Страница 140 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

616. Докажите, что произведение чётного числа и любого натурального числа есть число чётное.

Чтобы доказать, что произведение чётного числа и любого натурального числа является чётным, воспользуемся определениями чётного и натурального чисел.

Чётное число — это целое число, которое делится на 2 без остатка. Любое чётное число $a$ можно представить в виде $a = 2k$, где $k$ — некоторое целое число.

Натуральное число — это целое положительное число. Обозначим любое натуральное число буквой $n$.

Рассмотрим произведение чётного числа $a$ и натурального числа $n$:

$a \times n$

Подставим вместо $a$ его представление в виде $2k$:

$(2k) \times n$

Используя сочетательный закон умножения, мы можем перегруппировать множители:

$2 \times (k \times n)$

Произведение двух целых чисел ($k$ и $n$) также является целым числом. Обозначим это произведение как $m = k \times n$.

Тогда исходное произведение можно записать в виде:

$2m$

Поскольку полученное число $2m$ является произведением числа 2 и целого числа $m$, оно по определению является чётным. Это доказывает, что произведение чётного числа и любого натурального числа всегда является чётным.

Например, возьмём чётное число 6 ($k=3$) и натуральное число 7. Их произведение равно $6 \times 7 = 42$. Число 42 является чётным, так как $42 = 2 \times 21$.

Ответ: Утверждение доказано. Произведение чётного числа (которое можно представить как $2k$) и любого натурального числа $n$ равно $2kn$. Так как это произведение содержит множитель 2, оно всегда будет делиться на 2, а значит, является чётным числом.

617. Докажите, что сумма двух чётных чисел является чётным числом.

Чтобы доказать это утверждение, воспользуемся алгебраическим определением чётного числа.

Чётное число — это любое целое число, которое делится на 2 без остатка. Любое чётное число n можно представить в виде формулы $n = 2k$, где k — некоторое целое число.

Возьмём два произвольных чётных числа, обозначим их как a и b.

Поскольку число a является чётным, его можно записать в виде:
$a = 2m$, где m — целое число.

Аналогично, поскольку число b является чётным, его можно записать в виде:
$b = 2n$, где n — целое число.

Теперь найдём сумму этих двух чисел:
$a + b = 2m + 2n$

В правой части выражения можно вынести общий множитель 2 за скобки:
$a + b = 2(m + n)$

Сумма двух целых чисел m и n также является целым числом. Обозначим эту сумму как p, то есть $p = m + n$.

Тогда сумма наших исходных чисел равна $a + b = 2p$.

Полученное выражение $2p$ по определению является чётным числом, так как оно представляет собой произведение числа 2 на целое число p. Таким образом, мы доказали, что сумма двух любых чётных чисел всегда является чётным числом.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма двух чётных чисел, представленных как $2m$ и $2n$, равна $2m + 2n = 2(m+n)$. Поскольку $m+n$ является целым числом, результат всегда будет чётным числом.

618. Покажите, что нечётные числа 7, 9, 5, 13 можно записать в виде $2 \cdot k + 1$, где $k$ — некоторое натуральное число.

Чтобы показать, что заданные нечетные числа можно представить в виде $2 \cdot k + 1$, где $k$ — натуральное число, необходимо для каждого числа найти соответствующее значение $k$. Для этого решим уравнение $n = 2 \cdot k + 1$ относительно $k$ для каждого значения $n$.

$n = 2 \cdot k + 1$

$2 \cdot k = n - 1$

$k = \frac{n-1}{2}$

Теперь подставим заданные числа вместо $n$ и найдем $k$.

Для числа 7:
$k = \frac{7-1}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
Число 3 является натуральным. Следовательно, число 7 можно записать в виде $2 \cdot 3 + 1$.
Проверка: $2 \cdot 3 + 1 = 6 + 1 = 7$.
Ответ: $7 = 2 \cdot 3 + 1$.

Для числа 9:
$k = \frac{9-1}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
Число 4 является натуральным. Следовательно, число 9 можно записать в виде $2 \cdot 4 + 1$.
Проверка: $2 \cdot 4 + 1 = 8 + 1 = 9$.
Ответ: $9 = 2 \cdot 4 + 1$.

Для числа 5:
$k = \frac{5-1}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
Число 2 является натуральным. Следовательно, число 5 можно записать в виде $2 \cdot 2 + 1$.
Проверка: $2 \cdot 2 + 1 = 4 + 1 = 5$.
Ответ: $5 = 2 \cdot 2 + 1$.

Для числа 13:
$k = \frac{13-1}{2} = \frac{12}{2} = 6$.
Число 6 является натуральным. Следовательно, число 13 можно записать в виде $2 \cdot 6 + 1$.
Проверка: $2 \cdot 6 + 1 = 12 + 1 = 13$.
Ответ: $13 = 2 \cdot 6 + 1$.

