Страница 184 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

818. а) Найдите все дроби со знаменателем 10, которые больше $\frac{5}{9}$, но меньше $\frac{7}{9}$.

б) Найдите все дроби со знаменателем 13, которые больше $\frac{1}{3}$, но меньше $\frac{2}{3}$.

а)

Пусть искомая дробь имеет вид $\frac{x}{10}$, где $x$ — натуральное число. Согласно условию задачи, эта дробь должна быть больше $\frac{5}{9}$ и меньше $\frac{7}{9}$. Запишем это в виде двойного неравенства:

$\frac{5}{9} < \frac{x}{10} < \frac{7}{9}$

Для того чтобы сравнить эти дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для чисел 9 и 10 является их произведение, то есть 90.

Приведем каждую дробь к знаменателю 90:

$\frac{5}{9} = \frac{5 \cdot 10}{9 \cdot 10} = \frac{50}{90}$

$\frac{x}{10} = \frac{x \cdot 9}{10 \cdot 9} = \frac{9x}{90}$

$\frac{7}{9} = \frac{7 \cdot 10}{9 \cdot 10} = \frac{70}{90}$

Теперь наше неравенство выглядит так:

$\frac{50}{90} < \frac{9x}{90} < \frac{70}{90}$

Поскольку знаменатели дробей равны, мы можем сравнить их числители:

$50 < 9x < 70$

Теперь нам нужно найти все целые числа $x$, которые удовлетворяют этому неравенству. Для этого разделим все части неравенства на 9:

$\frac{50}{9} < x < \frac{70}{9}$

Выделим целую часть у дробей:

$5\frac{5}{9} < x < 7\frac{7}{9}$

Целыми числами, которые находятся между $5\frac{5}{9}$ и $7\frac{7}{9}$, являются 6 и 7.

Таким образом, искомые дроби — это $\frac{6}{10}$ и $\frac{7}{10}$.

Ответ: $\frac{6}{10}, \frac{7}{10}$.

б)

Пусть искомая дробь имеет вид $\frac{y}{13}$, где $y$ — натуральное число. По условию, дробь должна быть больше $\frac{1}{3}$ и меньше $\frac{2}{3}$. Запишем это в виде неравенства:

$\frac{1}{3} < \frac{y}{13} < \frac{2}{3}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 13 — это $3 \cdot 13 = 39$.

Приведем каждую дробь к знаменателю 39:

$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 13}{3 \cdot 13} = \frac{13}{39}$

$\frac{y}{13} = \frac{y \cdot 3}{13 \cdot 3} = \frac{3y}{39}$

$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 13}{3 \cdot 13} = \frac{26}{39}$

Подставим полученные дроби в неравенство:

$\frac{13}{39} < \frac{3y}{39} < \frac{26}{39}$

Теперь сравним числители:

$13 < 3y < 26$

Найдем все целые значения $y$, которые удовлетворяют этому неравенству. Разделим все части неравенства на 3:

$\frac{13}{3} < y < \frac{26}{3}$

Выделим целую часть у дробей:

$4\frac{1}{3} < y < 8\frac{2}{3}$

Целые числа, которые находятся в этом интервале, — это 5, 6, 7 и 8.

Следовательно, искомые дроби: $\frac{5}{13}, \frac{6}{13}, \frac{7}{13}, \frac{8}{13}$.

Ответ: $\frac{5}{13}, \frac{6}{13}, \frac{7}{13}, \frac{8}{13}$.

819. a) Найдите все несократимые дроби со знаменателем 60, большие $ \frac{1}{3} $, но меньшие $ \frac{1}{2} $. Сколько таких дробей?

б) Найдите все несократимые дроби с числителем 60, большие $ \frac{1}{3} $, но меньшие $ \frac{1}{2} $. Сколько таких дробей?

а)

Пусть искомая несократимая дробь имеет вид $\frac{x}{60}$, где $x$ — целое число. Согласно условию, эта дробь должна находиться в интервале от $\frac{1}{3}$ до $\frac{1}{2}$. Запишем это в виде двойного неравенства:

$\frac{1}{3} < \frac{x}{60} < \frac{1}{2}$

Для определения диапазона возможных значений $x$, приведем все дроби к общему знаменателю 60:

$\frac{1 \cdot 20}{3 \cdot 20} < \frac{x}{60} < \frac{1 \cdot 30}{2 \cdot 30}$

$\frac{20}{60} < \frac{x}{60} < \frac{30}{60}$

Из этого неравенства следует, что $20 < x < 30$. Таким образом, $x$ может быть одним из следующих целых чисел: 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29.

Теперь учтем, что дробь $\frac{x}{60}$ должна быть несократимой. Это означает, что наибольший общий делитель числителя $x$ и знаменателя 60 должен быть равен 1 (НОД(x, 60) = 1). Найдем простые множители знаменателя: $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$.

Следовательно, чтобы дробь была несократимой, числитель $x$ не должен делиться на 2, 3 и 5. Проверим все возможные значения $x$:

• 21 делится на 3.
• 22 делится на 2.
• 23 — простое число, не делится на 2, 3, 5. Подходит.
• 24 делится на 2 и 3.
• 25 делится на 5.
• 26 делится на 2.
• 27 делится на 3.
• 28 делится на 2.
• 29 — простое число, не делится на 2, 3, 5. Подходит.

Мы нашли два подходящих числителя: 23 и 29. Значит, искомые дроби — это $\frac{23}{60}$ и $\frac{29}{60}$.

Ответ: $\frac{23}{60}$, $\frac{29}{60}$. Всего 2 дроби.

б)

Пусть искомая несократимая дробь имеет вид $\frac{60}{y}$, где $y$ — целое число. По условию, эта дробь должна быть больше $\frac{1}{3}$ и меньше $\frac{1}{2}$:

$\frac{1}{3} < \frac{60}{y} < \frac{1}{2}$

Поскольку все части неравенства положительны, мы можем взять обратные величины, изменив знаки неравенства на противоположные:

$3 > \frac{y}{60} > 2$, что эквивалентно $2 < \frac{y}{60} < 3$.

Умножим все части неравенства на 60, чтобы найти диапазон для $y$:

$2 \cdot 60 < y < 3 \cdot 60$

$120 < y < 180$

Значит, знаменатель $y$ — это целое число от 121 до 179 включительно.

Дробь $\frac{60}{y}$ должна быть несократимой, то есть НОД(60, y) = 1. Простые множители числителя: $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$. Следовательно, знаменатель $y$ не должен иметь общих простых делителей с числом 60, то есть $y$ не должен делиться на 2, 3 и 5.

Найдем все целые числа $y$ в интервале $(120, 180)$, которые не делятся на 2, 3 и 5:

121, 127, 131, 133, 137, 139, 143, 149, 151, 157, 161, 163, 167, 169, 173, 179.

Всего таких чисел 16. Соответственно, существует 16 искомых дробей.

Ответ: $\frac{60}{121}$, $\frac{60}{127}$, $\frac{60}{131}$, $\frac{60}{133}$, $\frac{60}{137}$, $\frac{60}{139}$, $\frac{60}{143}$, $\frac{60}{149}$, $\frac{60}{151}$, $\frac{60}{157}$, $\frac{60}{161}$, $\frac{60}{163}$, $\frac{60}{167}$, $\frac{60}{169}$, $\frac{60}{173}$, $\frac{60}{179}$. Всего 16 дробей.