Номер 909, страница 200 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

909. а) Число 2 умножили на некоторую правильную дробь. Какое число получится: большее или меньшее 2?

б) Может ли при умножении числа 3 на некоторую правильную дробь получиться число, меньшее 1? Если да, то приведите два примера.

в) Может ли при умножении числа 4 на некоторую правильную дробь получиться число, большее 1? Если да, то приведите два примера.

г) Верно ли, что при умножении натурального числа на правильную дробь получится число, меньшее этого натурального числа? Если да, то приведите два примера.

а) Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя, поэтому ее значение всегда меньше 1. При умножении любого положительного числа на число, которое меньше 1, результат всегда будет меньше исходного числа. Поскольку 2 умножается на правильную дробь (число меньше 1), результат будет меньше 2.

Ответ: получится число, меньшее 2.

б) Да, может. Для этого необходимо, чтобы произведение числа 3 на некоторую правильную дробь было меньше 1. Обозначим правильную дробь как $x$. Тогда должно выполняться неравенство $3 \times x < 1$, из которого следует, что $x < \frac{1}{3}$. Таким образом, нам нужно выбрать любую правильную дробь, которая меньше $ \frac{1}{3} $.

Пример 1: Возьмем дробь $ \frac{1}{4} $. Она является правильной и удовлетворяет условию $ \frac{1}{4} < \frac{1}{3} $. Произведение равно $ 3 \times \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $, что меньше 1.

Пример 2: Возьмем дробь $ \frac{1}{5} $. Она является правильной и удовлетворяет условию $ \frac{1}{5} < \frac{1}{3} $. Произведение равно $ 3 \times \frac{1}{5} = \frac{3}{5} $, что меньше 1.

Ответ: да, может. Примеры: $ 3 \times \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $ и $ 3 \times \frac{1}{5} = \frac{3}{5} $.

в) Да, может. Для этого необходимо, чтобы произведение числа 4 на некоторую правильную дробь было больше 1. Обозначим правильную дробь как $x$. Тогда должно выполняться неравенство $4 \times x > 1$, из которого следует, что $x > \frac{1}{4}$. Так как дробь должна быть правильной, она также должна быть меньше 1. Следовательно, нужно выбрать любую правильную дробь, которая больше $ \frac{1}{4} $ и меньше 1.

Пример 1: Возьмем дробь $ \frac{1}{2} $. Она является правильной и удовлетворяет условию $ \frac{1}{2} > \frac{1}{4} $. Произведение равно $ 4 \times \frac{1}{2} = 2 $, что больше 1.

Пример 2: Возьмем дробь $ \frac{2}{3} $. Она является правильной и удовлетворяет условию $ \frac{2}{3} > \frac{1}{4} $ (так как $2 \times 4 > 3 \times 1$). Произведение равно $ 4 \times \frac{2}{3} = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} $, что больше 1.

Ответ: да, может. Примеры: $ 4 \times \frac{1}{2} = 2 $ и $ 4 \times \frac{2}{3} = \frac{8}{3} $.

г) Да, это утверждение верно. Правильная дробь по определению всегда меньше 1. Пусть $N$ – любое натуральное число, а $x$ – любая правильная дробь. Так как $N > 0$ и $0 < x < 1$, то при их умножении произведение $N \times x$ всегда будет меньше $N$. Это следует из свойств неравенств: если обе части верного неравенства $x < 1$ умножить на положительное число $N$, то знак неравенства не изменится, и мы получим $N \times x < N \times 1$, то есть $N \times x < N$.

Пример 1: Натуральное число 5 и правильная дробь $ \frac{2}{3} $. Произведение $ 5 \times \frac{2}{3} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} $. Результат $3\frac{1}{3}$ меньше 5.

Пример 2: Натуральное число 10 и правильная дробь $ \frac{1}{2} $. Произведение $ 10 \times \frac{1}{2} = 5 $. Результат 5 меньше 10.

Ответ: да, верно. Примеры: $ 5 \times \frac{2}{3} = 3\frac{1}{3} < 5 $ и $ 10 \times \frac{1}{2} = 5 < 10 $.