Таким образом, мы показали, что для каждого из чисел 7, 9, 5, 13 существует натуральное число $k$, такое, что эти числа можно записать в виде $2 \cdot k + 1$.

619. Докажите, что сумма двух нечётных чисел является чётным числом.

Для того чтобы доказать это утверждение, воспользуемся алгебраической формой записи нечётных и чётных чисел.

По определению, любое нечётное число — это целое число, которое при делении на 2 даёт в остатке 1. Такое число можно представить в виде формулы $2k + 1$, где $k$ — любое целое число.

Возьмём два произвольных нечётных числа. Обозначим их $a$ и $b$.

Первое нечётное число можно записать как $a = 2n + 1$, где $n$ — некоторое целое число.

Второе нечётное число можно записать как $b = 2m + 1$, где $m$ — некоторое целое число (не обязательно равное $n$).

Теперь найдём их сумму $a + b$:

$a + b = (2n + 1) + (2m + 1)$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

$a + b = 2n + 2m + 1 + 1 = 2n + 2m + 2$

В полученном выражении можно вынести общий множитель 2 за скобки:

$a + b = 2(n + m + 1)$

По определению, чётное число — это целое число, которое делится на 2 без остатка. Любое чётное число можно представить в виде $2p$, где $p$ — целое число.

В нашем случае выражение в скобках $(n + m + 1)$ является целым числом, так как $n$ и $m$ — целые числа, и их сумма, увеличенная на 1, также будет целым числом. Если мы обозначим $p = n + m + 1$, то наша сумма примет вид $2p$.

Это доказывает, что сумма двух любых нечётных чисел является чётным числом.

Ответ: Пусть два нечётных числа представлены в виде $2n+1$ и $2m+1$, где $n$ и $m$ — целые числа. Их сумма равна $(2n+1) + (2m+1) = 2n + 2m + 2 = 2(n+m+1)$. Так как $(n+m+1)$ является целым числом, то результат $2(n+m+1)$ по определению является чётным числом.

620. Определите, делится ли число 111 111 111 111 111:

а) на 3;

б) на 9.

Чтобы определить, делится ли число на 3 или 9, нужно воспользоваться признаками делимости. Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Аналогично, число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Заданное число 111 111 111 111 111 состоит из 15 цифр, каждая из которых равна 1.

Найдем сумму цифр этого числа:

$S = \underbrace{1 + 1 + \dots + 1}_{15 \text{ раз}} = 15 \times 1 = 15$

Теперь проверим, делится ли полученная сумма (15) на 3 и 9.

а) на 3

Проверим делимость суммы цифр на 3:

$15 \div 3 = 5$

Так как сумма цифр 15 делится на 3 без остатка, то и исходное число 111 111 111 111 111 делится на 3.

Ответ: да, делится.

б) на 9

Проверим делимость суммы цифр на 9:

$15 \div 9 = 1$ (остаток 6)

Так как сумма цифр 15 не делится на 9 без остатка, то и исходное число 111 111 111 111 111 не делится на 9.

Ответ: нет, не делится.

621. Какую цифру нужно поставить вместо звёздочки, чтобы полученное число делилось на 9:

а) $4*$;

б) $5*$;

в) $85*$;

г) $738*$;

д) $6*7$;

е) $7*2$;

ж) $24*0$;

з) $2090*?$

Для того чтобы число делилось на 9, сумма его цифр должна делиться на 9. Используем это правило для решения каждого пункта.

а) Для числа 4*. Сумма известных цифр равна 4. Чтобы сумма всех цифр делилась на 9, нужно к 4 прибавить такую цифру, чтобы получилось число, кратное 9. Ближайшее такое число – 9.
$4 + * = 9$
Вместо звёздочки нужно поставить цифру 5.
Проверка: число 45, сумма цифр $4+5=9$. 9 делится на 9.
Ответ: 5

б) Для числа 5*. Сумма известных цифр равна 5. Ближайшее число, кратное 9, это 9.
$5 + * = 9$
Вместо звёздочки нужно поставить цифру 4.
Проверка: число 54, сумма цифр $5+4=9$. 9 делится на 9.
Ответ: 4

в) Для числа 85*. Сумма известных цифр: $8+5=13$. Ближайшее число, кратное 9, которое больше 13, это 18.
$13 + * = 18$
Вместо звёздочки нужно поставить цифру 5.
Проверка: число 855, сумма цифр $8+5+5=18$. 18 делится на 9.
Ответ: 5

