Номер 907, страница 200 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

907. Могут ли взаимно обратные числа быть одновременно:

а) меньше $1$;

б) больше $1$;

в) равны $1$?

Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1. Пусть у нас есть два числа, $a$ и $b$. Они взаимно обратные, если $a \cdot b = 1$. Отсюда следует, что $b = \frac{1}{a}$ (при условии, что $a \ne 0$).

Проверим, могут ли два взаимно обратных числа быть одновременно меньше 1. То есть, могут ли одновременно выполняться неравенства $a < 1$ и $b < 1$.

Рассмотрим два случая.

1. Если числа положительные ($a > 0, b > 0$). Если $a < 1$, то $b = \frac{1}{a}$ будет больше 1. Например, если $a = 0.5$, то $b = \frac{1}{0.5} = 2$. Здесь $a < 1$, а $b > 1$. Значит, для положительных чисел это невозможно.

2. Если числа отрицательные ($a < 0, b < 0$). Любое отрицательное число по определению меньше 1. Если взять любое отрицательное число $a$, например, $a = -4$, то оно будет меньше 1. Обратное ему число $b = \frac{1}{-4} = -0.25$. Это число также отрицательное, а значит, тоже меньше 1. Их произведение: $(-4) \cdot (-0.25) = 1$.

Таким образом, два взаимно обратных числа могут быть одновременно меньше 1, если они оба отрицательные.

Ответ: Да, могут. Например, числа -5 и -0,2.

Проверим, могут ли два взаимно обратных числа $a$ и $b$ быть одновременно больше 1. То есть, могут ли одновременно выполняться неравенства $a > 1$ и $b > 1$.

Если $a > 1$ и $b > 1$, то их произведение $a \cdot b$ должно быть больше, чем $1 \cdot 1$. То есть, $a \cdot b > 1$.

Однако по определению взаимно обратных чисел их произведение равно 1 ($a \cdot b = 1$).

Мы получили противоречие. Это означает, что наше предположение было неверным. Два взаимно обратных числа не могут быть одновременно больше 1.

Ответ: Нет, не могут.

Проверим, могут ли два взаимно обратных числа $a$ и $b$ быть одновременно равны 1. То есть, $a = 1$ и $b = 1$.

Подставим эти значения в определение взаимно обратных чисел: $a \cdot b = 1$.

$1 \cdot 1 = 1$.

Равенство является верным. Это означает, что число 1 является обратным самому себе. Следовательно, два взаимно обратных числа могут быть одновременно равны 1.

Ответ: Да, могут. Это случай, когда оба числа равны 1.