Номер 644, страница 143 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

644. В следующих записях замените буквы цифрами так, чтобы полученные числа делились на 3:

а) 35a25;
б) 4ab40;
в) 5a2b5;
г) 72ab8.

Какие из полученных чисел делятся на 5; делятся на 2; делятся на 10; делятся на 4?

Для того чтобы число делилось на 3 без остатка, необходимо, чтобы сумма всех его цифр делилась на 3. Используем это правило для решения задачи.

Найдем сумму известных цифр в числе: $3 + 5 + 2 + 5 = 15$. Сумма всех цифр равна $15 + a$. Так как 15 уже делится на 3, то для того, чтобы вся сумма делилась на 3, цифра `a` также должна быть кратна 3. Возможные значения для `a`: 0, 3, 6, 9.

Примеры чисел: 35025, 35325, 35625, 35925.

Ответ: Вместо `a` можно подставить цифры 0, 3, 6, 9. Например, число 35025.

Сумма известных цифр: $4 + 4 + 0 = 8$. Сумма всех цифр равна $8 + a + b$. Чтобы эта сумма делилась на 3, она должна быть равна одному из чисел 9, 12, 15, 18, ... . Следовательно, сумма `a + b` должна быть равна 1, 4, 7, 10, 13 или 16 (так как $8+1=9$, $8+4=12$ и т.д.).

Примеры пар (a, b) и чисел: если $a=1, b=0$, то $a+b=1$, число 41040; если $a=2, b=2$, то $a+b=4$, число 42240.

Ответ: Можно подставить любые цифры `a` и `b`, если их сумма равна 1, 4, 7, 10, 13 или 16. Например, число 41040.

Сумма известных цифр: $5 + 2 + 5 = 12$. Сумма всех цифр равна $12 + a + b$. Так как 12 делится на 3, то и сумма `a + b` должна делиться на 3. Возможные значения для суммы `a + b`: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18.

Примеры пар (a, b) и чисел: если $a=1, b=2$, то $a+b=3$, число 51225; если $a=6, b=0$, то $a+b=6$, число 56205.

Ответ: Можно подставить любые цифры `a` и `b`, если их сумма делится на 3. Например, число 51225.

Сумма известных цифр: $7 + 2 + 8 = 17$. Сумма всех цифр равна $17 + a + b$. Чтобы эта сумма делилась на 3, она должна быть равна 18, 21, 24, ... . Следовательно, сумма `a + b` должна быть равна 1, 4, 7, 10, 13 или 16.

Примеры пар (a, b) и чисел: если $a=1, b=0$, то $a+b=1$, число 72108; если $a=4, b=0$, то $a+b=4$, число 72408.

Ответ: Можно подставить любые цифры `a` и `b`, если их сумма равна 1, 4, 7, 10, 13 или 16. Например, число 72108.

Теперь проанализируем полученные типы чисел на делимость на 5, 2, 10 и 4.

• Делятся на 5: числа, оканчивающиеся на 0 или 5. Этому условию удовлетворяют числа, полученные в пунктах а) (оканчиваются на 5), б) (оканчиваются на 0) и в) (оканчиваются на 5).
• Делятся на 2: числа, оканчивающиеся на четную цифру. Этому условию удовлетворяют числа, полученные в пунктах б) (оканчиваются на 0) и г) (оканчиваются на 8).
• Делятся на 10: числа, оканчивающиеся на 0. Этому условию удовлетворяют только числа, полученные в пункте б).
• Делятся на 4: числа, у которых две последние цифры образуют число, делящееся на 4.
  • В пункте а) числа оканчиваются на 25. $25$ не делится на 4.
  • В пункте б) числа оканчиваются на 40. $40$ делится на 4 ($40 : 4 = 10$).
  • В пункте в) числа оканчиваются на `b5`. Это всегда нечетное число, поэтому на 4 оно делиться не может.
  • В пункте г) числа оканчиваются на `b8`. Число `b8` будет делиться на 4, если `b` — четная цифра (0, 2, 4, 6, 8). Такие числа можно составить. Например, 72108: сумма цифр $18$ делится на 3, а последние две цифры 08 делятся на 4.

Ответ:

• Делятся на 5: числа из пунктов а), б), в).
• Делятся на 2: числа из пунктов б), г).
• Делятся на 10: числа из пункта б).
• Делятся на 4: числа из пункта б) и некоторые числа из пункта г).