Страница 200 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

906. Могут ли взаимно обратные числа быть одновременно:

а) правильными дробями;

б) неправильными дробями;

в) натуральными числами?

Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1. Пусть даны два числа $a$ и $b$. Они являются взаимно обратными, если выполняется равенство $a \cdot b = 1$.

а) правильными дробями;

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Любая положительная правильная дробь меньше 1. Пусть $a$ и $b$ — два взаимно обратных числа, и оба являются правильными дробями. Тогда $0 < a < 1$ и $0 < b < 1$. Если перемножить два положительных числа, каждое из которых меньше 1, то их произведение также будет меньше 1. Следовательно, $a \cdot b < 1$.

Это противоречит определению взаимно обратных чисел, согласно которому их произведение должно быть равно 1. Например, если взять правильную дробь $a = \frac{2}{3}$, то обратное ей число $b = \frac{1}{a} = \frac{1}{2/3} = \frac{3}{2}$. Дробь $\frac{3}{2}$ является неправильной, а не правильной.

Таким образом, два взаимно обратных числа не могут быть одновременно правильными дробями.

Ответ: нет, не могут.

б) неправильными дробями;

Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. Любая неправильная дробь больше или равна 1. Пусть $a$ и $b$ — две взаимно обратные неправильные дроби. Это означает, что $a \ge 1$, $b \ge 1$ и их произведение $a \cdot b = 1$.

Если хотя бы одно из чисел, например $a$, строго больше 1 ($a > 1$), то второе число $b$ должно быть строго меньше 1 ($b = \frac{1}{a} < 1$), чтобы их произведение равнялось 1. Число, которое меньше 1, является правильной дробью, а не неправильной. Значит, этот случай невозможен.

Единственная возможность, при которой произведение двух чисел, больших или равных 1, равно 1, — это когда оба числа равны 1. Число 1 можно представить в виде неправильной дроби, например $\frac{1}{1}$ или $\frac{4}{4}$. В этом случае $a=1$, $b=1$, оба числа являются неправильными дробями, и их произведение $1 \cdot 1 = 1$.

Следовательно, два взаимно обратных числа могут быть одновременно неправильными дробями, если каждое из них равно 1.

Ответ: да, могут, если это число 1.

в) натуральными числами?

Натуральные числа — это целые положительные числа: 1, 2, 3, и так далее. Пусть $a$ и $b$ — два взаимно обратных натуральных числа. Это означает, что $a$ и $b$ — натуральные числа и $a \cdot b = 1$.

Поскольку $a$ и $b$ — натуральные, то они не могут быть меньше 1, то есть $a \ge 1$ и $b \ge 1$. Если предположить, что хотя бы одно из чисел больше 1 (например, $a=2$), то обратное ему число $b=\frac{1}{a}=\frac{1}{2}$ уже не будет натуральным числом.

Единственный случай, когда произведение двух натуральных чисел равно 1, это когда оба этих числа равны 1. Число 1 является натуральным числом. Проверяем: $a=1$, $b=1$. $1 \cdot 1 = 1$.

Таким образом, взаимно обратные числа могут быть натуральными, только если оба они равны 1.

Ответ: да, могут, если это число 1.

907. Могут ли взаимно обратные числа быть одновременно:

а) меньше $1$;

б) больше $1$;

в) равны $1$?

Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1. Пусть у нас есть два числа, $a$ и $b$. Они взаимно обратные, если $a \cdot b = 1$. Отсюда следует, что $b = \frac{1}{a}$ (при условии, что $a \ne 0$).

Проверим, могут ли два взаимно обратных числа быть одновременно меньше 1. То есть, могут ли одновременно выполняться неравенства $a < 1$ и $b < 1$.

Рассмотрим два случая.

1. Если числа положительные ($a > 0, b > 0$). Если $a < 1$, то $b = \frac{1}{a}$ будет больше 1. Например, если $a = 0.5$, то $b = \frac{1}{0.5} = 2$. Здесь $a < 1$, а $b > 1$. Значит, для положительных чисел это невозможно.

