Страница 168 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

749. а) Два путника вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через 3 ч. На какую часть первоначального расстояния они сближались каждый час?

б) Два путника вышли одновременно навстречу друг другу. Они проходят каждый час $\frac{1}{4}$ всего пути. Через сколько часов они встретятся?

а) Примем все первоначальное расстояние за 1 (одну целую). Путники вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через 3 часа. Это значит, что за 3 часа они вместе преодолели всё расстояние. Чтобы найти, на какую часть расстояния они сближались каждый час (то есть найти их скорость сближения), нужно всё расстояние разделить на время, за которое они его прошли.
$1 \div 3 = \frac{1}{3}$
Следовательно, каждый час путники сближались на $\frac{1}{3}$ часть первоначального расстояния.

Ответ: на $\frac{1}{3}$ часть.

б) Примем весь путь за 1 (одну целую). По условию, путники, двигаясь навстречу друг другу, каждый час проходят $\frac{1}{4}$ всего пути. Это и есть их скорость сближения. Чтобы найти, через сколько часов они встретятся, нужно весь путь разделить на их скорость сближения.
$1 \div \frac{1}{4} = 1 \times \frac{4}{1} = 4$ (ч)
Таким образом, встреча путников произойдет через 4 часа.

Ответ: через 4 часа.

750. а) Поезд проходит некоторое расстояние за 8 ч. Какую часть этого расстояния он пройдёт за 1 ч? за 2 ч? за 3 ч? за 8 ч?

б) Из семи дней недели было три солнечных дня. Какую часть недели составляет один день? Какую часть недели составляют солнечные дни?

в) В магазин привезли 200 лампочек; 5 из них оказались неисправными. Какую часть от числа всех лампочек составляют неисправные лампочки?

г) В букете было 4 розовых цветка и 3 белых. Какую часть всех цветов составляют белые цветы?

а) Если поезд проходит всё расстояние за 8 часов, то это время является целым (знаменателем дроби). Чтобы найти, какую часть расстояния он пройдёт за определённое время (числитель), нужно составить дробь.
За 1 час поезд пройдёт $\frac{1}{8}$ часть всего расстояния.
За 2 часа поезд пройдёт $\frac{2}{8}$ часть расстояния. Сократив эту дробь на 2, получим $\frac{1}{4}$.
За 3 часа поезд пройдёт $\frac{3}{8}$ часть расстояния.
За 8 часов поезд пройдёт $\frac{8}{8} = 1$, то есть всё расстояние.
Ответ: за 1 ч — $\frac{1}{8}$, за 2 ч — $\frac{1}{4}$, за 3 ч — $\frac{3}{8}$, за 8 ч — 1.

б) В неделе 7 дней, это общее количество (целое), которое будет знаменателем дроби. Один день является одной из семи частей, то есть составляет $\frac{1}{7}$ часть недели. Солнечных дней было три, поэтому они составляют $\frac{3}{7}$ части недели.
Ответ: один день составляет $\frac{1}{7}$ часть недели, а солнечные дни — $\frac{3}{7}$.

в) Чтобы найти, какую часть неисправные лампочки составляют от общего числа, нужно количество неисправных лампочек (5) разделить на общее количество лампочек (200). Получаем дробь $\frac{5}{200}$. Эту дробь можно сократить. Разделим числитель и знаменатель на 5: $ \frac{5 \div 5}{200 \div 5} = \frac{1}{40} $.
Ответ: $\frac{1}{40}$.

г) Сначала найдём общее количество цветов в букете. Для этого сложим количество розовых и белых цветов: $4 + 3 = 7$ цветов. Это общее количество (целое) будет знаменателем дроби. Белых цветов было 3 (часть от целого), это будет числителем. Таким образом, белые цветы составляют $\frac{3}{7}$ от всех цветов в букете.
Ответ: $\frac{3}{7}$.

751. Прочитайте дроби: $\frac{1}{2}$; $\frac{2}{5}$; $\frac{4}{7}$; $\frac{8}{3}$; $\frac{17}{17}$; $\frac{121}{30}$; $\frac{m}{3}$; $\frac{b}{2}$; $\frac{p}{q}$.

Для того чтобы правильно прочитать дроби, необходимо следовать правилам чтения числителя (число над чертой) и знаменателя (число под чертой) в русском языке.

