Номер 845, страница 189 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

845. Выполняется ли для дробей переместительный закон сложения; сочетательный закон сложения?

Да, для дробей выполняются как переместительный, так и сочетательный законы сложения. Рассмотрим каждый из них подробно.

переместительный закон сложения

Переместительный (или коммутативный) закон сложения гласит, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется. Для любых чисел $a$ и $b$ справедливо равенство: $a + b = b + a$.

Докажем, что этот закон выполняется для дробей. Возьмём две произвольные дроби $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$.

1. Сложим их в порядке $\frac{a}{b} + \frac{c}{d}$. Для этого приведём дроби к общему знаменателю $bd$:
$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot d} + \frac{c \cdot b}{d \cdot b} = \frac{ad + cb}{bd}$

2. Теперь сложим их в обратном порядке $\frac{c}{d} + \frac{a}{b}$. Общий знаменатель будет $db$:
$\frac{c}{d} + \frac{a}{b} = \frac{c \cdot b}{d \cdot b} + \frac{a \cdot d}{b \cdot d} = \frac{cb + ad}{db}$

Поскольку для целых чисел выполняются переместительные законы сложения ($ad + cb = cb + ad$) и умножения ($bd = db$), то полученные дроби равны:
$\frac{ad + cb}{bd} = \frac{cb + ad}{db}$

Таким образом, мы доказали, что $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{c}{d} + \frac{a}{b}$.

Пример:
$\frac{2}{5} + \frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3}{15} + \frac{1 \cdot 5}{15} = \frac{6+5}{15} = \frac{11}{15}$
$\frac{1}{3} + \frac{2}{5} = \frac{1 \cdot 5}{15} + \frac{2 \cdot 3}{15} = \frac{5+6}{15} = \frac{11}{15}$
Результаты одинаковы.

Ответ: Да, для дробей выполняется переместительный закон сложения.

сочетательный закон сложения

Сочетательный (или ассоциативный) закон сложения гласит, что результат сложения трёх и более слагаемых не зависит от порядка действий. Для любых чисел $a$, $b$ и $c$ справедливо равенство: $(a + b) + c = a + (b + c)$.

Докажем, что этот закон выполняется для дробей. Возьмём три произвольные дроби $\frac{a}{b}$, $\frac{c}{d}$ и $\frac{e}{f}$.

1. Найдём сумму, группируя первые два слагаемых: $(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}) + \frac{e}{f}$.
Сначала выполним сложение в скобках:
$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$
Затем прибавим третью дробь:
$(\frac{ad + bc}{bd}) + \frac{e}{f} = \frac{(ad + bc)f}{bdf} + \frac{e(bd)}{bdf} = \frac{adf + bcf + bde}{bdf}$

2. Теперь найдем сумму, группируя вторые два слагаемых: $\frac{a}{b} + (\frac{c}{d} + \frac{e}{f})$.
Сначала выполним сложение в скобках:
$\frac{c}{d} + \frac{e}{f} = \frac{cf + de}{df}$
Затем прибавим к первой дроби полученный результат:
$\frac{a}{b} + (\frac{cf + de}{df}) = \frac{a(df)}{bdf} + \frac{b(cf + de)}{bdf} = \frac{adf + bcf + bde}{bdf}$

Результаты в обоих случаях совпали. Это доказывает, что $(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}) + \frac{e}{f} = \frac{a}{b} + (\frac{c}{d} + \frac{e}{f})$.

Пример:
$(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) + \frac{1}{4} = (\frac{3}{6} + \frac{2}{6}) + \frac{1}{4} = \frac{5}{6} + \frac{1}{4} = \frac{10}{12} + \frac{3}{12} = \frac{13}{12}$
$\frac{1}{2} + (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) = \frac{1}{2} + (\frac{4}{12} + \frac{3}{12}) = \frac{1}{2} + \frac{7}{12} = \frac{6}{12} + \frac{7}{12} = \frac{13}{12}$
Результаты одинаковы.

Ответ: Да, для дробей выполняется сочетательный закон сложения.