2. Если числа отрицательные ($a < 0, b < 0$). Любое отрицательное число по определению меньше 1. Если взять любое отрицательное число $a$, например, $a = -4$, то оно будет меньше 1. Обратное ему число $b = \frac{1}{-4} = -0.25$. Это число также отрицательное, а значит, тоже меньше 1. Их произведение: $(-4) \cdot (-0.25) = 1$.

Таким образом, два взаимно обратных числа могут быть одновременно меньше 1, если они оба отрицательные.

Ответ: Да, могут. Например, числа -5 и -0,2.

Проверим, могут ли два взаимно обратных числа $a$ и $b$ быть одновременно больше 1. То есть, могут ли одновременно выполняться неравенства $a > 1$ и $b > 1$.

Если $a > 1$ и $b > 1$, то их произведение $a \cdot b$ должно быть больше, чем $1 \cdot 1$. То есть, $a \cdot b > 1$.

Однако по определению взаимно обратных чисел их произведение равно 1 ($a \cdot b = 1$).

Мы получили противоречие. Это означает, что наше предположение было неверным. Два взаимно обратных числа не могут быть одновременно больше 1.

Ответ: Нет, не могут.

Проверим, могут ли два взаимно обратных числа $a$ и $b$ быть одновременно равны 1. То есть, $a = 1$ и $b = 1$.

Подставим эти значения в определение взаимно обратных чисел: $a \cdot b = 1$.

$1 \cdot 1 = 1$.

Равенство является верным. Это означает, что число 1 является обратным самому себе. Следовательно, два взаимно обратных числа могут быть одновременно равны 1.

Ответ: Да, могут. Это случай, когда оба числа равны 1.

908. Какое число обратно самому себе?

Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1. Пусть искомое число равно $x$. Тогда обратное ему число равно $\frac{1}{x}$. По условию задачи, число должно быть равно своему обратному. Составим уравнение:

$x = \frac{1}{x}$

Это уравнение определено для всех $x$, кроме $x = 0$. Чтобы решить его, умножим обе части на $x$:

$x \cdot x = \frac{1}{x} \cdot x$

$x^2 = 1$

Данное квадратное уравнение имеет два корня:

$x_1 = \sqrt{1} = 1$

$x_2 = -\sqrt{1} = -1$

Таким образом, существует два числа, которые обратны самим себе: 1 и -1.
Проверка:
Для числа 1 обратным является $\frac{1}{1} = 1$.
Для числа -1 обратным является $\frac{1}{-1} = -1$.

Ответ: 1 и -1.

909. а) Число 2 умножили на некоторую правильную дробь. Какое число получится: большее или меньшее 2?

б) Может ли при умножении числа 3 на некоторую правильную дробь получиться число, меньшее 1? Если да, то приведите два примера.

в) Может ли при умножении числа 4 на некоторую правильную дробь получиться число, большее 1? Если да, то приведите два примера.

г) Верно ли, что при умножении натурального числа на правильную дробь получится число, меньшее этого натурального числа? Если да, то приведите два примера.

а) Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя, поэтому ее значение всегда меньше 1. При умножении любого положительного числа на число, которое меньше 1, результат всегда будет меньше исходного числа. Поскольку 2 умножается на правильную дробь (число меньше 1), результат будет меньше 2.

Ответ: получится число, меньшее 2.

б) Да, может. Для этого необходимо, чтобы произведение числа 3 на некоторую правильную дробь было меньше 1. Обозначим правильную дробь как $x$. Тогда должно выполняться неравенство $3 \times x < 1$, из которого следует, что $x < \frac{1}{3}$. Таким образом, нам нужно выбрать любую правильную дробь, которая меньше $ \frac{1}{3} $.