• Числитель читается как количественное числительное. Если числитель равен 1, используется его форма женского рода – «одна». Если числитель равен 2, также используется форма женского рода – «две».
• Знаменатель читается как порядковое числительное. Его падеж и число зависят от числителя:
  • Если числитель – «одна» (или составное числительное, оканчивающееся на «одна», например, «тридцать одна»), то знаменатель ставится в именительном падеже единственного числа женского рода (например, одна седьмая, тридцать одна сотая).
  • Во всех остальных случаях (числитель 2, 3, 4, 5 и т.д.) знаменатель ставится в родительном падеже множественного числа (например, две седьмых, пять десятых).

Применим эти правила к каждой дроби из задания.

Числитель равен 1, читается как «одна». Знаменатель 2 в виде порядкового числительного женского рода в именительном падеже — «вторая».
Ответ: одна вторая.

Числитель равен 2, читается как «две». Знаменатель 5 в виде порядкового числительного ставится в родительный падеж множественного числа — «пятых».
Ответ: две пятых.

Числитель — «четыре». Знаменатель 7 в родительном падеже множественного числа — «седьмых».
Ответ: четыре седьмых.

Числитель — «восемь». Знаменатель 3 в родительном падеже множественного числа — «третьих».
Ответ: восемь третьих.

Числитель — «семнадцать». Знаменатель 17 в родительном падеже множественного числа — «семнадцатых».
Ответ: семнадцать семнадцатых.

Числитель — «сто двадцать один». Так как он оканчивается на «один», используется форма женского рода «сто двадцать одна». Знаменатель 30 в этом случае ставится в именительный падеж единственного числа женского рода — «тридцатая».
Ответ: сто двадцать одна тридцатая.

Для дробей с буквенным числителем используется тот же принцип. Название буквы $ m $ («эм») выступает в роли числителя. По умолчанию для переменных используется правило родительного падежа множественного числа для знаменателя — «третьих».
Ответ: эм третьих.

Аналогично предыдущему примеру, название буквы $ b $ («бэ») — числитель. Знаменатель 2 ставится в родительный падеж множественного числа — «вторых».
Ответ: бэ вторых.

Когда обе части дроби — буквы, чтение происходит по тому же правилу. Название буквы $ p $ («пэ») — числитель, а для знаменателя $ q $ («ку») используется условная форма родительного падежа множественного числа — «кутых». Также возможен описательный вариант: «пэ, делённое на ку».
Ответ: пэ кутых.

752. а) Какое число называют рациональным числом?

б) Как ещё называют рациональное число?

в) Является ли натуральное число рациональным числом?

а) Рациональным числом называют любое число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где числитель $m$ является целым числом (может быть положительным, отрицательным или нулём), а знаменатель $n$ — натуральным числом (то есть целым положительным числом). Множество всех рациональных чисел обозначается символом $\mathbb{Q}$.

Например, числа $5$, $-2$, $\frac{3}{4}$, $0.7$, $-1.23$ являются рациональными, так как их можно представить в виде дроби:

• $5 = \frac{5}{1}$
• $-2 = \frac{-2}{1}$
• $\frac{3}{4}$ (уже в нужном виде)
• $0.7 = \frac{7}{10}$
• $-1.23 = -\frac{123}{100} = \frac{-123}{100}$

Ответ: Число, которое можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное.

б) Название "рациональное число" происходит от латинского слова ratio, что означает "отношение", "деление", "дробь". Поэтому рациональное число — это, по сути, число, выражающее отношение двух целых чисел. Строгого синонима, который бы полностью заменял термин "рациональное число", в математике нет, но его суть можно описать как "дробное число" в широком смысле, включающее целые числа и обыкновенные дроби.

Также любое рациональное число можно представить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.

Ответ: Рациональное число можно назвать отношением целого числа к натуральному.

в) Да, любое натуральное число является рациональным числом. Это следует из определения рационального числа.

Натуральные числа — это числа, которые мы используем для счёта: $1, 2, 3, 4, \dots$

Любое натуральное число $k$ можно представить в виде дроби, у которой в знаменателе стоит единица: $k = \frac{k}{1}$. В этой записи числитель $m=k$ является целым числом (так как все натуральные числа входят в множество целых), а знаменатель $n=1$ является натуральным числом. Так как это представление соответствует определению рационального числа, то все натуральные числа являются рациональными.

Например, число $7$ — натуральное, и его можно записать как дробь $\frac{7}{1}$, что делает его рациональным.

Ответ: Да, является.

753. Запишите пять каких-либо обыкновенных дробей. Прочитайте их, назовите числители и знаменатели.

