Страница 143 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

640. Докажите, что, кроме числа $2$, не существует других чётных простых чисел.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся определениями простого и чётного чисел.

Простое число — это натуральное число, большее 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя.

Чётное число — это целое число, которое делится на 2 без остатка. Любое чётное число $N$ можно представить в виде $N = 2 \cdot k$, где $k$ — некоторое целое число.

1. Рассмотрим число 2. Оно является чётным, так как $2 = 2 \cdot 1$. Его натуральные делители — это 1 и 2. Поскольку у него ровно два делителя, оно, по определению, является простым числом. Таким образом, 2 — это чётное простое число.

2. Теперь рассмотрим любое другое чётное натуральное число $N$, такое что $N > 2$.

Поскольку число $N$ является чётным, оно по определению делится на 2. Это означает, что у числа $N$ есть как минимум три делителя:

• 1 (любое натуральное число делится на 1);
• 2 (так как $N$ — чётное);
• $N$ (любое число делится само на себя).

Так как мы рассматриваем случай, когда $N > 2$, все три перечисленных делителя (1, 2 и $N$) являются различными. Однако, по определению, простое число должно иметь только два различных делителя. Так как любое чётное число $N > 2$ имеет как минимум три различных делителя, оно не может быть простым. Оно является составным числом.

Таким образом, мы доказали, что единственным чётным простым числом является 2.

Ответ: Число 2 является чётным (делится на 2) и простым (имеет ровно два делителя: 1 и 2). Любое другое чётное число $N$ ($N > 2$) также делится на 2, а значит, имеет как минимум три делителя: 1, 2 и само число $N$. Это противоречит определению простого числа, у которого должно быть ровно два делителя. Следовательно, кроме 2, других чётных простых чисел не существует.

641. Можно ли простое число записать в виде суммы:

а) двух чётных чисел;

б) двух нечётных чисел;

в) чётного и нечётного чисел?

а) двух чётных чисел

Сумма двух чётных чисел всегда является чётным числом. Пусть даны два чётных натуральных числа $a$ и $b$. Их можно представить в виде $a = 2k$ и $b = 2m$, где $k$ и $m$ — натуральные числа. Их сумма будет равна:

$p = a + b = 2k + 2m = 2(k+m)$

Полученная сумма $p$ всегда делится на 2, то есть является чётным числом. Единственное простое число, которое является чётным, — это 2. Однако, наименьшая возможная сумма двух чётных натуральных чисел это $2+2=4$. Любая другая сумма будет больше 4. Так как любая сумма двух чётных натуральных чисел является чётным числом, большим 2, она будет составным числом (помимо 1 и себя, она будет делиться на 2). Следовательно, простое число нельзя записать в виде суммы двух чётных чисел.

Ответ: нет, нельзя.

б) двух нечётных чисел

Сумма двух нечётных чисел всегда является чётным числом. Пусть даны два нечётных числа $a$ и $b$. Их можно представить в виде $a = 2k+1$ и $b = 2m+1$, где $k$ и $m$ — целые неотрицательные числа. Их сумма будет равна:

$p = (2k+1) + (2m+1) = 2k+2m+2 = 2(k+m+1)$

Полученная сумма $p$ также всегда является чётным числом. Единственное простое чётное число — это 2. Проверим, можно ли получить 2 в виде суммы двух нечётных чисел. Да, можно, если взять наименьшее нечётное натуральное число 1:

$1 + 1 = 2$

Число 2 является простым. Поскольку мы нашли хотя бы один пример, когда простое число можно записать в виде суммы двух нечётных чисел, ответ на вопрос — да. Стоит отметить, что любое другое простое число (3, 5, 7, ...) является нечётным, а так как сумма двух нечётных чисел всегда чётная, то никакое другое простое число, кроме 2, так представить нельзя.

Ответ: да, можно. Например, $2 = 1+1$.

в) чётного и нечётного чисел

Сумма чётного и нечётного числа всегда является нечётным числом. Пусть даны чётное число $a = 2k$ и нечётное число $b = 2m+1$, где $k$ — натуральное число, а $m$ — целое неотрицательное число. Их сумма будет равна:

$p = 2k + (2m+1) = 2(k+m)+1$

Полученная сумма $p$ является нечётным числом. Все простые числа, кроме 2, являются нечётными. Возьмём любое нечётное простое число $p$. Его всегда можно представить в виде суммы чётного и нечётного числа. Например, если взять в качестве чётного слагаемого число 2, то второе слагаемое будет равно $p-2$. Так как $p$ — нечётное простое число (т.е. $p \ge 3$), то $p-2$ будет нечётным натуральным числом.

Примеры:

• $3 = 2 + 1$
• $5 = 2 + 3$
• $7 = 4 + 3$
• $13 = 6 + 7$

Поскольку любое нечётное простое число можно представить в виде такой суммы, то ответ на вопрос — да.

