Номер 816, страница 183 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

816. В некоторых случаях бывает удобно сравнивать не сами дроби, а их «дополнения» до единицы. Например, сравним дроби $ \frac{7}{8} $ и $ \frac{8}{9} $. Чтобы из первой дроби получить 1, надо добавить $ \frac{1}{8} $, а чтобы из второй дроби получить 1, надо добавить меньшее: $ \frac{1}{9} $. Следовательно, вторая дробь больше: $ \frac{7}{8} < \frac{8}{9} $.

Сравните дроби:

а) $ \frac{8}{9} $ и $ \frac{9}{10} $

б) $ \frac{11}{12} $ и $ \frac{12}{13} $

в) $ \frac{41}{42} $ и $ \frac{42}{43} $

г) $ \frac{39}{40} $ и $ \frac{38}{39} $

д) $ \frac{98}{99} $ и $ \frac{97}{98} $

е) $ \frac{1995}{1996} $ и $ \frac{1996}{1997} $

а) Чтобы сравнить дроби $\frac{8}{9}$ и $\frac{9}{10}$, найдем их «дополнения» до единицы. Дополнение для дроби $\frac{8}{9}$ равно $1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$. Дополнение для дроби $\frac{9}{10}$ равно $1 - \frac{9}{10} = \frac{1}{10}$. Теперь сравним дополнения: $\frac{1}{9}$ и $\frac{1}{10}$. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Так как $9 < 10$, то $\frac{1}{9} > \frac{1}{10}$. Это означает, что дроби $\frac{8}{9}$ не хватает до единицы больше, чем дроби $\frac{9}{10}$. Следовательно, $\frac{8}{9} < \frac{9}{10}$. Ответ: $\frac{8}{9} < \frac{9}{10}$.

б) Сравним дроби $\frac{11}{12}$ и $\frac{12}{13}$. Дополнение для $\frac{11}{12}$ равно $1 - \frac{11}{12} = \frac{1}{12}$. Дополнение для $\frac{12}{13}$ равно $1 - \frac{12}{13} = \frac{1}{13}$. Сравним дополнения $\frac{1}{12}$ и $\frac{1}{13}$. Так как $12 < 13$, то $\frac{1}{12} > \frac{1}{13}$. Поскольку дополнению дроби $\frac{11}{12}$ больше, сама дробь меньше. Значит, $\frac{11}{12} < \frac{12}{13}$. Ответ: $\frac{11}{12} < \frac{12}{13}$.

в) Сравним дроби $\frac{41}{42}$ и $\frac{42}{43}$. Дополнение для $\frac{41}{42}$ равно $1 - \frac{41}{42} = \frac{1}{42}$. Дополнение для $\frac{42}{43}$ равно $1 - \frac{42}{43} = \frac{1}{43}$. Сравним дополнения $\frac{1}{42}$ и $\frac{1}{43}$. Так как $42 < 43$, то $\frac{1}{42} > \frac{1}{43}$. Следовательно, дробь $\frac{41}{42}$ меньше, чем дробь $\frac{42}{43}$. Ответ: $\frac{41}{42} < \frac{42}{43}$.

г) Сравним дроби $\frac{39}{40}$ и $\frac{38}{39}$. Дополнение для $\frac{39}{40}$ равно $1 - \frac{39}{40} = \frac{1}{40}$. Дополнение для $\frac{38}{39}$ равно $1 - \frac{38}{39} = \frac{1}{39}$. Сравним дополнения $\frac{1}{40}$ и $\frac{1}{39}$. Так как $40 > 39$, то $\frac{1}{40} < \frac{1}{39}$. Чем меньше дополнение до единицы, тем больше сама дробь. Следовательно, $\frac{39}{40} > \frac{38}{39}$. Ответ: $\frac{39}{40} > \frac{38}{39}$.

д) Сравним дроби $\frac{98}{99}$ и $\frac{97}{98}$. Дополнение для $\frac{98}{99}$ равно $1 - \frac{98}{99} = \frac{1}{99}$. Дополнение для $\frac{97}{98}$ равно $1 - \frac{97}{98} = \frac{1}{98}$. Сравним дополнения $\frac{1}{99}$ и $\frac{1}{98}$. Так как $99 > 98$, то $\frac{1}{99} < \frac{1}{98}$. Поскольку дополнению дроби $\frac{98}{99}$ меньше, сама дробь больше. Значит, $\frac{98}{99} > \frac{97}{98}$. Ответ: $\frac{98}{99} > \frac{97}{98}$.

е) Сравним дроби $\frac{1995}{1996}$ и $\frac{1996}{1997}$. Дополнение для $\frac{1995}{1996}$ равно $1 - \frac{1995}{1996} = \frac{1}{1996}$. Дополнение для $\frac{1996}{1997}$ равно $1 - \frac{1996}{1997} = \frac{1}{1997}$. Сравним дополнения $\frac{1}{1996}$ и $\frac{1}{1997}$. Так как $1996 < 1997$, то $\frac{1}{1996} > \frac{1}{1997}$. Чем больше дополнение до единицы, тем меньше сама дробь. Следовательно, $\frac{1995}{1996} < \frac{1996}{1997}$. Ответ: $\frac{1995}{1996} < \frac{1996}{1997}$.