{1}{6} \times 12 = 2$ см.

Теперь, зная длину $AC$, мы можем найти длину отрезка $BC$:

$BC = AB - AC = 12 - 2 = 10$ см.

Далее проведем сравнение длин отрезков:

Сравнение $AB$ и $AC$: так как $12$ см $> 2$ см, то $AB > AC$.
Сравнение $BC$ и $AC$: так как $10$ см $> 2$ см, то $BC > AC$.
Сравнение $BC$ и $AB$: так как $10$ см $< 12$ см, то $BC < AB$.

Ответ: $AC = 2$ см, $BC = 10$ см; $AB > AC$, $BC > AC$, $BC < AB$.

809. Сравните дроби и результат сравнения запишите с помощью знака > или <:

а) $ \frac{1}{5} $ и $ \frac{4}{5} $;

б) $ \frac{2}{7} $ и $ \frac{1}{7} $;

в) $ \frac{7}{15} $ и $ \frac{8}{15} $;

г) $ \frac{7}{81} $ и $ \frac{6}{81} $;

д) $ \frac{27}{100} $ и $ \frac{33}{100} $;

е) $ \frac{1700}{1995} $ и $ \frac{1800}{1995} $.

Чтобы сравнить две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сравнить их числители. Большей будет та дробь, у которой числитель больше, и меньшей та, у которой числитель меньше.

а) Сравниваем дроби $\frac{1}{5}$ и $\frac{4}{5}$. Знаменатели дробей одинаковы и равны 5. Сравниваем числители: 1 и 4. Так как $1 < 4$, то и первая дробь меньше второй.
Ответ: $\frac{1}{5} < \frac{4}{5}$

б) Сравниваем дроби $\frac{2}{7}$ и $\frac{1}{7}$. Знаменатели дробей одинаковы и равны 7. Сравниваем числители: 2 и 1. Поскольку $2 > 1$, то первая дробь больше второй.
Ответ: $\frac{2}{7} > \frac{1}{7}$

в) Сравниваем дроби $\frac{7}{15}$ и $\frac{8}{15}$. Знаменатели у этих дробей одинаковы и равны 15. Сравниваем их числители: 7 и 8. Так как $7 < 8$, то и дробь $\frac{7}{15}$ меньше дроби $\frac{8}{15}$.
Ответ: $\frac{7}{15} < \frac{8}{15}$

г) Сравниваем дроби $\frac{7}{81}$ и $\frac{6}{81}$. Знаменатели дробей одинаковы и равны 81. Сравниваем числители: 7 и 6. Поскольку $7 > 6$, первая дробь больше второй.
Ответ: $\frac{7}{81} > \frac{6}{81}$

д) Сравниваем дроби $\frac{27}{100}$ и $\frac{33}{100}$. Знаменатели этих дробей одинаковы и равны 100. Сравниваем числители: 27 и 33. Так как $27 < 33$, то и первая дробь меньше второй.
Ответ: $\frac{27}{100} < \frac{33}{100}$

е) Сравниваем дроби $\frac{1700}{1995}$ и $\frac{1800}{1995}$. Знаменатели дробей одинаковы и равны 1995. Сравниваем числители: 1700 и 1800. Поскольку $1700 < 1800$, то и дробь $\frac{1700}{1995}$ меньше дроби $\frac{1800}{1995}$.
Ответ: $\frac{1700}{1995} < \frac{1800}{1995}$

810. Сравните дроби и результат сравнения запишите с помощью знаков $=$ и $\ne$:

а) $\frac{3}{5}$ и $\frac{16}{10}$;

б) $\frac{2}{3}$ и $\frac{16}{21}$;

в) $\frac{7}{5}$ и $\frac{27}{20}$;

г) $\frac{1}{2}$ и $\frac{50}{100}$;

д) $\frac{1}{4}$ и $\frac{25}{100}$;

е) $\frac{3}{4}$ и $\frac{75}{100}$.

а) Чтобы сравнить дроби $ \frac{3}{5} $ и $ \frac{16}{10} $, приведем их к общему знаменателю 10. Для этого умножим числитель и знаменатель первой дроби на 2:
$ \frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{6}{10} $
Теперь сравним полученную дробь $ \frac{6}{10} $ со второй дробью $ \frac{16}{10} $. Так как знаменатели равны, сравниваем числители: $ 6 \ne 16 $.
Следовательно, дроби не равны.

Ответ: $ \frac{3}{5} \ne \frac{16}{10} $

б) Чтобы сравнить дроби $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{16}{21} $, приведем их к общему знаменателю 21. Для этого умножим числитель и знаменатель первой дроби на 7:
$ \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{14}{21} $
Сравниваем дроби $ \frac{14}{21} $ и $ \frac{16}{21} $. Так как числители не равны ($ 14 \ne 16 $), то и дроби не равны.

Ответ: $ \frac{2}{3} \ne \frac{16}{21} $

в) Чтобы сравнить дроби $ \frac{7}{5} $ и $ \frac{27}{20} $, приведем их к общему знаменателю 20. Для этого умножим числитель и знаменатель первой дроби на 4:
$ \frac{7}{5} = \frac{7 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{28}{20} $
Сравниваем дроби $ \frac{28}{20} $ и $ \frac{27}{20} $. Так как числители не равны ($ 28 \ne 27 $), то и дроби не равны.

Ответ: $ \frac{7}{5} \ne \frac{27}{20} $

г) Чтобы сравнить дроби $ \frac{1}{2} $ и $ \frac{50}{100} $, можно сократить вторую дробь. Разделим числитель и знаменатель дроби $ \frac{50}{100} $ на 50:
$ \frac{50}{100} = \frac{50 : 50}{100 : 50} = \frac{1}{2} $
Так как $ \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $, то исходные дроби равны.