Ответ: да, можно. Например, $7 = 2+5$.

642. а) Может ли сумма двух простых чисел быть простым числом?

б) Верно ли, что сумма любых двух простых чисел является простым числом?

а) Да, сумма двух простых чисел может быть простым числом. Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя. Единственное четное простое число — это 2. Все остальные простые числа являются нечетными.

Рассмотрим два случая:

1. Сумма двух нечетных простых чисел. Сумма двух нечетных чисел всегда является четным числом. Так как любое простое число, кроме 2, нечетное, их сумма будет четным числом, большим 2, а значит, составным (поскольку будет делиться как минимум на 1, 2 и само себя). Например, $3 + 5 = 8$.
2. Сумма четного и нечетного простых чисел. Единственное четное простое число — это 2. Если мы сложим 2 с другим простым числом, результат может быть простым.

Приведем пример: возьмем простые числа 2 и 3.
Их сумма: $2 + 3 = 5$.
Число 5 является простым, так как делится только на 1 и 5. Следовательно, сумма двух простых чисел может быть простым числом.
Ответ: да, может.

б) Нет, это утверждение неверно. Утверждение "сумма любых двух простых чисел является простым числом" означает, что это правило должно выполняться для всех без исключения пар простых чисел. Чтобы его опровергнуть, достаточно найти хотя бы один пример, где это не так (контрпример).

Возьмем два простых числа: 3 и 5.
Найдем их сумму: $3 + 5 = 8$.
Число 8 не является простым (оно составное), так как его делителями являются 1, 2, 4 и 8.
Поскольку мы нашли пару простых чисел (3 и 5), сумма которых не является простым числом, исходное утверждение неверно.
Ответ: нет, неверно.

643. Некто пообещал дать 99 конфет тому, кто сумеет их разделить между четырьмя людьми так, чтобы каждому досталось нечётное число конфет. Почему этот приз до сих пор никому не удалось получить?

Эта задача не имеет решения из-за свойств четных и нечетных чисел.

Пусть количество конфет, которое получил каждый из четырех людей, это $k_1, k_2, k_3$ и $k_4$. Общее количество конфет равно 99, следовательно:
$k_1 + k_2 + k_3 + k_4 = 99$

По условию задачи, каждому должно достаться нечетное число конфет. Это означает, что все четыре числа $k_1, k_2, k_3, k_4$ — нечетные.

Теперь рассмотрим свойства сложения таких чисел:

• Сумма двух нечетных чисел всегда является четным числом (например, $3+5=8$).
• Сумма двух четных чисел всегда является четным числом (например, $4+6=10$).

Сгруппируем слагаемые в нашей сумме попарно:
$(k_1 + k_2) + (k_3 + k_4) = 99$

Так как $k_1$ и $k_2$ — нечетные, их сумма $(k_1 + k_2)$ будет четным числом.
Аналогично, сумма $k_3$ и $k_4$ также будет четным числом.

В результате мы получаем, что общая сумма конфет — это сумма двух четных чисел:
(четное число) + (четное число) = четное число.

Таким образом, сумма четырех нечетных чисел всегда должна быть четным числом. Однако по условию задачи эта сумма равна 99, что является нечетным числом.

Возникло противоречие: результат сложения должен быть четным, а он нечетный. Это доказывает, что выполнить условия задачи невозможно.

Ответ: Сумма четырех нечетных чисел всегда является четным числом. Поскольку общее количество конфет (99) — это нечетное число, разделить их таким образом невозможно.

644. В следующих записях замените буквы цифрами так, чтобы полученные числа делились на 3:

а) 35a25;
б) 4ab40;
в) 5a2b5;
г) 72ab8.

Какие из полученных чисел делятся на 5; делятся на 2; делятся на 10; делятся на 4?

Для того чтобы число делилось на 3 без остатка, необходимо, чтобы сумма всех его цифр делилась на 3. Используем это правило для решения задачи.

Найдем сумму известных цифр в числе: $3 + 5 + 2 + 5 = 15$. Сумма всех цифр равна $15 + a$. Так как 15 уже делится на 3, то для того, чтобы вся сумма делилась на 3, цифра `a` также должна быть кратна 3. Возможные значения для `a`: 0, 3, 6, 9.

Примеры чисел: 35025, 35325, 35625, 35925.

Ответ: Вместо `a` можно подставить цифры 0, 3, 6, 9. Например, число 35025.

Сумма известных цифр: $4 + 4 + 0 = 8$. Сумма всех цифр равна $8 + a + b$. Чтобы эта сумма делилась на 3, она должна быть равна одному из чисел 9, 12, 15, 18, ... . Следовательно, сумма `a + b` должна быть равна 1, 4, 7, 10, 13 или 16 (так как $8+1=9$, $8+4=12$ и т.д.).