Пример 1: Возьмем дробь $ \frac{1}{4} $. Она является правильной и удовлетворяет условию $ \frac{1}{4} < \frac{1}{3} $. Произведение равно $ 3 \times \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $, что меньше 1.

Пример 2: Возьмем дробь $ \frac{1}{5} $. Она является правильной и удовлетворяет условию $ \frac{1}{5} < \frac{1}{3} $. Произведение равно $ 3 \times \frac{1}{5} = \frac{3}{5} $, что меньше 1.

Ответ: да, может. Примеры: $ 3 \times \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $ и $ 3 \times \frac{1}{5} = \frac{3}{5} $.

в) Да, может. Для этого необходимо, чтобы произведение числа 4 на некоторую правильную дробь было больше 1. Обозначим правильную дробь как $x$. Тогда должно выполняться неравенство $4 \times x > 1$, из которого следует, что $x > \frac{1}{4}$. Так как дробь должна быть правильной, она также должна быть меньше 1. Следовательно, нужно выбрать любую правильную дробь, которая больше $ \frac{1}{4} $ и меньше 1.

Пример 1: Возьмем дробь $ \frac{1}{2} $. Она является правильной и удовлетворяет условию $ \frac{1}{2} > \frac{1}{4} $. Произведение равно $ 4 \times \frac{1}{2} = 2 $, что больше 1.

Пример 2: Возьмем дробь $ \frac{2}{3} $. Она является правильной и удовлетворяет условию $ \frac{2}{3} > \frac{1}{4} $ (так как $2 \times 4 > 3 \times 1$). Произведение равно $ 4 \times \frac{2}{3} = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} $, что больше 1.

Ответ: да, может. Примеры: $ 4 \times \frac{1}{2} = 2 $ и $ 4 \times \frac{2}{3} = \frac{8}{3} $.

г) Да, это утверждение верно. Правильная дробь по определению всегда меньше 1. Пусть $N$ – любое натуральное число, а $x$ – любая правильная дробь. Так как $N > 0$ и $0 < x < 1$, то при их умножении произведение $N \times x$ всегда будет меньше $N$. Это следует из свойств неравенств: если обе части верного неравенства $x < 1$ умножить на положительное число $N$, то знак неравенства не изменится, и мы получим $N \times x < N \times 1$, то есть $N \times x < N$.

Пример 1: Натуральное число 5 и правильная дробь $ \frac{2}{3} $. Произведение $ 5 \times \frac{2}{3} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} $. Результат $3\frac{1}{3}$ меньше 5.

Пример 2: Натуральное число 10 и правильная дробь $ \frac{1}{2} $. Произведение $ 10 \times \frac{1}{2} = 5 $. Результат 5 меньше 10.

Ответ: да, верно. Примеры: $ 5 \times \frac{2}{3} = 3\frac{1}{3} < 5 $ и $ 10 \times \frac{1}{2} = 5 < 10 $.

910. В равностороннем треугольнике длина стороны равна $\frac{5}{9}$ м.

Найдите периметр треугольника.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. В равностороннем треугольнике все три стороны равны. Обозначим длину стороны как $a$. Тогда периметр $P$ равностороннего треугольника вычисляется по формуле:
$P = a + a + a = 3 \cdot a$
По условию задачи, длина стороны треугольника равна $a = \frac{5}{9}$ м. Подставим это значение в формулу:
$P = 3 \cdot \frac{5}{9} = \frac{3 \cdot 5}{9} = \frac{15}{9}$ м
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель, равный 3:
$P = \frac{15 \div 3}{9 \div 3} = \frac{5}{3}$ м
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$\frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3}$ м
Ответ: $1 \frac{2}{3}$ м.

911. Вычислите периметр квадрата, сторона которого равна:

а) $\frac{1}{4}$ м;

б) $\frac{1}{4}$ дм;

в) $\frac{7}{32}$ м;

г) $\frac{15}{64}$ дм.

