Номер 630, страница 141 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

630. Докажите, что:

а) сумма чётного числа нечётных слагаемых чётная;

б) сумма нечётного числа нечётных слагаемых нечётная.

а) сумма чётного числа нечётных слагаемых чётная

Для доказательства воспользуемся алгебраическими определениями чётных и нечётных чисел. Нечётное число — это целое число, которое можно представить в виде $2k + 1$, где $k$ – целое число. Чётное число — это целое число, которое можно представить в виде $2k$, где $k$ – целое число.

Пусть у нас есть сумма чётного числа нечётных слагаемых. Обозначим количество слагаемых как $n$, где $n$ – чётное число. Это означает, что $n = 2m$ для некоторого натурального числа $m$ (поскольку количество слагаемых должно быть не менее двух).

Каждое из $n$ слагаемых является нечётным, поэтому их можно представить в виде $a_1, a_2, \dots, a_n$, где $a_i = 2k_i + 1$ для каждого $i$ от 1 до $n$, и $k_i$ – целые числа.

Запишем их сумму $S$:

$S = a_1 + a_2 + \dots + a_n = (2k_1 + 1) + (2k_2 + 1) + \dots + (2k_n + 1)$

Сгруппируем слагаемые, отделив единицы:

$S = (2k_1 + 2k_2 + \dots + 2k_n) + \underbrace{(1 + 1 + \dots + 1)}_{n \text{ раз}}$

Вынесем общий множитель 2 в первой скобке, а сумму единиц заменим на их количество $n$:

$S = 2(k_1 + k_2 + \dots + k_n) + n$

По условию, количество слагаемых $n$ является чётным, то есть $n=2m$. Подставим это в наше выражение для суммы:

$S = 2(k_1 + k_2 + \dots + k_{2m}) + 2m$

Теперь вынесем общий множитель 2 за скобки во всём выражении:

$S = 2 \cdot [(k_1 + k_2 + \dots + k_{2m}) + m]$

Выражение в квадратных скобках представляет собой сумму целых чисел, которая также является целым числом. Обозначим это целое число как $K$. Тогда сумма $S$ равна $2K$. По определению, число, которое можно представить в виде произведения двойки и целого числа, является чётным. Таким образом, сумма $S$ чётна.

Ответ: данное утверждение верно.

б) сумма нечётного числа нечётных слагаемых нечётная

Доказательство проводится аналогично предыдущему пункту.

Пусть у нас есть сумма нечётного числа нечётных слагаемых. Обозначим количество слагаемых как $n$, где $n$ – нечётное число. Это означает, что $n = 2m + 1$ для некоторого целого неотрицательного числа $m$ (если $m=0$, то слагаемое одно).

Как и ранее, сумма $S$ слагаемых $a_i = 2k_i + 1$ может быть записана в виде:

$S = 2(k_1 + k_2 + \dots + k_n) + n$

Подставим в это выражение $n = 2m + 1$:

$S = 2(k_1 + k_2 + \dots + k_{2m+1}) + (2m + 1)$

Сгруппируем члены, содержащие множитель 2:

$S = [2(k_1 + k_2 + \dots + k_{2m+1}) + 2m] + 1$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$S = 2 \cdot [(k_1 + k_2 + \dots + k_{2m+1}) + m] + 1$

Выражение в квадратных скобках является суммой целых чисел, и, следовательно, само является целым числом. Обозначим его как $K$. Тогда сумма $S$ равна $2K + 1$. По определению, число такого вида является нечётным. Таким образом, сумма $S$ нечётна.

Ответ: данное утверждение верно.