Номер 629, страница 141 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

629. Докажите, что нельзя подобрать:

а) три нечётных числа, сумма которых равна 12;

б) пять нечётных чисел, сумма которых равна 100.

а) Доказательство основано на свойстве чётности чисел. Нечётное число — это целое число, которое не делится на 2 без остатка. Сумма двух нечётных чисел всегда является чётным числом. Например, если взять два нечётных числа $n_1 = 2k_1 + 1$ и $n_2 = 2k_2 + 1$ (где $k_1$ и $k_2$ – целые числа), их сумма будет $n_1 + n_2 = (2k_1 + 1) + (2k_2 + 1) = 2k_1 + 2k_2 + 2 = 2(k_1 + k_2 + 1)$, что является чётным числом.
Если мы сложим три нечётных числа, то сначала сложим два из них, получив чётное число. Затем к этому чётному результату мы прибавим третье нечётное число. Сумма чётного и нечётного чисел всегда нечётна. Таким образом, сумма трёх нечётных чисел всегда является нечётным числом. Число 12 является чётным. Так как нечётное число не может быть равно чётному, подобрать три нечётных числа, сумма которых равна 12, невозможно.
Ответ: Доказано, что это невозможно, поскольку сумма трёх нечётных чисел всегда является нечётным числом, а 12 — число чётное.

б) Здесь применяется тот же принцип, что и в пункте а). Нам нужно доказать, что сумма пяти нечётных чисел не может быть равна 100.
Рассмотрим сумму нечётного количества нечётных слагаемых.

• Сумма двух нечётных чисел: нечётное + нечётное = чётное.
• Сумма трёх нечётных чисел: (нечётное + нечётное) + нечётное = чётное + нечётное = нечётное.
• Сумма четырёх нечётных чисел: (сумма трёх нечётных) + нечётное = нечётное + нечётное = чётное.
• Сумма пяти нечётных чисел: (сумма четырёх нечётных) + нечётное = чётное + нечётное = нечётное.

Таким образом, сумма любого нечётного количества нечётных чисел всегда будет нечётным числом. В нашей задаче мы складываем пять (нечётное количество) нечётных чисел, значит, их сумма обязательно будет нечётной. Число 100 является чётным. Следовательно, невозможно подобрать пять нечётных чисел, сумма которых равна 100.
Ответ: Доказано, что это невозможно, так как сумма пяти нечётных чисел всегда нечётна, а 100 — чётное число.