Номер 623, страница 140 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

623. Назовите наибольшее и наименьшее шестизначное число, которое делится на:

а) $2$

б) $3$

в) $5$

г) $9$

д) $10$

Для решения этой задачи воспользуемся признаками делимости чисел, а также определениями наименьшего (100 000) и наибольшего (999 999) шестизначных чисел.

а) Число делится на 2, если его последняя цифра является чётной (0, 2, 4, 6, 8). Наименьшее шестизначное число — 100 000. Оно оканчивается на 0, что является чётной цифрой, поэтому оно нам подходит. Наибольшее шестизначное число — 999 999. Оно оканчивается на нечётную цифру 9. Чтобы найти наибольшее число, делящееся на 2, нужно уменьшить его до ближайшего числа с чётной последней цифрой. Это число — 999 998.
Ответ: наименьшее — 100 000, наибольшее — 999 998.

б) Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Для наименьшего шестизначного числа 100 000 сумма цифр равна $1+0+0+0+0+0=1$, что не делится на 3. Чтобы получить наименьшее подходящее число, нужно увеличить 100 000 так, чтобы сумма цифр стала кратна 3. Ближайшая такая сумма — 3. Этому условию соответствует число 100 002 (сумма цифр $1+0+0+0+0+2=3$). Для наибольшего шестизначного числа 999 999 сумма цифр равна $9 \cdot 6 = 54$. Так как $54$ делится на $3$ ($54 \div 3=18$), то и само число 999 999 делится на 3.
Ответ: наименьшее — 100 002, наибольшее — 999 999.

в) Число делится на 5, если оно оканчивается на 0 или 5. Наименьшее шестизначное число 100 000 оканчивается на 0, следовательно, оно делится на 5. Наибольшее шестизначное число 999 999 оканчивается на 9. Ближайшее меньшее число, оканчивающееся на 0 или 5, — это 999 995.
Ответ: наименьшее — 100 000, наибольшее — 999 995.

г) Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Для наименьшего шестизначного числа 100 000 сумма цифр равна $1+0+0+0+0+0=1$. Эта сумма не делится на 9. Ближайшая сумма цифр, кратная 9, — это 9. Чтобы получить наименьшее число с такой суммой цифр, нужно изменить последнюю цифру: 100 008 (сумма цифр $1+0+0+0+0+8=9$). Для наибольшего шестизначного числа 999 999 сумма цифр равна $9 \cdot 6 = 54$. Так как $54$ делится на $9$ ($54 \div 9=6$), то и само число 999 999 делится на 9.
Ответ: наименьшее — 100 008, наибольшее — 999 999.

д) Число делится на 10, если оно оканчивается на 0. Наименьшее шестизначное число 100 000 оканчивается на 0, поэтому оно делится на 10. Наибольшее шестизначное число 999 999 оканчивается на 9. Ближайшее меньшее число, которое оканчивается на 0, — это 999 990.
Ответ: наименьшее — 100 000, наибольшее — 999 990.