Номер 855, страница 190 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

855. Используя сочетательный закон сложения для натуральных чисел, проверьте равенство:

а) $ \left(\frac{3}{4} + \frac{1}{6}\right) + \frac{7}{12} = \frac{3}{4} + \left(\frac{1}{6} + \frac{7}{12}\right); $

б) $ \frac{7}{15} + \left(\frac{2}{9} + \frac{5}{6}\right) = \left(\frac{7}{15} + \frac{2}{9}\right) + \frac{5}{6}. $

Сочетательный закон сложения гласит, что для любых чисел a, b и c выполняется равенство (a + b) + c = a + (b + c). Это означает, что результат сложения не зависит от порядка расстановки скобок. Проверим это свойство для данных дробей, вычислив значения левой и правой частей каждого равенства.

а) $(\frac{3}{4} + \frac{1}{6}) + \frac{7}{12} = \frac{3}{4} + (\frac{1}{6} + \frac{7}{12})$

Вычислим значение левой части равенства:

1. Сначала выполним сложение в скобках. Для этого приведем дроби $\frac{3}{4}$ и $\frac{1}{6}$ к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 6 равен 12.

$\frac{3}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{9}{12} + \frac{2}{12} = \frac{11}{12}$

2. Теперь к полученному результату прибавим $\frac{7}{12}$:

$(\frac{3}{4} + \frac{1}{6}) + \frac{7}{12} = \frac{11}{12} + \frac{7}{12} = \frac{11+7}{12} = \frac{18}{12}$

3. Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 6:

$\frac{18}{12} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$

Теперь вычислим значение правой части равенства:

1. Сначала выполним сложение в скобках. Приведем дробь $\frac{1}{6}$ к знаменателю 12.

$\frac{1}{6} + \frac{7}{12} = \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{7}{12} = \frac{2}{12} + \frac{7}{12} = \frac{9}{12}$

2. Теперь к дроби $\frac{3}{4}$ прибавим полученный результат. Общий знаменатель - 12.

$\frac{3}{4} + (\frac{1}{6} + \frac{7}{12}) = \frac{3}{4} + \frac{9}{12} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{9}{12} = \frac{9}{12} + \frac{9}{12} = \frac{18}{12}$

3. Сократим дробь:

$\frac{18}{12} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$

Левая и правая части равенства равны: $1\frac{1}{2} = 1\frac{1}{2}$.

Ответ: равенство верно.

б) $\frac{7}{15} + (\frac{2}{9} + \frac{5}{6}) = (\frac{7}{15} + \frac{2}{9}) + \frac{5}{6}$

Вычислим значение левой части равенства:

1. Выполним сложение в скобках. Наименьший общий знаменатель для 9 и 6 равен 18.

$\frac{2}{9} + \frac{5}{6} = \frac{2 \cdot 2}{9 \cdot 2} + \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{4}{18} + \frac{15}{18} = \frac{19}{18}$

2. Теперь сложим $\frac{7}{15}$ и $\frac{19}{18}$. Наименьший общий знаменатель для 15 и 18 равен 90.

$\frac{7}{15} + (\frac{2}{9} + \frac{5}{6}) = \frac{7}{15} + \frac{19}{18} = \frac{7 \cdot 6}{15 \cdot 6} + \frac{19 \cdot 5}{18 \cdot 5} = \frac{42}{90} + \frac{95}{90} = \frac{137}{90} = 1\frac{47}{90}$

Теперь вычислим значение правой части равенства:

1. Выполним сложение в скобках. Наименьший общий знаменатель для 15 и 9 равен 45.

$\frac{7}{15} + \frac{2}{9} = \frac{7 \cdot 3}{15 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 5}{9 \cdot 5} = \frac{21}{45} + \frac{10}{45} = \frac{31}{45}$

2. Теперь сложим полученный результат и $\frac{5}{6}$. Наименьший общий знаменатель для 45 и 6 равен 90.

$(\frac{7}{15} + \frac{2}{9}) + \frac{5}{6} = \frac{31}{45} + \frac{5}{6} = \frac{31 \cdot 2}{45 \cdot 2} + \frac{5 \cdot 15}{6 \cdot 15} = \frac{62}{90} + \frac{75}{90} = \frac{137}{90} = 1\frac{47}{90}$

Левая и правая части равенства равны: $1\frac{47}{90} = 1\frac{47}{90}$.

Ответ: равенство верно.