Ответ: $ \frac{1}{2} = \frac{50}{100} $

д) Чтобы сравнить дроби $ \frac{1}{4} $ и $ \frac{25}{100} $, сократим вторую дробь. Разделим числитель и знаменатель дроби $ \frac{25}{100} $ на 25:
$ \frac{25}{100} = \frac{25 : 25}{100 : 25} = \frac{1}{4} $
Так как $ \frac{1}{4} = \frac{1}{4} $, то исходные дроби равны.

Ответ: $ \frac{1}{4} = \frac{25}{100} $

е) Чтобы сравнить дроби $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{75}{100} $, сократим вторую дробь. Разделим числитель и знаменатель дроби $ \frac{75}{100} $ на 25:
$ \frac{75}{100} = \frac{75 : 25}{100 : 25} = \frac{3}{4} $
Так как $ \frac{3}{4} = \frac{3}{4} $, то исходные дроби равны.

Ответ: $ \frac{3}{4} = \frac{75}{100} $

811. а) Что тяжелее: $\frac{3}{8}$ кг конфет или $\frac{7}{20}$ кг печенья?

б) Что тяжелее: $\frac{1}{2}$ кг пуха или $\frac{9}{18}$ кг железа?

а)

Чтобы определить, что тяжелее, нужно сравнить две дроби: $ \frac{3}{8} $ и $ \frac{7}{20} $. Для этого приведем их к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 8 и 20. НОК(8, 20) = 40.

Теперь приведем каждую дробь к знаменателю 40:

$ \frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{15}{40} $

$ \frac{7}{20} = \frac{7 \cdot 2}{20 \cdot 2} = \frac{14}{40} $

Сравним полученные дроби: $ \frac{15}{40} > \frac{14}{40} $. Следовательно, $ \frac{3}{8} > \frac{7}{20} $. Таким образом, $ \frac{3}{8} $ кг конфет тяжелее, чем $ \frac{7}{20} $ кг печенья.

Ответ: $ \frac{3}{8} $ кг конфет тяжелее.

б)

В данном вопросе необходимо сравнить вес $ \frac{1}{2} $ кг пуха и $ \frac{9}{18} $ кг железа. Тип вещества (пух или железо) не имеет значения, так как мы сравниваем только их массу, выраженную в килограммах.

Сравним дроби $ \frac{1}{2} $ и $ \frac{9}{18} $. Дробь $ \frac{9}{18} $ можно сократить. Разделим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 9:

$ \frac{9}{18} = \frac{9 \div 9}{18 \div 9} = \frac{1}{2} $

Таким образом, мы сравниваем $ \frac{1}{2} $ кг и $ \frac{1}{2} $ кг. Эти величины равны.

Ответ: их вес одинаков.

812. Сравните дроби с одинаковыми числителями:

а) $ \frac{1}{2} $ и $ \frac{1}{3} $;

б) $ \frac{1}{7} $ и $ \frac{1}{4} $;

в) $ \frac{2}{5} $ и $ \frac{2}{3} $;

г) $ \frac{3}{5} $ и $ \frac{3}{7} $;

д) $ \frac{7}{13} $ и $ \frac{7}{15} $;

е) $ \frac{8}{7} $ и $ \frac{8}{11} $.

Для сравнения дробей с одинаковыми числителями используется правило: из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, у которой знаменатель меньше, и меньше та, у которой знаменатель больше. Это можно представить так: если мы делим одно и то же количество (числитель) на большее число частей (знаменатель), то каждая часть будет меньше.

а) Сравним дроби $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$.
Числители дробей одинаковы и равны 1. Сравниваем знаменатели: $2 < 3$.
Поскольку знаменатель первой дроби (2) меньше знаменателя второй дроби (3), то первая дробь больше второй.
Ответ: $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$.

б) Сравним дроби $\frac{1}{7}$ и $\frac{1}{4}$.
Числители дробей одинаковы и равны 1. Сравниваем знаменатели: $7 > 4$.
Поскольку знаменатель первой дроби (7) больше знаменателя второй дроби (4), то первая дробь меньше второй.
Ответ: $\frac{1}{7} < \frac{1}{4}$.

в) Сравним дроби $\frac{2}{5}$ и $\frac{2}{3}$.
Числители дробей одинаковы и равны 2. Сравниваем знаменатели: $5 > 3$.
Поскольку знаменатель первой дроби (5) больше знаменателя второй дроби (3), то первая дробь меньше второй.
Ответ: $\frac{2}{5} < \frac{2}{3}$.

г) Сравним дроби $\frac{3}{5}$ и $\frac{3}{7}$.
Числители дробей одинаковы и равны 3. Сравниваем знаменатели: $5 < 7$.
Поскольку знаменатель первой дроби (5) меньше знаменателя второй дроби (7), то первая дробь больше второй.
Ответ: $\frac{3}{5} > \frac{3}{7}$.

д) Сравним дроби $\frac{7}{13}$ и $\frac{7}{15}$.
Числители дробей одинаковы и равны 7. Сравниваем знаменатели: $13 < 15$.
Поскольку знаменатель первой дроби (13) меньше знаменателя второй дроби (15), то первая дробь больше второй.
Ответ: $\frac{7}{13} > \frac{7}{15}$.

е) Сравним дроби $\frac{8}{7}$ и $\frac{8}{11}$.
Числители дробей одинаковы и равны 8. Сравниваем знаменатели: $7 < 11$.
Поскольку знаменатель первой дроби (7) меньше знаменателя второй дроби (11), то первая дробь больше второй.
Ответ: $\frac{8}{7} > \frac{8}{11}$.