г) Для числа 738*. Сумма известных цифр: $7+3+8=18$. Сумма 18 уже делится на 9. Значит, вместо звёздочки можно поставить 0 (сумма останется 18) или 9 (сумма станет $18+9=27$, что тоже делится на 9).
Проверка: число 7380, сумма цифр 18. Число 7389, сумма цифр 27. Оба числа делятся на 9.
Ответ: 0 или 9

д) Для числа 6*7. Сумма известных цифр: $6+7=13$. Ближайшее число, кратное 9, которое больше 13, это 18.
$13 + * = 18$
Вместо звёздочки нужно поставить цифру 5.
Проверка: число 657, сумма цифр $6+5+7=18$. 18 делится на 9.
Ответ: 5

е) Для числа 7*2. Сумма известных цифр: $7+2=9$. Сумма 9 уже делится на 9. Значит, вместо звёздочки можно поставить 0 (сумма останется 9) или 9 (сумма станет $9+9=18$, что тоже делится на 9).
Проверка: число 702, сумма цифр 9. Число 792, сумма цифр 18. Оба числа делятся на 9.
Ответ: 0 или 9

ж) Для числа 24*0. Сумма известных цифр: $2+4+0=6$. Ближайшее число, кратное 9, это 9.
$6 + * = 9$
Вместо звёздочки нужно поставить цифру 3.
Проверка: число 2430, сумма цифр $2+4+3+0=9$. 9 делится на 9.
Ответ: 3

з) Для числа 2090*. Сумма известных цифр: $2+0+9+0=11$. Ближайшее число, кратное 9, которое больше 11, это 18.
$11 + * = 18$
Вместо звёздочки нужно поставить цифру 7.
Проверка: число 20907, сумма цифр $2+0+9+0+7=18$. 18 делится на 9.
Ответ: 7

622. Ученик выполнил сложение:

a) $3548 + 7256 + 8108 = 18911;$

б) $9756 + 8322 + 6565 = 24642.$

Учитель, не проверяя вычислений, определил, что в обоих примерах допущена ошибка. Как он обнаружил ошибку?

Учитель смог обнаружить ошибки, не выполняя полного сложения, а лишь проанализировав чётность слагаемых и результата. Свойство чётности чисел позволяет быстро проверить правдоподобность ответа:

• Сумма любого количества чётных чисел всегда является чётным числом.
• Сумма чётного и нечётного числа всегда является нечётным числом.

Применим этот метод к примерам ученика.

a) $3548 + 7256 + 8108 = 18 911$

В этом примере все три слагаемых — чётные числа, так как их последние цифры (8, 6 и 8) являются чётными. Сумма трёх чётных чисел обязательно должна быть чётным числом. Однако результат, который получил ученик, $18 911$, является нечётным числом, так как оканчивается на 1. Это противоречие указывает на ошибку в вычислениях.

Ответ: Сумма трёх чётных чисел должна быть чётным числом, а результат ученика ($18 911$) — нечётный.

б) $9756 + 8322 + 6565 = 24 642$

Здесь два слагаемых — чётные ($9756$ и $8322$), а одно — нечётное ($6565$). Сумма двух чётных чисел и одного нечётного числа всегда будет нечётным числом (так как чётное + чётное = чётное, а затем чётное + нечётное = нечётное). Однако результат ученика, $24 642$, является чётным числом, так как оканчивается на 2. Это также указывает на ошибку.

Ответ: Сумма двух чётных и одного нечётного числа должна быть нечётным числом, а результат ученика ($24 642$) — чётный.

623. Назовите наибольшее и наименьшее шестизначное число, которое делится на:

а) $2$

б) $3$

в) $5$

г) $9$

д) $10$

Для решения этой задачи воспользуемся признаками делимости чисел, а также определениями наименьшего (100 000) и наибольшего (999 999) шестизначных чисел.

а) Число делится на 2, если его последняя цифра является чётной (0, 2, 4, 6, 8). Наименьшее шестизначное число — 100 000. Оно оканчивается на 0, что является чётной цифрой, поэтому оно нам подходит. Наибольшее шестизначное число — 999 999. Оно оканчивается на нечётную цифру 9. Чтобы найти наибольшее число, делящееся на 2, нужно уменьшить его до ближайшего числа с чётной последней цифрой. Это число — 999 998.
Ответ: наименьшее — 100 000, наибольшее — 999 998.

б) Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Для наименьшего шестизначного числа 100 000 сумма цифр равна $1+0+0+0+0+0=1$, что не делится на 3. Чтобы получить наименьшее подходящее число, нужно увеличить 100 000 так, чтобы сумма цифр стала кратна 3. Ближайшая такая сумма — 3. Этому условию соответствует число 100 002 (сумма цифр $1+0+0+0+0+2=3$). Для наибольшего шестизначного числа 999 999 сумма цифр равна $9 \cdot 6 = 54$. Так как $54$ делится на $3$ ($54 \div 3=18$), то и само число 999 999 делится на 3.
Ответ: наименьшее — 100 002, наибольшее — 999 999.

