Номер 818, страница 184 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.5. Сравнение дробей. Глава 4. Обыкновенные дроби - номер 818, страница 184.

Условие.

818. а) Найдите все дроби со знаменателем 10, которые больше $\frac{5}{9}$, но меньше $\frac{7}{9}$.

б) Найдите все дроби со знаменателем 13, которые больше $\frac{1}{3}$, но меньше $\frac{2}{3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

а)

Пусть искомая дробь имеет вид $\frac{x}{10}$, где $x$ — натуральное число. Согласно условию задачи, эта дробь должна быть больше $\frac{5}{9}$ и меньше $\frac{7}{9}$. Запишем это в виде двойного неравенства:

$\frac{5}{9} < \frac{x}{10} < \frac{7}{9}$

Для того чтобы сравнить эти дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для чисел 9 и 10 является их произведение, то есть 90.

Приведем каждую дробь к знаменателю 90:

$\frac{5}{9} = \frac{5 \cdot 10}{9 \cdot 10} = \frac{50}{90}$

$\frac{x}{10} = \frac{x \cdot 9}{10 \cdot 9} = \frac{9x}{90}$

$\frac{7}{9} = \frac{7 \cdot 10}{9 \cdot 10} = \frac{70}{90}$

Теперь наше неравенство выглядит так:

$\frac{50}{90} < \frac{9x}{90} < \frac{70}{90}$

Поскольку знаменатели дробей равны, мы можем сравнить их числители:

$50 < 9x < 70$

Теперь нам нужно найти все целые числа $x$, которые удовлетворяют этому неравенству. Для этого разделим все части неравенства на 9:

$\frac{50}{9} < x < \frac{70}{9}$

Выделим целую часть у дробей:

$5\frac{5}{9} < x < 7\frac{7}{9}$

Целыми числами, которые находятся между $5\frac{5}{9}$ и $7\frac{7}{9}$, являются 6 и 7.

Таким образом, искомые дроби — это $\frac{6}{10}$ и $\frac{7}{10}$.

Ответ: $\frac{6}{10}, \frac{7}{10}$.

б)

Пусть искомая дробь имеет вид $\frac{y}{13}$, где $y$ — натуральное число. По условию, дробь должна быть больше $\frac{1}{3}$ и меньше $\frac{2}{3}$. Запишем это в виде неравенства:

$\frac{1}{3} < \frac{y}{13} < \frac{2}{3}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 13 — это $3 \cdot 13 = 39$.

Приведем каждую дробь к знаменателю 39:

$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 13}{3 \cdot 13} = \frac{13}{39}$

$\frac{y}{13} = \frac{y \cdot 3}{13 \cdot 3} = \frac{3y}{39}$

$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 13}{3 \cdot 13} = \frac{26}{39}$

Подставим полученные дроби в неравенство:

$\frac{13}{39} < \frac{3y}{39} < \frac{26}{39}$

Теперь сравним числители:

$13 < 3y < 26$

Найдем все целые значения $y$, которые удовлетворяют этому неравенству. Разделим все части неравенства на 3:

$\frac{13}{3} < y < \frac{26}{3}$

Выделим целую часть у дробей:

$4\frac{1}{3} < y < 8\frac{2}{3}$

Целые числа, которые находятся в этом интервале, — это 5, 6, 7 и 8.

Следовательно, искомые дроби: $\frac{5}{13}, \frac{6}{13}, \frac{7}{13}, \frac{8}{13}$.

Ответ: $\frac{5}{13}, \frac{6}{13}, \frac{7}{13}, \frac{8}{13}$.