Страница 150 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

680. Чему равно наименьшее общее кратное взаимно простых чисел?

Взаимно простыми называются натуральные числа, у которых наибольший общий делитель (НОД) равен 1.

Для нахождения наименьшего общего кратного (НОК) двух чисел $a$ и $b$ существует общая формула, которая связывает НОК и НОД: $НОК(a, b) \cdot НОД(a, b) = a \cdot b$

Из этой формулы можно выразить НОК: $НОК(a, b) = \frac{a \cdot b}{НОД(a, b)}$

Так как по определению для взаимно простых чисел $НОД(a, b) = 1$, подставим это значение в формулу: $НОК(a, b) = \frac{a \cdot b}{1} = a \cdot b$

Следовательно, наименьшее общее кратное взаимно простых чисел равно их произведению.

Например, числа 7 и 9 взаимно простые. Их НОК равен $7 \cdot 9 = 63$.

Ответ: Произведению этих чисел.

681. Найдите несколько чисел, кратных 10, и несколько чисел, кратных 15. Найдите несколько общих кратных чисел 10 и 15. Чему равно наименьшее общее кратное чисел 10 и 15?

Найдите несколько чисел, кратных 10

Число, кратное 10, — это число, которое делится на 10 без остатка. Чтобы найти такие числа, нужно умножить 10 на любое натуральное число. Например:

$10 \cdot 2 = 20$

$10 \cdot 5 = 50$

$10 \cdot 12 = 120$

Ответ: 20, 50, 120.

и несколько чисел, кратных 15

Аналогично, число, кратное 15, — это число, которое делится на 15 без остатка. Найдем их, умножая 15 на натуральные числа:

$15 \cdot 1 = 15$

$15 \cdot 3 = 45$

$15 \cdot 6 = 90$

Ответ: 15, 45, 90.

Найдите несколько общих кратных чисел 10 и 15

Общие кратные — это числа, которые являются кратными одновременно и для 10, и для 15. Чтобы их найти, можно выписать ряды кратных для каждого числа и найти совпадающие числа.

Кратные 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120, ...

Кратные 15: 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, ...

Из этих рядов видно, что общими кратными являются 30, 60, 90 и так далее.

Ответ: 30, 60, 90.

Чему равно наименьшее общее кратное чисел 10 и 15?

Наименьшее общее кратное (НОК) — это самое маленькое натуральное число, которое делится и на 10, и на 15. Существует несколько способов его нахождения.

Способ 1: Поиск по списку общих кратных.

Из списка общих кратных (30, 60, 90, ...), найденного в предыдущем пункте, нужно выбрать наименьшее. Это число 30.

Способ 2: Разложение на простые множители.

Сначала разложим каждое число на простые множители:

$10 = 2 \cdot 5$

$15 = 3 \cdot 5$

Далее, чтобы найти НОК, нужно выписать множители первого числа ($2$ и $5$) и домножить их на недостающие множители из второго числа (в данном случае, множитель $3$).

$НОК(10, 15) = 2 \cdot 5 \cdot 3 = 30$

Ответ: 30.

682. Найдите:

а) $НОК (6, 8);$

б) $НОК (15, 25);$

в) $НОК (16, 12);$

г) $НОК (48, 42);$

д) $НОК (35, 20);$

е) $НОК (56, 63).$

Наименьшее общее кратное (НОК) – это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из данных чисел без остатка. Чтобы найти НОК, нужно разложить числа на простые множители, а затем взять каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножить их.

а)

Найдем НОК для чисел 6 и 8. Сначала разложим их на простые множители:

$6 = 2 \cdot 3$

$8 = 2^3$

Выбираем множители в наибольшей степени: $2^3$ и $3^1$.

НОК(6, 8) = $2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$.

Ответ: 24

б)

Найдем НОК для чисел 15 и 25. Разложим их на простые множители:

$15 = 3 \cdot 5$

$25 = 5^2$

Выбираем множители в наибольшей степени: $3^1$ и $5^2$.

НОК(15, 25) = $3 \cdot 5^2 = 3 \cdot 25 = 75$.

Ответ: 75

в)

Найдем НОК для чисел 16 и 12. Разложим их на простые множители:

$16 = 2^4$

$12 = 2^2 \cdot 3$

Выбираем множители в наибольшей степени: $2^4$ и $3^1$.

