Страница 157 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

713. На рисунке 147, а линия проведена так, чтобы она пересекала каждую сторону каждого маленького прямоугольника только один раз. Можно ли такую линию нарисовать на рисунке 147, б? Если можно, то покажите как, если нельзя, то объясните почему.

а) б) Рис. 147

б) Нарисовать такую линию на рисунке 147, б, нельзя. Объясним почему, используя понятия из теории графов.

Задачу можно переформулировать так: можно ли найти путь, который пересекает каждый отрезок на рисунке ровно один раз? Разобьем всю плоскость на 6 областей: 5 маленьких прямоугольников и одна внешняя область, окружающая их. Обозначим прямоугольники верхнего ряда слева направо как $R_1, R_2, R_3$, а прямоугольники нижнего ряда — $R_4, R_5$. Внешнюю область обозначим как $O$.

Построим граф, который называется двойственным. Вершинами этого графа будут наши 6 областей ($R_1, R_2, R_3, R_4, R_5, O$). Две вершины мы соединим ребром, если соответствующие им области имеют общий отрезок-границу. Наша искомая линия должна пройти по каждому ребру этого графа ровно один раз. Такой путь в теории графов называется эйлеровым путем.

Эйлеров путь в графе существует тогда и только тогда, когда граф связный и число вершин с нечетной степенью (количеством выходящих из них ребер) равно 0 или 2.

Найдем степени всех вершин нашего двойственного графа. Степень вершины равна количеству отрезков, ограничивающих соответствующую область. Для этого внимательно посчитаем все отрезки на рисунке. Ключевая особенность фигуры — наличие T-образного перекрестка в центре, где сходятся границы трех прямоугольников ($R_2, R_4, R_5$). Этот перекресток приводит к тому, что некоторые стороны прямоугольников состоят из нескольких отрезков.

Степень вершины, соответствующей области $R_1$ (верхний левый прямоугольник), равна 4 (четная).

Степень вершины для области $R_2$ (верхний средний) равна 5 (нечетная), так как его нижняя сторона разделена T-образным перекрестком на два отрезка.

Степень вершины для области $R_3$ (верхний правый) равна 4 (четная).

Степень вершины для области $R_4$ (нижний левый) равна 5 (нечетная), так как его верхняя сторона также разделена на два отрезка.

Степень вершины для области $R_5$ (нижний правый) равна 5 (нечетная) по той же причине.

Степень вершины для внешней области $O$ равна количеству отрезков на внешнем периметре фигуры, которых 9 (3 сверху, 2 справа, 2 снизу, 2 слева). Таким образом, степень равна 9 (нечетная).

Итак, мы имеем четыре вершины с нечетной степенью: $R_2$ (степень 5), $R_4$ (степень 5), $R_5$ (степень 5) и $O$ (степень 9).

Поскольку число вершин с нечетной степенью равно 4, что больше 2, то в данном графе не существует эйлерова пути. Следовательно, невозможно провести линию, которая пересекала бы каждую сторону каждого маленького прямоугольника ровно один раз.

Ответ: нельзя.