Номер 625, страница 141 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

625. Докажите признак делимости на 4: если две последние цифры числа образуют число, делящееся на 4, то и само число делится на 4. (Считайте записи 00, 04 и 08 записями чисел 0, 4 и 8.)

Чтобы доказать признак делимости на 4, представим любое натуральное число $N$ в виде суммы. Любое число, содержащее хотя бы две цифры, можно записать как сумму числа, состоящего из сотен, тысяч и т.д., и числа, образованного двумя последними цифрами.

Формально это можно записать так:
$N = 100 \cdot a + b$
где $b$ – это число, образованное двумя последними цифрами числа $N$ (таким образом, $b$ может быть любым целым числом от 0 до 99), а $a$ – это число, которое получается, если отбросить от числа $N$ две последние цифры. Если исходное число $N$ двузначное или однозначное, то $a = 0$.

Например:
Для числа $384$: $a = 3$, $b = 84$. Проверка: $100 \cdot 3 + 84 = 300 + 84 = 384$.
Для числа $15732$: $a = 157$, $b = 32$. Проверка: $100 \cdot 157 + 32 = 15700 + 32 = 15732$.
Для числа $28$: $a = 0$, $b = 28$. Проверка: $100 \cdot 0 + 28 = 28$.

Теперь проанализируем выражение $N = 100a + b$ на предмет делимости на 4.

Первое слагаемое, $100a$, всегда делится на 4 при любом целом $a$, поскольку множитель 100 делится на 4 ($100 : 4 = 25$). Таким образом, $100a = 4 \cdot (25a)$, что означает, что $100a$ кратно 4.

Рассмотрим сумму $N = 100a + b$. Согласно свойству делимости, если одно из слагаемых ($100a$) делится на некоторое число (в нашем случае на 4), то вся сумма будет делиться на это число тогда и только тогда, когда второе слагаемое ($b$) также делится на это число.

Отсюда следует, что число $N$ делится на 4 в том и только в том случае, если число $b$, образованное его последними двумя цифрами, делится на 4. Это и есть доказываемый признак.

Замечание про записи 00, 04 и 08 означает, что если число оканчивается, например, на 04, то $b=4$. Так как 4 делится на 4, то и все число делится на 4. Если число оканчивается на 00, то $b=0$. Так как 0 делится на 4, то и все число делится на 4.

Ответ: Любое число $N$ можно представить в виде $N = 100a + b$, где $b$ — число, образованное двумя его последними цифрами. Так как слагаемое $100a$ всегда делится на 4 (потому что $100$ делится на 4), делимость всей суммы $N$ на 4 зависит только от делимости на 4 слагаемого $b$. Таким образом, число $N$ делится на 4 тогда и только тогда, когда число, образованное его двумя последними цифрами, делится на 4. Что и требовалось доказать.