Периметр квадрата ($P$) вычисляется по формуле $P = 4 \cdot a$, где $a$ – длина стороны квадрата. Чтобы найти периметр, нужно умножить длину стороны на 4.

а)

Длина стороны квадрата равна $\frac{1}{4}$ м.

Вычисляем периметр:

$P = 4 \cdot \frac{1}{4} = \frac{4 \cdot 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$ м.

Ответ: 1 м.

б)

Длина стороны квадрата равна $\frac{1}{4}$ дм.

Вычисляем периметр:

$P = 4 \cdot \frac{1}{4} = \frac{4 \cdot 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$ дм.

Ответ: 1 дм.

в)

Длина стороны квадрата равна $\frac{7}{32}$ м.

Вычисляем периметр:

$P = 4 \cdot \frac{7}{32} = \frac{4 \cdot 7}{32} = \frac{28}{32}$ м.

Сократим полученную дробь на 4:

$\frac{28:4}{32:4} = \frac{7}{8}$ м.

Ответ: $\frac{7}{8}$ м.

г)

Длина стороны квадрата равна $\frac{15}{64}$ дм.

Вычисляем периметр:

$P = 4 \cdot \frac{15}{64} = \frac{4 \cdot 15}{64} = \frac{60}{64}$ дм.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 4:

$\frac{60:4}{64:4} = \frac{15}{16}$ дм.

Ответ: $\frac{15}{16}$ дм.

912. Вычислите:

а) $ \left(\frac{1}{2}\right)^2 $;

б) $ \left(\frac{1}{3}\right)^2 $;

в) $ \left(\frac{1}{10}\right)^3 $;

г) $ \left(\frac{1}{25}\right)^2 $;

д) $ \left(\frac{1}{5}\right)^3 $;

е) $ \left(\frac{4}{3}\right)^2 $;

ж) $ \left(\frac{2}{3}\right)^4 $;

з) $ \left(\frac{10}{3}\right)^3 $.

а) Чтобы возвести дробь во вторую степень (в квадрат), необходимо возвести в квадрат ее числитель и знаменатель:

$(\frac{1}{2})^2 = \frac{1^2}{2^2} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$

б) Возводим во вторую степень числитель и знаменатель дроби:

$(\frac{1}{3})^2 = \frac{1^2}{3^2} = \frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 3} = \frac{1}{9}$

Ответ: $\frac{1}{9}$

в) Чтобы возвести дробь в третью степень (в куб), необходимо возвести в куб ее числитель и знаменатель:

$(\frac{1}{10})^3 = \frac{1^3}{10^3} = \frac{1 \cdot 1 \cdot 1}{10 \cdot 10 \cdot 10} = \frac{1}{1000}$

Ответ: $\frac{1}{1000}$

г) Возводим во вторую степень числитель и знаменатель дроби:

$(\frac{1}{25})^2 = \frac{1^2}{25^2} = \frac{1}{625}$

Ответ: $\frac{1}{625}$

д) Возводим в третью степень числитель и знаменатель дроби:

$(\frac{1}{5})^3 = \frac{1^3}{5^3} = \frac{1 \cdot 1 \cdot 1}{5 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{1}{125}$

Ответ: $\frac{1}{125}$

е) Возводим во вторую степень числитель и знаменатель дроби:

$(\frac{4}{3})^2 = \frac{4^2}{3^2} = \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 3} = \frac{16}{9}$

Ответ: $\frac{16}{9}$

ж) Чтобы возвести дробь в четвертую степень, необходимо возвести в эту степень ее числитель и знаменатель:

$(\frac{2}{3})^4 = \frac{2^4}{3^4} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{16}{81}$

Ответ: $\frac{16}{81}$

з) Возводим в третью степень числитель и знаменатель дроби:

$(\frac{10}{3})^3 = \frac{10^3}{3^3} = \frac{10 \cdot 10 \cdot 10}{3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{1000}{27}$

Ответ: $\frac{1000}{27}$

913. За минуту наполняется $1/20$ бассейна. Какая часть бассейна наполнится за: 2 мин; 4 мин; 10 мин; 20 мин? За сколько минут наполнится весь бассейн?