Первая обыкновенная дробь: $\frac{1}{2}$. Эта запись читается как «одна вторая». Число, которое находится над дробной чертой, называется числителем, в данном случае это 1. Число под дробной чертой называется знаменателем, здесь это 2.
Ответ: дробь $\frac{1}{2}$ (одна вторая), числитель — 1, знаменатель — 2.

Вторая обыкновенная дробь: $\frac{3}{4}$. Эта дробь читается как «три четвертых». Числитель этой дроби равен 3, а знаменатель равен 4.
Ответ: дробь $\frac{3}{4}$ (три четвертых), числитель — 3, знаменатель — 4.

Третья обыкновенная дробь: $\frac{5}{8}$. Эта дробь читается как «пять восьмых». Числитель этой дроби — 5, а знаменатель — 8.
Ответ: дробь $\frac{5}{8}$ (пять восьмых), числитель — 5, знаменатель — 8.

Четвертая обыкновенная дробь: $\frac{2}{3}$. Эта дробь читается как «две третьих». Числитель этой дроби равен 2, а знаменатель равен 3.
Ответ: дробь $\frac{2}{3}$ (две третьих), числитель — 2, знаменатель — 3.

Пятая обыкновенная дробь: $\frac{7}{10}$. Эта дробь читается как «семь десятых». Числитель этой дроби равен 7, а знаменатель равен 10.
Ответ: дробь $\frac{7}{10}$ (семь десятых), числитель — 7, знаменатель — 10.

754. Назовите три дроби:

а) с числителем 3;

б) со знаменателем 10.

а) с числителем 3

Чтобы назвать три дроби с числителем 3, нужно зафиксировать число 3 в числителе (над чертой дроби) и выбрать три произвольных натуральных числа для знаменателя (под чертой дроби). Важно помнить, что знаменатель не может быть равен нулю. Возьмем, к примеру, числа 4, 7 и 15 в качестве знаменателей.

Тогда мы получим следующие три дроби:

$\frac{3}{4}$, $\frac{3}{7}$, $\frac{3}{15}$

Ответ: $\frac{3}{4}$, $\frac{3}{7}$, $\frac{3}{15}$.

б) со знаменателем 10

Чтобы назвать три дроби со знаменателем 10, нужно зафиксировать число 10 в знаменателе и выбрать три произвольных натуральных числа для числителя. Возьмем, к примеру, числа 1, 3 и 9 в качестве числителей.

Тогда мы получим следующие три дроби:

$\frac{1}{10}$, $\frac{3}{10}$, $\frac{9}{10}$

Ответ: $\frac{1}{10}$, $\frac{3}{10}$, $\frac{9}{10}$.

755. Запишите две дроби, у которых:

а) числитель на 2 больше знаменателя;

б) знаменатель на 4 больше числителя.

а) числитель на 2 больше знаменателя;

Согласно условию, числитель дроби должен быть на 2 больше, чем ее знаменатель. Если мы обозначим знаменатель переменной $d$, то числитель будет равен $d + 2$. Таким образом, дробь будет иметь вид $\frac{d+2}{d}$. Единственное ограничение заключается в том, что знаменатель дроби не может быть равен нулю, то есть $d \neq 0$.

Для нахождения двух таких дробей выберем два произвольных значения для знаменателя:

1. Пусть знаменатель $d = 3$. Тогда числитель будет равен $3 + 2 = 5$. Получаем дробь $\frac{5}{3}$.

2. Пусть знаменатель $d = 7$. Тогда числитель будет равен $7 + 2 = 9$. Получаем дробь $\frac{9}{7}$.

Ответ: $\frac{5}{3}$ и $\frac{9}{7}$.

б) знаменатель на 4 больше числителя.

Согласно условию, знаменатель дроби должен быть на 4 больше, чем ее числитель. Если мы обозначим числитель переменной $n$, то знаменатель будет равен $n + 4$. Таким образом, дробь будет иметь вид $\frac{n}{n+4}$. Знаменатель не должен быть равен нулю, значит $n+4 \neq 0$, или $n \neq -4$.

Для нахождения двух таких дробей выберем два произвольных значения для числителя:

1. Пусть числитель $n = 1$. Тогда знаменатель будет равен $1 + 4 = 5$. Получаем дробь $\frac{1}{5}$.

2. Пусть числитель $n = 6$. Тогда знаменатель будет равен $6 + 4 = 10$. Получаем дробь $\frac{6}{10}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$ и $\frac{6}{10}$.