Номер 847, страница 189 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

847. На рисунке 165 изображён отрезок AB, разделённый на четыре равные части. $AB = 12$ см.

а) Найдите длины отрезков AC и CB.

б) С помощью рисунка, покажите, что $\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}$.

Рис. 165

а)

По условию, отрезок $AB$ длиной $12$ см разделён на четыре равные части. Чтобы найти длину одной такой части, нужно общую длину разделить на количество частей:

$12 \text{ см} \div 4 = 3 \text{ см}$

Из рисунка видно, что отрезок $AC$ состоит из одной такой части. Следовательно, его длина равна:

$AC = 1 \cdot 3 \text{ см} = 3 \text{ см}$

Отрезок $CB$ состоит из оставшихся трёх частей. Следовательно, его длина равна:

$CB = 3 \cdot 3 \text{ см} = 9 \text{ см}$

Проверить можно, сложив длины отрезков $AC$ и $CB$: $3 \text{ см} + 9 \text{ см} = 12 \text{ см}$, что равно длине отрезка $AB$.

Ответ: $AC = 3$ см, $CB = 9$ см.

б)

Примем весь отрезок $AB$ за единицу (целое). Так как он разделён на 4 равные части, то каждая часть составляет $\frac{1}{4}$ от всего отрезка.

Отрезок $AC$ состоит из одной части, значит, его длина составляет $\frac{1}{4}$ длины отрезка $AB$.

Отрезок $CB$ состоит из трёх частей, значит, его длина составляет $\frac{3}{4}$ длины отрезка $AB$.

Сумма длин отрезков $AC$ и $CB$ равна длине всего отрезка $AB$. В долях это можно записать так: $\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} = 1$. Это соответствует сложению отрезка $AC$ и отрезка $CB$, что в итоге дает целый отрезок $AB$.

Равенство $\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}$ иллюстрирует переместительный закон сложения. На рисунке это означает, что если мы сложим длину отрезка $AC$ (1 часть) с длиной отрезка $CB$ (3 части), мы получим тот же результат (весь отрезок $AB$), что и при сложении длины отрезка $CB$ (3 части) с длиной отрезка $AC$ (1 часть). В обоих случаях мы получаем 4 части, то есть целый отрезок $AB$.

Ответ: Отрезок AC составляет $\frac{1}{4}$ всего отрезка AB, а отрезок CB составляет $\frac{3}{4}$ отрезка AB. Сумма этих частей, $AC + CB$, дает весь отрезок AB, что соответствует выражению $\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$. Так как от перестановки слагаемых сумма не меняется, то и $\frac{3}{4} + \frac{1}{4}$ также соответствует всему отрезку AB. Таким образом, рисунок показывает, что $\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}$.