Страница 191 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

857. Запишите сочетательный закон сложения для чисел:

а) $( \frac{1}{7} + \frac{2}{7} ) + \frac{4}{7} = \frac{1}{7} + ( \frac{2}{7} + \frac{4}{7} )$

б) $( \frac{a}{5} + \frac{b}{5} ) + \frac{c}{5} = \frac{a}{5} + ( \frac{b}{5} + \frac{c}{5} )$

В) $( \frac{m}{p} + \frac{n}{p} ) + \frac{k}{p} = \frac{m}{p} + ( \frac{n}{p} + \frac{k}{p} )$

Сочетательный закон сложения (или ассоциативность сложения) гласит, что результат сложения трёх и более слагаемых не зависит от того, как они сгруппированы. Для любых трёх чисел $x$, $y$ и $z$ этот закон можно записать в виде формулы:

$(x + y) + z = x + (y + z)$

Применим этот закон к данным в задаче числам.

а) Для чисел $ \frac{1}{7} $, $ \frac{2}{7} $ и $ \frac{4}{7} $ сочетательный закон сложения записывается следующим образом:

$ (\frac{1}{7} + \frac{2}{7}) + \frac{4}{7} = \frac{1}{7} + (\frac{2}{7} + \frac{4}{7}) $

Это равенство показывает, что неважно, в каком порядке мы будем складывать эти дроби: можно сначала сложить первую и вторую, а к их сумме прибавить третью, или же к первой дроби прибавить сумму второй и третьей. Результат будет одинаковым.

Ответ: $ (\frac{1}{7} + \frac{2}{7}) + \frac{4}{7} = \frac{1}{7} + (\frac{2}{7} + \frac{4}{7}) $

б) Для чисел $ \frac{a}{5} $, $ \frac{b}{5} $ и $ \frac{c}{5} $, где $a$, $b$ и $c$ — некоторые числа (переменные), закон будет выглядеть так:

$ (\frac{a}{5} + \frac{b}{5}) + \frac{c}{5} = \frac{a}{5} + (\frac{b}{5} + \frac{c}{5}) $

Ответ: $ (\frac{a}{5} + \frac{b}{5}) + \frac{c}{5} = \frac{a}{5} + (\frac{b}{5} + \frac{c}{5}) $

в) Аналогично для обобщенных дробей $ \frac{m}{p} $, $ \frac{n}{p} $ и $ \frac{k}{p} $, где $m$, $n$, $k$ и $p$ — переменные (причем $p \neq 0$), сочетательный закон сложения имеет вид:

$ (\frac{m}{p} + \frac{n}{p}) + \frac{k}{p} = \frac{m}{p} + (\frac{n}{p} + \frac{k}{p}) $

Ответ: $ (\frac{m}{p} + \frac{n}{p}) + \frac{k}{p} = \frac{m}{p} + (\frac{n}{p} + \frac{k}{p}) $

858. Вычислите:

а) $ \frac{1}{5} + \frac{3}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{4}; $

б) $ \frac{11}{12} + \frac{7}{10} + \frac{3}{100} + \frac{1}{12}; $

в) $ \frac{12}{17} + \frac{15}{24} + \frac{3}{8} + \frac{5}{17}; $

г) $ \frac{3}{7} + \frac{5}{9} + \frac{4}{9} + \frac{4}{7}. $

а) Чтобы упростить вычисление, сгруппируем дроби с одинаковыми знаменателями, используя переместительное и сочетательное свойства сложения:
$\frac{1}{5} + \frac{3}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{4} = (\frac{1}{5} + \frac{1}{5}) + (\frac{3}{4} + \frac{1}{4})$.
Теперь выполним сложение в каждой группе:
$\frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{1+1}{5} = \frac{2}{5}$
$\frac{3}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3+1}{4} = \frac{4}{4} = 1$
Сложим полученные результаты:
$\frac{2}{5} + 1 = 1\frac{2}{5}$.
Ответ: $1\frac{2}{5}$.

б) Сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями:
$\frac{11}{12} + \frac{7}{10} + \frac{3}{100} + \frac{1}{12} = (\frac{11}{12} + \frac{1}{12}) + \frac{7}{10} + \frac{3}{100}$.
Выполним сложение в скобках:
$\frac{11+1}{12} + \frac{7}{10} + \frac{3}{100} = \frac{12}{12} + \frac{7}{10} + \frac{3}{100} = 1 + \frac{7}{10} + \frac{3}{100}$.
Приведем оставшиеся дроби к общему знаменателю 100:
$1 + \frac{7 \cdot 10}{10 \cdot 10} + \frac{3}{100} = 1 + \frac{70}{100} + \frac{3}{100}$.
Сложим дроби:
$1 + \frac{70+3}{100} = 1 + \frac{73}{100} = 1\frac{73}{100}$.
Ответ: $1\frac{73}{100}$.

в) Сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями:
$\frac{12}{17} + \frac{15}{24} + \frac{3}{8} + \frac{5}{17} = (\frac{12}{17} + \frac{5}{17}) + \frac{15}{24} + \frac{3}{8}$.
Выполним сложение в скобках:
$\frac{12+5}{17} + \frac{15}{24} + \frac{3}{8} = \frac{17}{17} + \frac{15}{24} + \frac{3}{8} = 1 + \frac{15}{24} + \frac{3}{8}$.
Сократим дробь $\frac{15}{24}$ на 3: $\frac{15 \div 3}{24 \div 3} = \frac{5}{8}$.
Подставим сокращенную дробь в выражение:
$1 + \frac{5}{8} + \frac{3}{8}$.
Сложим дроби с одинаковым знаменателем:
$1 + \frac{5+3}{8} = 1 + \frac{8}{8} = 1 + 1 = 2$.
Ответ: $2$.

г) Сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями:
$\frac{3}{7} + \frac{5}{9} + \frac{4}{9} + \frac{4}{7} = (\frac{3}{7} + \frac{4}{7}) + (\frac{5}{9} + \frac{4}{9})$.
Выполним сложение в каждой группе:
$\frac{3+4}{7} + \frac{5+4}{9} = \frac{7}{7} + \frac{9}{9}$.
$\frac{7}{7} = 1$ и $\frac{9}{9} = 1$.
Сложим полученные результаты:
$1 + 1 = 2$.
Ответ: $2$.

859. a) Два пешехода вышли в одно время навстречу друг другу из двух деревень. Первый может пройти расстояние между двумя деревнями за 8 ч, а второй — за 6 ч. На какую часть расстояния они приблизятся за 1 ч?

б) Для постройки купальни наняты три плотника. Первый сделал в день $2/33$ всей работы, второй — $1/11$, третий — $7/55$. Какую часть всей работы сделали все они за день?

в) Для переписки сочинения наняты 4 писца. Первый мог бы один переписать сочинение за 24 дня, второй — за 36 дней, третий — за 20 дней, и четвёртый — за 18 дней. Какую часть сочинения перепишут они за один день, если будут работать вместе?

Примем все расстояние между деревнями за 1. Тогда за 1 час первый пешеход пройдет $1/8$ часть всего расстояния, а второй — $1/6$ часть. Поскольку они идут навстречу друг другу, то за 1 час они приблизятся на сумму этих частей. Это называется скоростью сближения.

Найдем сумму их скоростей:

$1/8 + 1/6$.

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 8 и 6 — это 24.

$1/8 + 1/6 = 3/24 + 4/24 = 7/24$.

Ответ: за 1 час они приблизятся на $7/24$ часть расстояния.

Чтобы узнать, какую часть всей работы сделали три плотника за день, работая вместе, нужно сложить части работы, выполненные каждым из них.

$2/33 + 1/11 + 7/55$.

Найдем наименьший общий знаменатель для чисел 33, 11 и 55. Он равен 165. Приведем дроби к этому знаменателю и выполним сложение:

$2/33 + 1/11 + 7/55 = 10/165 + 15/165 + 21/165 = (10 + 15 + 21)/165 = 46/165$.

Ответ: все вместе они сделали за день $46/165$ всей работы.

Производительность каждого писца (часть сочинения, которую он переписывает за 1 день) составляет: первый — $1/24$, второй — $1/36$, третий — $1/20$, четвертый — $1/18$. Чтобы найти, какую часть сочинения они перепишут за один день, работая вместе, нужно сложить их производительности.

$1/24 + 1/36 + 1/20 + 1/18$.

Наименьший общий знаменатель для чисел 24, 36, 20 и 18 равен 360. Приведем все дроби к этому знаменателю и сложим их:

$15/360 + 10/360 + 18/360 + 20/360 = (15 + 10 + 18 + 20)/360 = 63/360$.

Сократим полученную дробь. Числитель и знаменатель делятся на 9:

$63/360 = 7/40$.

Ответ: за один день они вместе перепишут $7/40$ часть сочинения.

860. Отпили полчашки чёрного кофе и долили её молоком. Потом отпили $1/3$ чашки и долили её молоком. Потом отпили $1/6$ чашки и долили её молоком. Наконец долили содержимое чашки до конца. Чего выпили больше: кофе или молока?

Чтобы определить, чего было выпито больше, нужно подсчитать общий объем выпитого кофе и общий объем выпитого молока.

Сколько было выпито кофе?

В самом начале чашка была полностью наполнена чёрным кофе. Весь этот кофе в конечном итоге был выпит, так как в конце чашка осталась пустой, а нового кофе в неё не добавляли. Следовательно, всего было выпито ровно 1 чашка кофе.

Сколько было выпито молока?

Молоко только добавляли в чашку. Посчитаем, сколько всего молока было долито. Молоко добавляли трижды:

• Сначала долили полчашки, то есть $ \frac{1}{2} $ чашки.
• Затем долили $ \frac{1}{3} $ чашки.
• И в последний раз долили $ \frac{1}{6} $ чашки.

Теперь сложим все эти части, чтобы найти общее количество добавленного молока:

$ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} $

Чтобы сложить эти дроби, приведём их к общему знаменателю 6:

$ \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3+2+1}{6} = \frac{6}{6} = 1 $

Получается, что всего в чашку была долита ровно 1 чашка молока. Так как в конце чашка оказалась пустой, всё добавленное молоко было выпито. Значит, всего выпили 1 чашку молока.

Вывод:

Объем выпитого кофе равен 1 чашке. Объем выпитого молока также равен 1 чашке. Таким образом, кофе и молока выпили одинаковое количество.

Ответ: Кофе и молока было выпито поровну.