Номер 806, страница 182 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

806. Сравните:

а) правильную дробь с 1;

б) неправильную дробь с 1;

в) правильную дробь с неправильной.

а) правильную дробь с 1

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Пусть дана произвольная правильная дробь $\frac{a}{b}$. По определению, это означает, что числитель $a$ меньше знаменателя $b$ (при условии, что $a$ и $b$ — натуральные числа), то есть $a < b$.

Чтобы сравнить дробь $\frac{a}{b}$ с числом 1, представим 1 в виде дроби с таким же знаменателем $b$: $1 = \frac{b}{b}$.

Теперь нам нужно сравнить две дроби с одинаковыми знаменателями: $\frac{a}{b}$ и $\frac{b}{b}$. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями та меньше, у которой меньше числитель. Поскольку по определению правильной дроби $a < b$, то $\frac{a}{b} < \frac{b}{b}$.

Следовательно, $\frac{a}{b} < 1$.

Ответ: любая правильная дробь меньше 1.

б) неправильную дробь с 1

Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. Пусть дана произвольная неправильная дробь $\frac{c}{d}$. По определению, это означает, что числитель $c$ больше или равен знаменателю $d$ (при условии, что $c$ и $d$ — натуральные числа), то есть $c \ge d$.

Сравним дробь $\frac{c}{d}$ с числом 1, представив 1 в виде дроби со знаменателем $d$: $1 = \frac{d}{d}$.

Сравниваем две дроби с одинаковыми знаменателями: $\frac{c}{d}$ и $\frac{d}{d}$. Так как $c \ge d$, то дробь $\frac{c}{d}$ больше или равна дроби $\frac{d}{d}$.

Следовательно, $\frac{c}{d} \ge 1$. Равенство единице достигается в случае, когда числитель равен знаменателю (например, $\frac{5}{5} = 1$). Если числитель строго больше знаменателя, то дробь больше единицы (например, $\frac{7}{5} > 1$).

Ответ: любая неправильная дробь больше или равна 1.

в) правильную дробь с неправильной

Чтобы сравнить правильную и неправильную дроби, воспользуемся выводами из предыдущих пунктов и числом 1 как промежуточным значением для сравнения.

Пусть у нас есть правильная дробь $\frac{a}{b}$ и неправильная дробь $\frac{c}{d}$.

Из пункта а) мы знаем, что любая правильная дробь меньше 1: $\frac{a}{b} < 1$.

Из пункта б) мы знаем, что любая неправильная дробь больше или равна 1: $\frac{c}{d} \ge 1$.

Таким образом, мы можем составить цепочку неравенств: $\frac{a}{b} < 1 \le \frac{c}{d}$.

Из этой цепочки напрямую следует, что $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$.

Ответ: любая правильная дробь меньше любой неправильной дроби.