Номер 641, страница 143 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

641. Можно ли простое число записать в виде суммы:

а) двух чётных чисел;

б) двух нечётных чисел;

в) чётного и нечётного чисел?

а) двух чётных чисел

Сумма двух чётных чисел всегда является чётным числом. Пусть даны два чётных натуральных числа $a$ и $b$. Их можно представить в виде $a = 2k$ и $b = 2m$, где $k$ и $m$ — натуральные числа. Их сумма будет равна:

$p = a + b = 2k + 2m = 2(k+m)$

Полученная сумма $p$ всегда делится на 2, то есть является чётным числом. Единственное простое число, которое является чётным, — это 2. Однако, наименьшая возможная сумма двух чётных натуральных чисел это $2+2=4$. Любая другая сумма будет больше 4. Так как любая сумма двух чётных натуральных чисел является чётным числом, большим 2, она будет составным числом (помимо 1 и себя, она будет делиться на 2). Следовательно, простое число нельзя записать в виде суммы двух чётных чисел.

Ответ: нет, нельзя.

б) двух нечётных чисел

Сумма двух нечётных чисел всегда является чётным числом. Пусть даны два нечётных числа $a$ и $b$. Их можно представить в виде $a = 2k+1$ и $b = 2m+1$, где $k$ и $m$ — целые неотрицательные числа. Их сумма будет равна:

$p = (2k+1) + (2m+1) = 2k+2m+2 = 2(k+m+1)$

Полученная сумма $p$ также всегда является чётным числом. Единственное простое чётное число — это 2. Проверим, можно ли получить 2 в виде суммы двух нечётных чисел. Да, можно, если взять наименьшее нечётное натуральное число 1:

$1 + 1 = 2$

Число 2 является простым. Поскольку мы нашли хотя бы один пример, когда простое число можно записать в виде суммы двух нечётных чисел, ответ на вопрос — да. Стоит отметить, что любое другое простое число (3, 5, 7, ...) является нечётным, а так как сумма двух нечётных чисел всегда чётная, то никакое другое простое число, кроме 2, так представить нельзя.

Ответ: да, можно. Например, $2 = 1+1$.

в) чётного и нечётного чисел

Сумма чётного и нечётного числа всегда является нечётным числом. Пусть даны чётное число $a = 2k$ и нечётное число $b = 2m+1$, где $k$ — натуральное число, а $m$ — целое неотрицательное число. Их сумма будет равна:

$p = 2k + (2m+1) = 2(k+m)+1$

Полученная сумма $p$ является нечётным числом. Все простые числа, кроме 2, являются нечётными. Возьмём любое нечётное простое число $p$. Его всегда можно представить в виде суммы чётного и нечётного числа. Например, если взять в качестве чётного слагаемого число 2, то второе слагаемое будет равно $p-2$. Так как $p$ — нечётное простое число (т.е. $p \ge 3$), то $p-2$ будет нечётным натуральным числом.

Примеры:

• $3 = 2 + 1$
• $5 = 2 + 3$
• $7 = 4 + 3$
• $13 = 6 + 7$

Поскольку любое нечётное простое число можно представить в виде такой суммы, то ответ на вопрос — да.

Ответ: да, можно. Например, $7 = 2+5$.