НОК(16, 12) = $2^4 \cdot 3 = 16 \cdot 3 = 48$.

Ответ: 48

г)

Найдем НОК для чисел 48 и 42. Разложим их на простые множители:

$48 = 2^4 \cdot 3$

$42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$

Выбираем множители в наибольшей степени: $2^4$, $3^1$ и $7^1$.

НОК(48, 42) = $2^4 \cdot 3 \cdot 7 = 16 \cdot 3 \cdot 7 = 336$.

Ответ: 336

д)

Найдем НОК для чисел 35 и 20. Разложим их на простые множители:

$35 = 5 \cdot 7$

$20 = 2^2 \cdot 5$

Выбираем множители в наибольшей степени: $2^2$, $5^1$ и $7^1$.

НОК(35, 20) = $2^2 \cdot 5 \cdot 7 = 4 \cdot 5 \cdot 7 = 140$.

Ответ: 140

е)

Найдем НОК для чисел 56 и 63. Разложим их на простые множители:

$56 = 2^3 \cdot 7$

$63 = 3^2 \cdot 7$

Выбираем множители в наибольшей степени: $2^3$, $3^2$ и $7^1$.

НОК(56, 63) = $2^3 \cdot 3^2 \cdot 7 = 8 \cdot 9 \cdot 7 = 504$.

Ответ: 504

683. Найдите:

а) $НОК(6, 12)$;

б) $НОК(40, 8)$;

в) $НОК(51, 17)$;

г) $НОК(33, 3)$;

д) $НОК(34, 2)$;

е) $НОК(16, 48)$.

а) Чтобы найти Наименьшее Общее Кратное (НОК) для чисел 6 и 12, нужно определить наименьшее натуральное число, которое делится на оба этих числа без остатка.
В данном случае, число 12 делится на 6 без остатка: $12 \div 6 = 2$.
Если одно из чисел делится на другое, то их НОК равен большему из этих чисел.
Следовательно, НОК(6, 12) = 12.
Ответ: 12

б) Найдем НОК для чисел 40 и 8.
Число 40 делится на 8 без остатка: $40 \div 8 = 5$.
Так как 40 является кратным 8, НОК этих чисел равен большему из них, то есть 40.
Следовательно, НОК(40, 8) = 40.
Ответ: 40

в) Найдем НОК для чисел 51 и 17.
Проверим, делится ли 51 на 17: $51 \div 17 = 3$.
Поскольку 51 делится на 17 нацело, НОК этих чисел равен большему из них.
Следовательно, НОК(51, 17) = 51.
Ответ: 51

г) Найдем НОК для чисел 33 и 3.
Число 33 делится на 3 без остатка: $33 \div 3 = 11$.
Поэтому НОК(33, 3) равен большему из этих чисел.
Следовательно, НОК(33, 3) = 33.
Ответ: 33

д) Найдем НОК для чисел 34 и 2.
Число 34 делится на 2 без остатка, так как оно четное: $34 \div 2 = 17$.
Таким образом, НОК этих чисел равен большему из них.
Следовательно, НОК(34, 2) = 34.
Ответ: 34

е) Найдем НОК для чисел 16 и 48.
Проверим, делится ли 48 на 16: $48 \div 16 = 3$.
Так как 48 кратно 16, НОК этих чисел равен большему из них.
Следовательно, НОК(16, 48) = 48.
Ответ: 48

684. Число 123 454 321 делится на 11 111. Найдите наименьшее общее кратное этих чисел, не выполняя разложения чисел на простые множители.

Обозначим данные числа как $a = 123 454 321$ и $b = 11 111$.

По условию задачи, число $a$ делится нацело на число $b$. Это означает, что $a$ является кратным числу $b$.

Наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел — это наименьшее натуральное число, которое является кратным каждому из этих чисел.

Рассмотрим общее правило: если число $a$ кратно числу $b$, то наименьшее общее кратное этих чисел равно большему из них, то есть $a$.

Проверим это правило на наших числах:

1. Число $a$ (123 454 321) делится само на себя.

2. Число $a$ (123 454 321) делится на $b$ (11 111) по условию задачи.

Следовательно, число $a$ является общим кратным для чисел $a$ и $b$. Так как любое общее кратное чисел $a$ и $b$ должно делиться на $a$, оно не может быть меньше, чем само число $a$. Таким образом, $a$ является наименьшим из всех возможных общих кратных.