Поскольку за одну минуту наполняется $\frac{1}{20}$ часть бассейна, чтобы найти, какая часть наполнится за несколько минут, нужно умножить эту дробь на количество минут.

2 мин

За 2 минуты наполнится: $2 \cdot \frac{1}{20} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$ часть бассейна.
Ответ: $\frac{1}{10}$

4 мин

За 4 минуты наполнится: $4 \cdot \frac{1}{20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$ часть бассейна.
Ответ: $\frac{1}{5}$

10 мин

За 10 минут наполнится: $10 \cdot \frac{1}{20} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$ часть бассейна.
Ответ: $\frac{1}{2}$

20 мин

За 20 минут наполнится: $20 \cdot \frac{1}{20} = \frac{20}{20} = 1$, то есть весь бассейн.
Ответ: 1 (весь бассейн)

За сколько минут наполнится весь бассейн?

Весь бассейн принимаем за 1. Чтобы найти общее время, нужно разделить всю работу (1) на производительность (часть, наполняемую за минуту, то есть $\frac{1}{20}$):
$1 \div \frac{1}{20} = 1 \cdot \frac{20}{1} = 20$ минут.
Ответ: за 20 минут.

914. За минуту через первую трубу наполняется $\frac{1}{20}$ бассейна, а через вторую трубу — $\frac{1}{10}$ бассейна.

а) Какую часть бассейна наполнят обе трубы за 1 мин?

б) Какую часть бассейна наполнят обе трубы за 6 мин?

в) Наполнится ли бассейн через обе трубы за 8 мин?

а) Какую часть бассейна наполнят обе трубы за 1 мин?

Чтобы найти, какую часть бассейна наполнят обе трубы за 1 минуту, необходимо сложить их производительности (части бассейна, наполняемые за минуту).

Производительность первой трубы: $\frac{1}{20}$ бассейна в минуту.

Производительность второй трубы: $\frac{1}{10}$ бассейна в минуту.

Суммарная производительность:

$\frac{1}{20} + \frac{1}{10}$

Приведем дроби к общему знаменателю 20:

$\frac{1}{20} + \frac{1 \cdot 2}{10 \cdot 2} = \frac{1}{20} + \frac{2}{20} = \frac{1+2}{20} = \frac{3}{20}$

Ответ: за 1 минуту обе трубы вместе наполнят $\frac{3}{20}$ бассейна.

б) Какую часть бассейна наполнят обе трубы за 6 мин?

Чтобы найти, какую часть бассейна наполнят обе трубы за 6 минут, нужно их суммарную минутную производительность умножить на 6.

$\frac{3}{20} \cdot 6 = \frac{3 \cdot 6}{20} = \frac{18}{20}$

Сократим полученную дробь на 2:

$\frac{18 \div 2}{20 \div 2} = \frac{9}{10}$

Ответ: за 6 минут обе трубы наполнят $\frac{9}{10}$ бассейна.

в) Наполнится ли бассейн через обе трубы за 8 мин?

Чтобы определить, наполнится ли бассейн, вычислим, какая его часть будет заполнена за 8 минут. Для этого умножим суммарную производительность труб на 8.

$\frac{3}{20} \cdot 8 = \frac{3 \cdot 8}{20} = \frac{24}{20}$

Полностью наполненный бассейн принимается за 1, или $\frac{20}{20}$.

Сравним полученный результат с 1:

$\frac{24}{20} > \frac{20}{20}$, так как числитель $24$ больше знаменателя $20$.

Это означает, что за 8 минут бассейн будет полностью наполнен и даже переполнится.

Ответ: да, бассейн наполнится.