в) Число делится на 5, если оно оканчивается на 0 или 5. Наименьшее шестизначное число 100 000 оканчивается на 0, следовательно, оно делится на 5. Наибольшее шестизначное число 999 999 оканчивается на 9. Ближайшее меньшее число, оканчивающееся на 0 или 5, — это 999 995.
Ответ: наименьшее — 100 000, наибольшее — 999 995.

г) Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Для наименьшего шестизначного числа 100 000 сумма цифр равна $1+0+0+0+0+0=1$. Эта сумма не делится на 9. Ближайшая сумма цифр, кратная 9, — это 9. Чтобы получить наименьшее число с такой суммой цифр, нужно изменить последнюю цифру: 100 008 (сумма цифр $1+0+0+0+0+8=9$). Для наибольшего шестизначного числа 999 999 сумма цифр равна $9 \cdot 6 = 54$. Так как $54$ делится на $9$ ($54 \div 9=6$), то и само число 999 999 делится на 9.
Ответ: наименьшее — 100 008, наибольшее — 999 999.

д) Число делится на 10, если оно оканчивается на 0. Наименьшее шестизначное число 100 000 оканчивается на 0, поэтому оно делится на 10. Наибольшее шестизначное число 999 999 оканчивается на 9. Ближайшее меньшее число, которое оканчивается на 0, — это 999 990.
Ответ: наименьшее — 100 000, наибольшее — 999 990.

624. Саша купил в магазине 20 тетрадей, 2 альбома для рисования, авторучку за 6 р., несколько карандашей по 60 к. и несколько обложек для книг по 1 р. 20 к. Продавец сказал, что нужно заплатить в кассу 34 р. 25 к. Саша попросил пересчитать стоимость покупки, и ошибка была исправлена. Как он определил, что продавец ошибся в подсчётах?

Саша смог определить ошибку, проанализировав последнюю цифру в общей стоимости покупки. Для этого не требуется знать точные цены всех товаров, а достаточно посмотреть на известные цены и количество некоторых товаров.

Переведем все известные денежные единицы в копейки для удобства:

• Стоимость авторучки: $6 \text{ р.} = 600 \text{ к.}$
• Стоимость одного карандаша: $60 \text{ к.}$
• Стоимость одной обложки: $1 \text{ р.} \ 20 \text{ к.} = 120 \text{ к.}$

Теперь проанализируем стоимость каждой группы товаров:

• Стоимость авторучки (600 к.) оканчивается на 0.
• Стоимость любого количества карандашей будет кратна 60, а значит, общая сумма за карандаши будет оканчиваться на 0 (например, $2 \times 60 = 120$, $3 \times 60 = 180$ и т.д.).
• Стоимость любого количества обложек будет кратна 120, и эта сумма также будет оканчиваться на 0 (например, $1 \times 120 = 120$, $2 \times 120 = 240$ и т.д.).
• Саша купил 20 тетрадей. Поскольку количество тетрадей (20) кратно 10, общая стоимость всех тетрадей, какой бы ни была цена одной тетради, будет оканчиваться на 0.
• Саша купил 2 альбома. Стоимость двух одинаковых товаров всегда является четным числом. Более того, в действительности цены на товары чаще всего кратны 5 или 10 копейкам. Если цена альбома в копейках оканчивается на 0 или 5, то стоимость двух альбомов будет оканчиваться на 0 (например, $2 \times 115 \text{ к.} = 230 \text{ к.}$; $2 \times 150 \text{ к.} = 300 \text{ к.}$ ).

Таким образом, стоимость каждой из пяти позиций в чеке (ручка, карандаши, обложки, тетради, альбомы) с очень высокой вероятностью является числом, которое в копейках оканчивается на 0. Сумма нескольких чисел, каждое из которых оканчивается на 0, также должна оканчиваться на 0.

Продавец назвал сумму 34 р. 25 к., что равно $3425$ копеек. Это число оканчивается на 5, а не на 0. Именно это несоответствие и позволило Саше понять, что в подсчётах допущена ошибка.

Ответ: Саша заметил, что стоимость всех купленных им товаров (или групп товаров) в копейках должна быть числом, оканчивающимся на 0. Следовательно, итоговая сумма покупки тоже должна оканчиваться на 0. Названная продавцом сумма в 34 р. 25 к. равна 3425 копейкам и оканчивается на 5, что указывает на ошибку в расчетах.