Номер 906, страница 200 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

906. Могут ли взаимно обратные числа быть одновременно:

а) правильными дробями;

б) неправильными дробями;

в) натуральными числами?

Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1. Пусть даны два числа $a$ и $b$. Они являются взаимно обратными, если выполняется равенство $a \cdot b = 1$.

а) правильными дробями;

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Любая положительная правильная дробь меньше 1. Пусть $a$ и $b$ — два взаимно обратных числа, и оба являются правильными дробями. Тогда $0 < a < 1$ и $0 < b < 1$. Если перемножить два положительных числа, каждое из которых меньше 1, то их произведение также будет меньше 1. Следовательно, $a \cdot b < 1$.

Это противоречит определению взаимно обратных чисел, согласно которому их произведение должно быть равно 1. Например, если взять правильную дробь $a = \frac{2}{3}$, то обратное ей число $b = \frac{1}{a} = \frac{1}{2/3} = \frac{3}{2}$. Дробь $\frac{3}{2}$ является неправильной, а не правильной.

Таким образом, два взаимно обратных числа не могут быть одновременно правильными дробями.

Ответ: нет, не могут.

б) неправильными дробями;

Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. Любая неправильная дробь больше или равна 1. Пусть $a$ и $b$ — две взаимно обратные неправильные дроби. Это означает, что $a \ge 1$, $b \ge 1$ и их произведение $a \cdot b = 1$.

Если хотя бы одно из чисел, например $a$, строго больше 1 ($a > 1$), то второе число $b$ должно быть строго меньше 1 ($b = \frac{1}{a} < 1$), чтобы их произведение равнялось 1. Число, которое меньше 1, является правильной дробью, а не неправильной. Значит, этот случай невозможен.

Единственная возможность, при которой произведение двух чисел, больших или равных 1, равно 1, — это когда оба числа равны 1. Число 1 можно представить в виде неправильной дроби, например $\frac{1}{1}$ или $\frac{4}{4}$. В этом случае $a=1$, $b=1$, оба числа являются неправильными дробями, и их произведение $1 \cdot 1 = 1$.

Следовательно, два взаимно обратных числа могут быть одновременно неправильными дробями, если каждое из них равно 1.

Ответ: да, могут, если это число 1.

в) натуральными числами?

Натуральные числа — это целые положительные числа: 1, 2, 3, и так далее. Пусть $a$ и $b$ — два взаимно обратных натуральных числа. Это означает, что $a$ и $b$ — натуральные числа и $a \cdot b = 1$.

Поскольку $a$ и $b$ — натуральные, то они не могут быть меньше 1, то есть $a \ge 1$ и $b \ge 1$. Если предположить, что хотя бы одно из чисел больше 1 (например, $a=2$), то обратное ему число $b=\frac{1}{a}=\frac{1}{2}$ уже не будет натуральным числом.

Единственный случай, когда произведение двух натуральных чисел равно 1, это когда оба этих числа равны 1. Число 1 является натуральным числом. Проверяем: $a=1$, $b=1$. $1 \cdot 1 = 1$.

Таким образом, взаимно обратные числа могут быть натуральными, только если оба они равны 1.

Ответ: да, могут, если это число 1.