Примеры пар (a, b) и чисел: если $a=1, b=0$, то $a+b=1$, число 41040; если $a=2, b=2$, то $a+b=4$, число 42240.

Ответ: Можно подставить любые цифры `a` и `b`, если их сумма равна 1, 4, 7, 10, 13 или 16. Например, число 41040.

Сумма известных цифр: $5 + 2 + 5 = 12$. Сумма всех цифр равна $12 + a + b$. Так как 12 делится на 3, то и сумма `a + b` должна делиться на 3. Возможные значения для суммы `a + b`: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18.

Примеры пар (a, b) и чисел: если $a=1, b=2$, то $a+b=3$, число 51225; если $a=6, b=0$, то $a+b=6$, число 56205.

Ответ: Можно подставить любые цифры `a` и `b`, если их сумма делится на 3. Например, число 51225.

Сумма известных цифр: $7 + 2 + 8 = 17$. Сумма всех цифр равна $17 + a + b$. Чтобы эта сумма делилась на 3, она должна быть равна 18, 21, 24, ... . Следовательно, сумма `a + b` должна быть равна 1, 4, 7, 10, 13 или 16.

Примеры пар (a, b) и чисел: если $a=1, b=0$, то $a+b=1$, число 72108; если $a=4, b=0$, то $a+b=4$, число 72408.

Ответ: Можно подставить любые цифры `a` и `b`, если их сумма равна 1, 4, 7, 10, 13 или 16. Например, число 72108.

Теперь проанализируем полученные типы чисел на делимость на 5, 2, 10 и 4.

• Делятся на 5: числа, оканчивающиеся на 0 или 5. Этому условию удовлетворяют числа, полученные в пунктах а) (оканчиваются на 5), б) (оканчиваются на 0) и в) (оканчиваются на 5).
• Делятся на 2: числа, оканчивающиеся на четную цифру. Этому условию удовлетворяют числа, полученные в пунктах б) (оканчиваются на 0) и г) (оканчиваются на 8).
• Делятся на 10: числа, оканчивающиеся на 0. Этому условию удовлетворяют только числа, полученные в пункте б).
• Делятся на 4: числа, у которых две последние цифры образуют число, делящееся на 4.
  • В пункте а) числа оканчиваются на 25. $25$ не делится на 4.
  • В пункте б) числа оканчиваются на 40. $40$ делится на 4 ($40 : 4 = 10$).
  • В пункте в) числа оканчиваются на `b5`. Это всегда нечетное число, поэтому на 4 оно делиться не может.
  • В пункте г) числа оканчиваются на `b8`. Число `b8` будет делиться на 4, если `b` — четная цифра (0, 2, 4, 6, 8). Такие числа можно составить. Например, 72108: сумма цифр $18$ делится на 3, а последние две цифры 08 делятся на 4.

Ответ:

• Делятся на 5: числа из пунктов а), б), в).
• Делятся на 2: числа из пунктов б), г).
• Делятся на 10: числа из пункта б).
• Делятся на 4: числа из пункта б) и некоторые числа из пункта г).

645. a) Напишите четырёхзначное число, которое делится на 9. Может ли оно не делиться на 3?

б) Напишите четырёхзначное число, которое делится на 3, но не делится на 9.

а) Согласно признаку делимости, число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Возьмём четырёхзначное число, сумма цифр которого равна 9, например, 1008. Сумма его цифр: $1+0+0+8=9$. Так как 9 делится на 9, то и число 1008 делится на 9 ($1008 \div 9 = 112$).

На второй вопрос "Может ли оно не делиться на 3?" ответ отрицательный. Любое число, которое делится на 9, обязательно делится и на 3. Это следует из того, что само число 9 является кратным трём ($9 = 3 \cdot 3$). Если число $N$ делится на 9, его можно записать как $N = 9k$ для некоторого целого $k$. Тогда $N = (3 \cdot 3)k = 3 \cdot (3k)$, что доказывает делимость числа $N$ на 3. Таким образом, число, делящееся на 9, не может не делиться на 3.

Ответ: 1008. Нет, не может.

б) Чтобы найти четырёхзначное число, которое делится на 3, но не делится на 9, нужно, чтобы сумма его цифр делилась на 3, но не была кратна 9. Примеры таких сумм: 3, 6, 12, 15, 21 и т.д.

Выберем сумму цифр, равную 6, и составим из них четырёхзначное число, например, 1122.Проверим:
Сумма цифр числа 1122 равна $1+1+2+2=6$.
Сумма цифр (6) делится на 3, значит, и число 1122 делится на 3 ($1122 \div 3 = 374$).
Сумма цифр (6) не делится на 9, значит, и число 1122 не делится на 9.Следовательно, число 1122 удовлетворяет условиям задачи.

Ответ: 1122 (возможны и другие варианты, например: 1002, 1230, 4002).