Значит, $НОК(123 454 321, 11 111) = 123 454 321$.

Ответ: 123 454 321.

685. Найдите:

а) $НОК (135, 5);$

б) $НОК (120, 10);$

в) $НОК (432, 2);$

г) $НОК (234, 9);$

д) $НОК (123, 3);$

е) $НОК (16, 64).$

а) Найдем наименьшее общее кратное (НОК) чисел 135 и 5.

Наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка. Существует правило: если одно из двух чисел делится на другое, то их НОК равно большему из этих чисел.

Проверим, делится ли число 135 на 5. Согласно признаку делимости на 5, число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5. У числа 135 последняя цифра 5, следовательно, оно делится на 5.

$135 \div 5 = 27$

Поскольку 135 делится на 5, то НОК(135, 5) равен большему из этих чисел.

НОК(135, 5) = 135.

Ответ: 135.

б) Найдем НОК чисел 120 и 10.

Воспользуемся правилом: если одно из двух чисел делится на другое, то их НОК равно большему из этих чисел.

Проверим, делится ли 120 на 10. Число 120 оканчивается на 0, значит, оно делится на 10.

$120 \div 10 = 12$

Так как 120 делится на 10, НОК(120, 10) равен 120.

Ответ: 120.

в) Найдем НОК чисел 432 и 2.

Проверим, делится ли 432 на 2. Число 432 является четным, так как оканчивается на цифру 2, следовательно, оно делится на 2.

$432 \div 2 = 216$

Поскольку 432 делится на 2, то НОК(432, 2) равен большему из этих чисел, то есть 432.

Ответ: 432.

г) Найдем НОК чисел 234 и 9.

Проверим, делится ли 234 на 9. Согласно признаку делимости на 9, число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Найдем сумму цифр числа 234:

$2 + 3 + 4 = 9$

Сумма цифр равна 9, и $9 \div 9 = 1$. Значит, число 234 делится на 9.

$234 \div 9 = 26$

Так как 234 делится на 9, НОК(234, 9) равен 234.

Ответ: 234.

д) Найдем НОК чисел 123 и 3.

Проверим, делится ли 123 на 3. Согласно признаку делимости на 3, число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Найдем сумму цифр числа 123:

$1 + 2 + 3 = 6$

Сумма цифр равна 6, и $6 \div 3 = 2$. Значит, число 123 делится на 3.

$123 \div 3 = 41$

Так как 123 делится на 3, НОК(123, 3) равен 123.

Ответ: 123.

е) Найдем НОК чисел 16 и 64.

Проверим, делится ли большее число 64 на меньшее число 16.

$64 \div 16 = 4$

Поскольку 64 делится на 16 без остатка, то НОК(16, 64) равен большему из этих чисел, то есть 64.

Ответ: 64.

686. Известно, что число $a$ делится нацело на число $b$. Чему равно $\text{НОК}(a, b)$?

По определению, Наименьшее общее кратное (НОК) двух натуральных чисел $a$ и $b$ — это наименьшее натуральное число, которое делится нацело на каждое из этих чисел.

В условии задачи сказано, что число $a$ делится нацело на число $b$. Это означает, что $a$ уже является кратным для $b$.

Рассмотрим число $a$:
1. Число $a$ делится на $a$ (поскольку любое число делится само на себя).
2. Число $a$ делится на $b$ (согласно условию).

Из этого следует, что $a$ является общим кратным для чисел $a$ и $b$.

Поскольку любое другое общее кратное чисел $a$ и $b$ должно делиться на $a$, оно не может быть меньше самого числа $a$. Следовательно, $a$ является наименьшим из всех возможных общих кратных.

Таким образом, $НОК(a, b) = a$.

Также можно использовать формулу, связывающую НОК и Наибольший общий делитель (НОД):
$НОК(a, b) \cdot НОД(a, b) = a \cdot b$

Если число $a$ делится нацело на число $b$, то $b$ является делителем $a$. В этом случае их наибольший общий делитель равен самому $b$, то есть $НОД(a, b) = b$.

Подставим это значение в формулу:
$НОК(a, b) \cdot b = a \cdot b$

Разделив обе части уравнения на $b$ (при условии, что $b \ne 0$), получим:
$НОК(a, b) = a$

Ответ: $a$